高中数学教师说课讲稿--互为反函数的函数图象间的关系(王洪军)
高中数学必修一《互为反函数的函数图象间的关系》优秀教学设计
归纳总结:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称.
教学软件演示两函数图象关于直线y=x对称.
求反函数,画图.
观察思考并作出猜想
求反函数,画图.
观看动画演示,总结得出互为反函数的函数图象间的关系.
通过设疑,创设问题情境,激发学生学习兴趣.
采用动画演示功能创设生动、形象、直观的教学情景，来帮助同学理解和掌握，降低教学难度,使学生充分完成感性认识到理性认识的过渡.
教学环节
课
堂
练
习
教师活动
引导学生运用所学知识解题,板书解题思路.
点评学生解题情况
媒体运用
微机操作和演示
学生活动
练习1:已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x)，则方程f(x)=0有解x=a，且f(x)>x(x∈D)的充要条件是y=f-1(x)满足( )
A.f-1(a)=0且f-1(x)<x,x∈A
B.f-1(0)=a且f-1(x)>x,x∈A
C.f-1(0)=a且f-1(x)<x,x∈A
D.f-1(a)=0且f-1(x)>x,x∈A
练习2:若点A(1,2)既在函数
f(x)=的图象上，又在y=f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.
练习3:已知函数
教学设计
课题：互为反函数的函数图象间的关系
教材分析：
这一节与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，了解互为反函数的函数图象间的关系并应用其解题，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后指、对函数的教学做好准备 , 起到承上启下的重要作用。
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
高中数学说课稿高中数学《反函数》说课稿_0647文档
2020高中数学说课稿高中数学《反函数》说课稿_0647文档EDUCATION WORD高中数学说课稿高中数学《反函数》说课稿_0647文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。
其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。
本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】我担任高职单招辅导班的数学科教学，可以说每节课都是复习课。
今天，我说的是复习课这种课型。
内容是《函数》这一章中的“反函数”这一节。
一、教材分析：反函数这一节在《函数》这章中是一个难点，篇幅不多（课时少），在高考考纲中的要求也比较简单。
但我个人这样认为，复习课应尽量把与本节内容相关的新旧知识系统地串在一起，所以在备课时要找一条能把知识点连在一起的线索。
这线索就是函数的三要素：（一）教学目标：①使学生掌握反函数的概念并能求出简单函数的反函数（考纲要求）。
②互为反函数的两个函数具有的性质，以及这些性质在解题中的运用。
③通过知识的系统性，培养学生的逆向思维能力和逻辑思维能力。
（二）重点、难点：①重点：使学生能求出简单函数的反函数。
②难点：反函数概念的理解。
二、教学方法：整节课采用传统的讲解法。
首先要认识反函数应先有函数的概念这知识，用例子来说明反函数的求法以及让学生来完成一题没有反函数的函数，从而得出一个不满足函数定义的关系式，通过分析来得到一个函数具有反函数的条件。
这里是用“欲擒故纵”的手法，加深对概念的理解，也是突破难点的关键。
三、学生学习方法：学生认识了反函数的求法（步骤）,在老师的引导下得出三个结论，并运用这些结论来解题。
希望能达到提高学生性质的解题能力和思维能力的目标。
四、教学过程：（一）温故：函数的概念、三要素（二）新课：例1：求y=2x+1的反函数解：即（x∈R）注意步骤，新关系式满足从R到R是一个函数关系式。
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
互为反函数图像之间的关系课件
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
❖求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
互为反函数图像之间的关系课件
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
y=x²(x≥0)的反函数是
y = x(x ≥0)
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²(x≥0) 1
y= x(x≥0) x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y=x²+1(x≥0) y
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3 y
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
猜想
❖函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
y x
x
x
0
1
4 9…
y
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 3…
互为反函数图像之间的关系课件
y
y=3x-2
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
2024《函数的图象》说课稿范文
2024《函数的图象》说课稿范文明年我将要讲授的内容是《函数的图象》，下面我将从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《函数的图象》是人教版高中数学选修1教材中的一部分。
它是在学生已经学习了函数基本概念和函数图像的基础上进行教学的，是高中数学领域中的重要知识点，而且函数的图象在实际问题中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解函数图象的基本特征，掌握函数图象与函数关系的变化规律。
②能力目标：在函数图象的绘制和分析中，培养学生观察、推理和问题解决的能力。
③情感目标：在函数图象的学习中，让学生体会数学在实际问题中的应用和意义。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解函数图象的基本特征，掌握函数图象与函数关系的变化规律。
难点是：能够准确地绘制函数的图象，能够通过观察函数图象来推断函数关系的性质。
二、说教法学法根据学生的特点和教学目标，我将采用探究式教学法和问题解决法。
通过引导学生自主探索和思考，培养学生解决问题的能力。
学法是：自主学习法，合作学习法。
三、说教学准备在教学过程中，我将使用多媒体辅助教学，以图像和实例的形式呈现教学素材。
同时，准备了足够的绘图工具和实例问题，以便学生进行练习和探究。
四、说教学过程新课标要求教学活动是师生互动的过程，为了落实这一要求，我设计了如下教学环节。
环节一、谈话引入，导入新课。
课堂伊始，我会通过展示几张函数图象的问题给学生，让学生观察和分析这些图象的特点。
我会适时追问：你们从这些图象中能得到什么信息？这里运用了什么知识？让学生感知函数图象是函数关系的可视化表达方式。
由此引入今天的课题：函数的图象。
设计意图：以问题引入的方式，既激发了学生的好奇心，又调动了学生主动思考的欲望。
环节二、检验课前自学成果。
在课前我会布置一道问题让学生自主学习。
问题是：如何根据函数的表达式绘制函数的图象？我会在课堂上让学生交流和讨论他们的学习成果。
互为反函数的函数图像之间的关系及应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第1页
一、复习提问：
1.叙述反函数定义： 普通地，函数y=f(x)(xA )中,设它值域为C,我们依 据这个函数中x,y关系, 用y把x表示出来得到x = (y). 假如对于y在C中任何一个值,经过x = (y)在A中都有唯 一值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量,x是自
令 x=0得
5 5 m
解法二：令x=0
∴m=-1
则(0,
5 m5
)在f(x)图象上
m
由已知f(x)反函数是本身∴(5 m Nhomakorabea,
0)在f(x)图象上， ∴m=-1
-55=0 m
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三、课堂小结
1、函数 y = f ( x ) 图象与它反函数 y = f －1 ( x ) 图象关于 直线 y = x 对称。
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注：1）这个结论是由特殊到普通归纳出来，并未经过
严格证实，为不增加难度，现在不作证实。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴
（y轴）长度单位一致情况下得出。
3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为
反函数，图像关于直线y = x对称；
函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为 反函数，图像相同。
用对称性画出它反函数图象.
yx
y y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9…
y 0 1 2 3…
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然后我们利用互为反函数函数图像间 关系来处理对应问题
例3、若点P（1，2）在函数 y ax b 图象上， 又在它反函数图象上，求a，b值。
解：由题意知，P（1，2）在函数 y ax b 反函数
高中数学反函数说课稿(改)
各位老师，大家好！我叫韩杨，今天我说课的课题是《反函数》。
下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教学与教法、教学程序和教学效果等六个方面加以分析和说明。
一、教材分析《反函数》是人教版高中数学第一册上册第二章第一节中2.4的内容，主要介绍了反函数的概念和互为反函数的函数图像间的关系。
本节课与函数的基本概念有着紧密的联系，也为后面互为反函数的指数函数和对数函数打下了基础，起到承上启下的重要作用。
二、教学目标分析根据教学大纲的要求和高中学生的认知规律，以及新课标对教育目标的定位，我将本节课的教育目标确定为以下三点：［知识与技能目标］首先使学生理解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数；再者，了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一点，由已知函数图像作出反函数图像。
［过程与方法目标］由特殊事例出发，老师引导学生主动探索得出互为反函数的函数图像之间的关系，采用引导发现、直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
［情感态度与价值观目标］课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生强烈的求知欲。
三、教学重难点分析根据数学新课标标准，我确定本节课的重点是理解反函数的概念并能求出反函数，这建立在对函数概念的真正理解基础上。
难点是学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。
为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法及学法上谈谈我的看法。
四、教法和学法分析数学是一门培养和发展人的思维的重要学科。
因此，在教学中，不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，这也是我小学数学老师经常给我们说的一句话。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，构建新的知识体系。
“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例
“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例
刘宗良
【期刊名称】《小学语文》
【年(卷),期】2004(000)009
【摘要】一、教学过程1.复习。
反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。
求出函数y=x3的反函数。
2.新课。
先让学生用几何画板画出y=x3的图象,学生纷纷动手,很快画出了函数的图象。
有部分学生发出了“咦”的一声,因为他们得到了如下的图象(图1):
【总页数】2页(P27-28)
【作者】刘宗良
【作者单位】浙江省衢州市第二中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例
2.互为反函数的函数图象子性质
3.浅谈互为反函数的函数图象问的关系问题
4.互为反函数的函数图象交点问题
5.互为反函数的两函数图象的交点位置及应用--从一道题的解法谈起
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互为反函数的函数图象间的关系
域; 即对调 x = f －1 ( y ) 中的 x、y.
定 理:
反函数的定义域是原 函数的值域.
例. 已知函数（ f x） x （ 1 x 2）
2
求出f （4）的值。
1
解：令x 1 4，解之得：x 5 又 x 2， x 5.
2
2x-1 -1 3 例. 若函数f(x)= , f ( )的值为多少? 3x+1 7
函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3
y
x2 3
2 A ( , 0) 1 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
也很快回过神来，因为这事情在古代不是经常会发生的吗？只是我现在挺为这仁玉担心的，这长得还是女高中生的样子就要去 嫁人，而且想必他们没见过面，那就是直接被断送了自己一生的幸福啊。于是，我又偷偷瞧了瞧仁玉的神情。但是我却发现， 仁玉的脸上没有丝毫的不愿与焦虑，有的只是一脸的平静。仁老夫人接着说：“我知道这是对你的不公，但是为了我们仁家着 想，我也必须这样做。虽说傅家是当朝新生的官宦大家，但是他们却是唯一一个没有迫害我们仁家的，想必傅大老爷是个懂世 故的好人，你嫁过去也许不会太受苦受气了。”仁玉没有多说，只是很尊敬地回答道：“是的，奶奶，我会照您的意思嫁去傅 家的。”说罢，仁玉再次跪下，对着仁老夫人磕起头来。我看在眼里，觉得这举动有点奇怪，但我猜不准这仁玉心里想的是什 么，因为就我这现代人的思想认为，这可是非得反抗的事情才是。但是对于我不了解的人，我也不适宜妄加定论，更不能随意 去改变他们什么。也许我就是一个这样的人，不热血，怕惹事，最好遇见什么事都做一个观众。仁玉起身作揖，样子像是要出 来了。我见状，赶紧溜走，回到了一开始所在的破木屋里。心想，知道了这仁家的状况之后，现在更是纠结。我本人就很怕事， 来到陌生的地方，处在陌生的时代，心里害怕之余还要努力去适应这我并不向往的古人生活，更要紧的是还遇上了我生平最讨 厌的逼嫁事件，这可愁死我了，究竟我有何用，到了古代还是一个软蛋，我该怎么办啊？想着想着，不知不觉就到了傍晚。仁 轩端着一些看起来简简单单的饭菜来到这破屋子里，看样子是给我送饭来了。我见状，连忙去帮忙端着。仁轩说到：“哥哥， 你吃饭吧。这是姐姐自己做的，姐姐说，过门也是客，不能让你饿肚子。”听罢，心中尤生一股感激之情。然后又开始感叹到 古代的人真有人情味啊。其实，我的肚子早就饿得不行了，碍于面子关系，我真不敢去向他们要吃的。这饭菜看起来真是没有 卖相，也许是因为这是穷人家的缘故吧？细看碗里的米饭，发现和二十一世纪的米粒有些不同；这碗里的米粒都是又大又圆的， 而且吃起来饭香味特弄，这应该是纯天然种植，不含转基因的米饭吧！我一边吃着饭菜，一边又打量起这仁轩。仁轩此时正坐 在我隔壁的椅子上，双眼在时不时地四处张望，身子也在蠢蠢欲动，好像有点不耐烦。见状，我便忍不住向他问道：“小弟弟， 你是叫仁轩吧？”“嗯，是的。”仁轩突然变得一本正经地回答道。我被他态度的突然改变又小惊了一番，缓了下神，又接着 问道：“呃，仁轩弟弟，你好像很着急的样子，你有事要去做吗？”也许我真得问对了，仁轩的神情又变了。这时，他有点结 巴地答道：“没有啦，只是，只是”“只是什
互为反函数的函数图象间的关系
九鼎真申の希望都很大.九鼎真申啊！壹些厉害の九鼎真申,都能在战斗历前匹敌万申之主大能者.现在与呐种天资卓绝の武道天才交好,当然是有必要の.谈论着,南西北三座碧溪申域の域主和修行者,也就到咯东碧溪申域の虚空城市.到呐里,大家就得分开咯,回三座申域,不是壹路.昊云天 拿出虚空申舟,鞠言等入乘坐.呐壹次他们是伍拾个真申来到东碧溪申域,但是回去の事候,却只有四拾伍入.有伍入,永远留在咯前清秘境之内.到咯虚空申舟前,鞠言与昊云天简单打咯个招呼,便将自身关在房间内.是事候,调整彩霞剑の法纹,让彩霞剑真正の威能释放出来咯.大半年过去之 后.呐壹日,鞠言眸子壹凝,手中の彩霞剑,威能快速增强.长剑内部空间の七个申环,都激发出令入心悸の能量波动.鞠言随后闭前眼睛,仔细感悟.“出！”鞠言口中壹声低喝.“呼啦！”壹股带着死亡气息の能量,瞬息间充斥在整个房间之内.在呐片能量笼罩之下,壹切都变得死气沉沉毫无 生机,就连空间内の灵气波动,都降低到咯冰点.仿佛整个世界,都变成咯灰黑色.无处不在の死亡意志,压得让入无法喘息.“呐是……死亡领域?”鞠言睁开眼睛,琛琛の吸咯壹口气.彩霞剑携带の领域历量,居然是死亡领域.死亡领域释放の威能,让鞠言都能感受到琛琛の寒意,呐还是死亡领 域在他の控制之下.如果是敌入释放出来の死亡领域……鞠言咋舌の摇摇头.其实他早该想到,彩霞剑の器胚是死亡申殿主入亲手锻造の.死亡申殿主入,最擅长の就是死亡法则死亡壹道.他亲手锻造の申器,附带死亡领域威能,似乎也是理所当然の事情.“死亡领域、剑意领域、叠历领域还 有弱水领域.现在の俺若是对战,能够使用呐四种领域の历量.”鞠言转动着心念,目中迸发出兴奋の光彩.现在の鞠言,只怕都能碾压大多数普通主申强者咯.那些普通の主申,又能掌握几种领域の历量?壹些刚刚晋升の主申,可能连壹种超级申通都没有掌握.当然,死亡领域和弱水领域都是后
互为反函数的函数图象间的关系课件
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称，则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x， 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y， 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称，则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数，然后解出x，得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域，然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质，以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交，那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$，
当它们在$(a,b)$相交时，必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称，那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质，可以深入了解原函数的性质，如单调
互为反函数的函数图像之间的关系及应用省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
⑶.指出反函数旳定义域（即原函数旳值域).
反解
互换 写出定义域
3、点P(a,b)有关直线y=x对称旳对称点P′旳 坐标为（b, a.）（即横坐标与纵坐标对换位置）
4、函数y=2x2-3(x∈R)有无反函数？为何？ 怎样改写定义域才干使其有反函数？
解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数； 因为它不是由一一映射构成旳函数；
2 a b 1 2a b
解得，a=－3，b=7
例4、求证：函数 y 象有关直线y=x对称.
x (x x 1
1)
旳图
yx
证明：
y
x x 1
∴yx-y=x
y
(y-1)x=y
y x y 1
∴函数 y 旳反函数为
x x
y
(x 1
x x
1)
(x 1
1)
1 －1 1
O
x
－1
即：函数
y
x (x x 1
解：由函数 y x3 (x R)，
y x3 y x
得 x3 y
y
所以函数 y x3
(x R)旳反函数是：
y 3 x(x R)
y3 x
注：当已知函数y=f（x）
x
旳图象时，利用所学定理，
作出它有关直线y=x对称旳
图象，就是反函数y=f－1（x） 旳图象。
练习1：
画出函数y=x2(x∈[0,+∞))旳图象，再
利用对称性画出它旳反函数旳图象.
yx
y y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9…
y 0 1 2 3…
然后我们利用互为反函数旳函数图像间 旳关系来处理相应问题
高教版数学教案——互为反函数的图象间的关系
互为反函数的图象间的关系教学目标：1. 了解互为反函数的两函数图象之间的关系：关于＝对称.2．会利用互为反函数的两图象之间的对称关系作出一个函数反函数的图象.3．通过观察函数图象，渗透存在反函数的一个出数图象的特点，进一步渗透一一对应的思想.教学重点：互为反函数的两函数图象之间的关系.教学难点：反函数图象的画法.教学过程：一、新课导入将一个函数＝(∈)解得＝()(∈())，这时两函数的图象完全相同，如果将＝()(∈())中的、交换后，得＝()(∈())，它的图象与原来函数的图象有什么样的关系呢？这就是这节课我们要学习的内容.二、讲解新课我们先看一个例子.函数＝2，它的反函数的自变量如果仍用表示，即，显然它与＝2的图象是同一个函数(图1).但是对于交换、之后的反函数，有对于函数上的任一点(、)，点(、)一定在它的图象上，反之亦然，这样的两个点(、)与(、)有什么特点呢？连结，我们可以看到直线＝垂直平分线段，这就是说，点(、)和(，)关于直线＝对称(图2).我们将在第六章再严格证明这个性质.一般地有＝(∈)与它的反函数＝()(∈())的图象关于直线＝对称.三、课堂练习第84页练习第2题.(学生完或练习后，可和学生一起总结函数＝3＋2的反函数的画法有两种：一是先求出反函数＝后，再画图象；二是画出＝3＋2的图象后(或不画出图象，根据分析知其图象为一直线)取图象上两点(0，2)，(1，5)，找出其关于＝的对称点(2，0)与(5，1).过两点作直线，即得反函数图象，也可以画出＝3＋2的图象后，作它关于＝对称的图形，但较麻烦，在一个函数的反函数不容易表达或根据表达式不容易画出图形时，用后面的方法画反函数图象较为有利.)四、课堂小结1．函数与其反函数的图象关于＝对称.2．反函数图象的画法.五、课外作业.1．复习3.4.2节课文2．书面作业：第84页练习第2，3题，第86页习题3－1 B第5，6题.。
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课题：互为反函数的函数图像间的关系
●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点
再换一个位置行吗？
〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B
法可能有OB=OG,BD=GD等。
▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当
变化时(y0,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2)
x∈的反函数的图像吗？怎么画？
(R
〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示）●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于
y=x 这条直线对称。
（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。
习题精炼，深化概念
●引导设问9根据图像判断函数x y 2
=有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才
能有反函数？
〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。
总结反思，纳入系统： 内容总结：
1、
()y x 0
,在原函数图像上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上。
2、()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称。
3、原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
思想总结：
由特殊到一般的思想，数形结合的思想 个特殊的函数图像得出一般结论的。
我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。
这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。
而我
对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用
()y x 0
,在原函数图像
上，那么(y 0
,x 0)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究
()y x 0
,与(y 0
,x 0
)的关系。
经讨论研究可得出结论“
()y x 0
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称”。
进而通过任意点的对称得出
原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。
具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2)(R x ∈的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2中
y:函数x ：自变量，反函数32+=y x 中x:函数y ：自变量。
问题2：在原函数定义域
内任给定一个x 0都有唯一的一个
y
与之对应，即()y x 0
0,在原函数图像上，那么哪一点在
反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(y 0
,x 0)在反函数图像上。
问题3：若连结B
()y x 0
,，G (y 0
,x 0
)，则BG 与y=x 什么关系？点B 与点G 什么关系？为什
么？点B 再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解()y x 0
,与(y 0
,x 0
)
为什么关于y=x 对称，突出本课重点和难点。
其它环节具体见教案。