圆周角和直径的关系及圆内接四边形
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解：(1)AB＝AC. 证明如下：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC. ∵BD＝DC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC；
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？ 为什么？
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中 点．
理由如下：连接BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC. ∵△ABC为正三角形， ∴AE＝EC， 即E是AC的中点．
∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
A O
B
CE
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°， 则∠C= 70º ，∠D= 100º . 2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ， 则∠D= 90º .
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么 ∠BCD是( A ) A．120° B．100° C．80° D．60°
∠A= 1 ∠1， ∠C= 1 ∠2.
2
2
∠A+∠C= 1（∠1∠2）= 1 360=180.
2
2
2 1
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
要点归纳
推论 圆内接四边形的对角互补.
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有 何关系？
D
∵∠A＋∠DCB＝180°，
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、
BC的长． 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°.
B
在Rt△ADC中，
DC AC2 AD2 102 62 8;
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
B
A
D
E ●O
C
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = ∠AOC.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
导入新课
情境引入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑 脸的圆心吗？
讲授新课
直径所对应的圆周角
思考：如图，AC是圆o的直径， 则∠ADC= 90° ，
(2)当ABCD为一般四边形时， 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º .
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外
接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
A
C
D B
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直 径，AD=6，那么AB的值为（ A ）
A．3
B．2 3
C．3 3
D．2
5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C. 若AB是⊙O的直径，D是BC的中点． (1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
当堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,
则∠BCD=＿＿5＿0°_.
D
O
A
B
C
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，
则∠AEB等于 （B ）
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
A
ED O
B
C
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
课堂小结
圆周角定 理
推论2
直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考
虑构造直角三角形来求解.
练一练 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75°
A
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
O
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
B
D
C
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD.
ABD 90，
OAB 40，
ADB 50.
O
C 180 50 130.
解析：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
圆内接四边形及其性质
四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特 殊的性质吗？
性质探究
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接 圆. (1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º .
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
导入新课
复习引入
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1 什么是圆周角？ 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
∠ABC= 90° .
推论：直径所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
问题 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到 两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
典例精析
例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
典例精析
例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC.
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？ 为什么？
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中 点．
理由如下：连接BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC. ∵△ABC为正三角形， ∴AE＝EC， 即E是AC的中点．
∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
A O
B
CE
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°， 则∠C= 70º ，∠D= 100º . 2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ， 则∠D= 90º .
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么 ∠BCD是( A ) A．120° B．100° C．80° D．60°
∠A= 1 ∠1， ∠C= 1 ∠2.
2
2
∠A+∠C= 1（∠1∠2）= 1 360=180.
2
2
2 1
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
要点归纳
推论 圆内接四边形的对角互补.
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有 何关系？
D
∵∠A＋∠DCB＝180°，
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、
BC的长． 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°.
B
在Rt△ADC中，
DC AC2 AD2 102 62 8;
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
B
A
D
E ●O
C
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = ∠AOC.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
导入新课
情境引入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑 脸的圆心吗？
讲授新课
直径所对应的圆周角
思考：如图，AC是圆o的直径， 则∠ADC= 90° ，
(2)当ABCD为一般四边形时， 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º .
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外
接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
A
C
D B
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直 径，AD=6，那么AB的值为（ A ）
A．3
B．2 3
C．3 3
D．2
5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C. 若AB是⊙O的直径，D是BC的中点． (1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
当堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,
则∠BCD=＿＿5＿0°_.
D
O
A
B
C
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，
则∠AEB等于 （B ）
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
A
ED O
B
C
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
课堂小结
圆周角定 理
推论2
直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考
虑构造直角三角形来求解.
练一练 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75°
A
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
O
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
B
D
C
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD.
ABD 90，
OAB 40，
ADB 50.
O
C 180 50 130.
解析：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
圆内接四边形及其性质
四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特 殊的性质吗？
性质探究
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接 圆. (1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º .
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
导入新课
复习引入
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1 什么是圆周角？ 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
∠ABC= 90° .
推论：直径所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
问题 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到 两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
典例精析
例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
典例精析
例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC.