中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题

开放性问题
【专题点拨】
开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.
【解题策略】
在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.
【典例解析】
类型一：条件开放型问题
例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；函数及其图象．
【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．
（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，
∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，
∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．
（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，==，
∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．
②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，
线段AC的垂直平分线为y=x，
∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．
③当点A为顶点的等腰三角形不存在．
综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：
（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
类型二：结论开放型问题
例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜
y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2=，2﹣（﹣）=，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选B．
变式训练2：
（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
类型三：解题策略开放型
例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)
（2）选择其中的成立条件进行证明。

【解析】：(1)①②；①③.
(2)选①②证明如下：
∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，
∴△BOE≌△COD(AAS)．
∴BO＝CO.∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB.
即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
∴△ABC 是等腰三角形
【点评】对题设信息进行全面分析，综合比较，判断优劣，从中得出适合题意的最佳方案。

变式训练3：
在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切.请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径.(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)
【能力检测】
1.（2016·某某省某某市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．
2.（2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
3. （2016·某某内江）(12分)如图15，已知抛物线C ：y ＝x 2
－3x ＋m ，直线l ：y ＝kx(k ＞0)，当k ＝1时，抛物线C 与直线l 只有一个公共点．
(1)求m 的值；
(2)若直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，直线l 与直线l 1：y ＝－3x ＋b 交于点P ，且
1OA ＋1OB ＝2OP
，求b 的值； (3)在(2)的条件下，设直线l 1与y 轴交于点Q ，问：是否存在实数k 使S △APQ ＝S △BPQ ，若
存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
x y O
l 1 Q P B
A l
答案图 C E D x
y O l 1 Q
P B A l 图15
4.（2016某某某某）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x ﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（2016·某某省某某市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
变式训练1：
（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作P M∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠G，所以当△AGB 和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），
∵P点在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，
即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGP=∠GNC+∠G，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠C GB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AON和Rt△NOB中
∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，﹣1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，
∴直线m解析式为y=x﹣1，
即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC
的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．
变式训练2：
（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】二次函数图象与系数的关系．利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的X围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax 2
+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确； ∵x=﹣
=1，即b=﹣2a ，
而x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0， ∴a+2a+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确． 故选B ．
变式训练3：
在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切.请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径.(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)
【解析】：由题意，考虑圆心在顶点、直角边和斜边上，设计出 符合题意的方案示意图如图 所示四种方案：
半径分别是122r =121
r =
+12r =，14r =。

【点评】策略开放题要结合分类讨论思想来解题，先选择一个分类的标准，再进行讨论解题，做到不重不漏.
【能力检测】
1.（2016·某某省某某市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使
△AEH≌△CEB．
【解析】全等三角形的判定．开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．
2.（2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
3. （2016·某某内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k ＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，
且
1
OA
＋
1
OB
＝
2
OP
，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若
存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【解析】二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。

【解答】：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴方程组
23,
y x x m
y x
⎧=-+
⎨
=
⎩
有且只有一组解．
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．
∴m＝4．
(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴OP
OA
＝
PD
AC
．
同理，OP
OB
＝
PD
BE
．
∵
1
OA
＋
1
OB
＝
2
OP
，∴
OP
OA
＋
OP
OB
＝2．
∴PD
AC
＋
PD
BE
＝2．
∴
1
AC
＋
1
BE
＝
2
PD
，即
AC BE
AC BE
+
＝
2
PD
．
解方程组
,
3
y kx
y x b
=
⎧
⎨
=-+
⎩
得x＝
3
b
k+
，即PD＝
3
b
k+
．
答案图图15
由方程组2
,34
y kx y x x =⎧⎨=-+⎩消去y ，得x 2
－(k ＋3)x ＋4＝0． ∵AC，BE 是以上一元二次方程的两根， ∴AC＋BE ＝k ＋3，AC·BE＝4． ∴
34
k +＝23
b k +．
解得b ＝8．
(3)不存在．理由如下：
假设存在，则当S △APQ ＝S △BPQ 时有AP ＝PB ， 于是PD －AC ＝PE －PD ，即AC ＋BE ＝2PD ． 由(2)可知AC ＋BE ＝k ＋3，PD ＝83
k +， ∴k＋3＝2×
83
k +，即(k ＋3)2＝16． 解得k ＝1(舍去k ＝－7)．
当k ＝1时，A ，B 两点重合，△QAB 不存在． ∴不存在实数k 使S △APQ ＝S △BPQ ．
4. （2016某某某某）如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y=x ﹣2交于B ，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标．【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
5.（2016·某某省某某市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】二次函数综合题．（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．
【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
把C（0，4）代入：4=﹣2a，
a=﹣2，
∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），
S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大=6；
（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（2，0）、C（0，4）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，
设M（a，﹣2a+4），
过A作AE⊥BC，垂足为E，
则AE的解析式为：y=x+，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（﹣x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴①，
由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，
由①②得：a1=4（舍），a2=，
当a=时，x=，
∴Q（﹣，0）．。