初二数学提高题附答案完整版

初二数学提高题附答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
33
33l
O
H
x
y
B
A
3333综合题
1．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=23，∠BCO= 60°。

（1）求证：∆OBC 为等边三角形；
（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出
发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。

设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出t 的取值范围； （3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。

解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=23，则BO=4=2AB ，所以△ABO 是一个30°60°90°的三角
形。

∵AB 3如图，正比例函数图像直线l 经过点A （3，5），点B 在x 轴的正半轴上，且∠ABO ＝45°。

AH ⊥OB ，垂足为点H 。

（1）求直线l 所对应的正比例函数解析式； （2）求线段AH 和OB 的长度；
（3）如果点P 是线段OB 上一点，设OP ＝x ，△APB 的面积为S ，写出S 与x
的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

解：1)设y=kx 为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3
2)AH 即A 的纵坐标，∴AH=5
∵AH ⊥BH ，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH 即A 的横坐标，∴
OH=3 ∵OB=OH+BH ，∴OB=5+3=8 3)∵OB=8，OP=x ，∴BP=8-x
∴S △ABP=1/2BP ×AH=1/2(8-x)×5=20-(5/2)x
x 的取值范围是0≤x ＜8
3．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）
已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上一点，AE ⊥AB ，且AE ＝BD ，DE 与AC 相交于点F 。

图(1)
60︒
B C A o
图(2)
60︒
M P
Q H
B A o
（备用图）
H
60︒B C
A o
图2
图1
A
B
C
D
E
F
F E
D
C
B
A
（1）若点D 是AB 的中点（如图1），那么△CDE 是 等腰直角三角形 三角形，并证明你的结
论；
（2）若点D 不是AB 的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请
加以说明，如果不一定成立，请说明理由；
（3）若AD ＝AC ，那么△AEF 是 等腰 三角形。

（不需证明） 解：1)△CDE 是等腰直角三角形 2）成立，在△ABC 中，∵∠ACB=90°，
AC=BC ，∴∠CAB=∠
B=45°
∵AE ⊥AB ，∴∠EAB=90°，∴∠
EAC=90°-45°=45°=∠B 在△ACE 与△BCD 中，
∵AE=BD ，∠EAC=∠B ，AC=BC ，∴△ACE ≌△BCD
∴CE=CD ，∠ACE=∠BCD
∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90° ∴△CDE 是等腰直角三角形
4．如图，直线l 经过原点和点(3,6)A ，点B 坐标为(4,0) （1）求直线l 所对应的函数解析式； （2）若P 为射线OA 上的一点，
①设P 点横坐标为x ，△OPB 的面积为S ，写出S 关于 x 的函数解析式，指出自变量x 的取值范围．
②当△POB 是直角三角形时，求P 点坐标． 解：1)设y=kx 为直线l 的解析式
当x=3,y=6时，6=3k ，k=2，∴y=2x 是直线l 的解析式 2)①P 在射线OA 上，设P 横坐标为x ，纵坐标为2x S=1/2×OB ×2x=4x ，∴S=4x 是解析式，x 的取值范围x ＞0
②在Rt △P?OB 中，P 的坐标(4，8) 在Rt △P?OB 中，P 的坐标(4/5，8/5)
Q R
P
C
B
A
5、如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°，设AM=m ，MN=x ，BN=n 那么：
（1）以x 、m 、n 为边长的三角形是什么三角形？（请证明） （2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:AB 。

解：1)以x 、m 、n 为边长的三角形是直角三角形
作△ACM ≌△BCD ，∴∠ACM=∠BCD ，CM=CD ，∠MCN=∠NCD=45° 在△MNC 与△DNC 中
∵CM=CD ，∠MCN=∠DCN ，CN=CN ，∴△MNC ≌△DNC ∴MN=DN=n ，AM=BD=m
∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°，∴∠DBN=45°+45°=90° ∴△DBN(以x 、m 、n 为边长的三角形)是个直角三角形
6．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝1，P 是AB 边上不与A 点、B 点重合的任
意一个动点，PQ ⊥BC 于点Q ，QR ⊥AC 于点R 。

（1）求证：PQ ＝BQ ；
（2）设BP ＝x ，CR ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当x 为何值时，
PR
3
2解：1）∵∠C=90°，∠B=30°，∴
∠A=60°,
∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD=30°=∠B ，∴AD=DB
2）∵BF=y=AB-AF=12-AF ，∵EF ⊥AB,∠A=60°，∴∠AEF=30° ∴AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X)，∴y=12-1/2(6-X)=9+1/2x ∴y=9+1/2x 为解析式
3)∵∠DEF=90°,∴∠EDA=∠BAD=∠EAD=30°，∴∠EDC=30°∴AE=ED=2EC ，
第26题图
F
E D C
B
A
M A
D
E
C
B
第26题
∵AE+EC=AC=6，∴EC=2
当EC=x=2时，y=9+1/2×2=10，即BF=10
12．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 是边AC 上不与点A 、C 重合的任意一
点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，M 是BD 的中点. （1）求证：CM =EM ；
（2）如果BC =3，设AD =x ，CM =y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D 在线段AC 上移动时，∠MCE 的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE 的大小；如果发生变化，说明如何变化.
解：1）∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∵M 是BD 的中点，∴CM=1/2BD=EM 2）∵CM=y ，∴BM=DM=EM=y
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ， ∵BC=3，∴AB=23，∴AC=3，∴CD=3-x
∴(3-x)2+3=4y2，y=1/2 ,其中x 的定义域是0<x<3 3)∵CM=BM ，∴∠MBC=∠MCB， ∵BM=EM ，∴∠MBE=∠MEB ，
∵∠ACB=90° ，∠A=30°，∴∠ABC=60°
∵∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°，∵∠MBC+∠MCB=∠CMD，∠MBE+∠MEB=∠EMD ∴∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°， ∵CM=EM ，
∴∠MCE=∠MEC=30°。

∴∠MCE 大小不变
13、如图，已知长方形纸片ABCD 的边AB=2，BC=3，点M 是边CD 上的一个动点（不与点C 重
合），把这张长方形纸片折叠，使点B 落在M 上，折痕交边AD 与点E ，交边BC 于点F ． （1）、写出图中全等三角形；
（2）、设CM=x ，AE=y ，求y 与x 之间的函数解析式，写出定义域；
（3）、试判断BEM
能否可能等于90度？如可能，请求出此时CM的长；如不能，请说明理
由．
解：1)△BEF≌△MEF，根据翻折得到。

△ABE≌△DEM，AAS
2)∵△BEF≌△MEF，∴BE=ME，∴BE2=ME2
∵∠A=∠D=90°∴AE2+AB2=DM2+DE2
∵AB=CD=2，AD=3，CM=x，AE=y
∴代入得y2+4=(2-x)2+(3-y)2，解得y=(x2-4x+9)/6
其中x的定义域0<x<2
3)∵∠BEM=90°∴∠AEB=180°-90°-∠DEM=∠DME∴∠ABE=∠DM E
在△ABE与△DEM中，∵∠ABE=∠DM E，∠A=∠D，BE=ME，∴△A BE≌△DME
∴AE=DM，AB=DE，∴2=3-y，y=1，∴当y=1时，1=2-x，x=1
∴CM=1时∠BEM为90°
14、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线DE分别交
BC、AC于点D、E，BE和AD相交于点F，设∠AFB＝y, ∠C＝x
（1）求证：∠CBE＝∠CAD；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）写出函数的定义域。

解：1)∵∠BAC=90°，AD是BC上中线，∴AD=BD=CD，∴∠C=∠CAD
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠C=∠CBE，∴∠CAD=∠CBE
2)∵∠AFB=∠CBE+∠ADB=∠CBE+∠C+∠CAD，∵∠AFB＝y, ∠C＝∠CAD=∠CBE=x，∴y=3x
3)0<x<60为函数定义域
15、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E、F分别在边BC、AC、AB 上（点E、F与△ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为H．
（1）求证：AE＝AF：
（2）设CE＝x，BF＝y，求x与y之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△DEF是直角三角形时，求出BF的长．D
A
B
M
F
B
E
D
解：1)在△AEH与△AFH中
∵AD平分∠CAB，EF⊥AD，∵AH=AH
∴△AEH≌△AFH
∴AE=AF
2)∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6∴AB=12
∵CE=x，BF=y∴AE=AC-CE=6-x，AF=AB-BF=12-y
∵AE=AF，∴6-x=12-y，y=x+6
∴y=x+6为解析式，其中0＜x＜6为x的定义域
3)在△AED与△AFD中，∵AE=AF ，∵AD平分∠CAB，AD=AD
4)∴△AED≌△AFD，∴∠AED=∠AFD∴∠CED=∠DFB
5)∵EF⊥AD，∴∠EDF=90°∴∠CDE+∠BDF=90°
6)∵∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°，∴∠BDF=∠CED
7)∵∠CED=∠DFB，∴∠BDF=∠DFB，∴BF=BD
8)∵∠C=90°,AC=6,∠CAD=∠BAD=1/2∠CAB=30°∴CD=23
9)∵∠BAD=∠B=30°∴BD=AD=2CD=43∴BF=BD=43 ∴当△DEF 是直角三角形时，BF 的长为43
16．已知ABC ∆中，AC =BC , =120C ∠,点D 为AB 边的中点，60EDF ∠=,DE 、DF 分别交
AC 、BC 于E 、F 点．
（1）如图1，若EF ∥AB ．求证：DE =DF ．
（2）如图2，若EF 与AB 不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由． 解：1)∵EF ABC ∆ （1）求线段DC 的长度；
（2）如图（第27题图2），联接CM ，作ACB ∠的平分线交DM 于N .
求证:CM ＝MN 解：1)连接BD ，设DC 为x ∵DM 是AB 的垂直平分线,∴AM=MD= ∴得到方程(4-x)^^2+^2=3^2+x^2， 解得x=7/8，即CD 长7/8
2)∵CM 为AB 边中线，∠ACB=90°∴MC=MB ∵CN 平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=45°
∴∠CDM=180°-(45°-∠1+∠1+∠2)，∴∠B=45°+∠1
∵BCDM 是四边形，∠DMB=∠ACB=90°，∴∠MDC+∠B=180°，即135°-∠2+45°+∠1=180° ∴∠1=∠2 ∴CM=MN。