高考一轮复习专题：导数及其应用(含答案)

导数及其应用

考点一：导数概念与运算

（一）知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值

x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x

y

∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。如果当0→∆x 时，x

y ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可

导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y

∆∆=0lim →∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x

y

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；

（2）求平均变化率

x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y

x ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()1

;n n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x

e e '=⑥()ln x

x

a a a '=; ⑦()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (.)'

''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)('

'

Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭

⎫ ⎝⎛v u ‘=

2

'

'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

（二）典型例题分析

题型一：导数的概念及其运算 例1.

如果质点A 按规律32s t =运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s

变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ∀∈，∃常数0M >， 都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界. 【文】（1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=

1

1

)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为at t t S -+=

12)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时

刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

例2.

已知x

f x f x x f x ∆-∆+=

→∆)

2()2(lim

,1)(0则的值是（ ）

A. 4

1

- B. 2 C. 41 D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430--='→（ ）

A ．－１

Ｂ．－2

C ．－3

D ．1

变式2：()()()

0000

3,lim x f x x f x x f x x x

∆→+∆--∆∆设在可导则等于（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

例3. 求所给函数的导数：

()

33

2991log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n x

x x y x x y x e y x y x y e y x x --=+==

=+==+（文科）理科）

变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ） A ．(－3,0)∪(3,+∞)

B ．(－3,0)∪(0, 3)

C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)

D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

题型二：导数的几何意义

① 已知切点，求曲线的切线方程；

注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．

例4. 曲线3231y x x =-+在点(1

1)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =-

② 已知斜率，求曲线的切线方程；

注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例5.

与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）

Ａ．230x y -+=

Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=

Ｄ．210x y --=