2010年河南省高中数学竞赛预赛
2010年河南预赛试卷
2010年全国初中学生化学素质和实验能力竞赛河南赛区预赛试卷可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 Na：23 Mg：24 P：31 S：32；Cl：35．5 K：39 Fe：56 Cu：64 Zn：65一、选择题（本题包括20个题，每题1分，共20分。
每题只有一个选项符合题意。
）⒈河南省内许多城市的环保部门为了使生活垃圾得到合理利用，今年来均逐步实施了生活垃圾分类投放的办法。
其中塑料袋、旧橡胶制品属于A.非金属单质B.金属单质C.无机物D.有机物⒉2009年12月在哥本哈根召开了联合国气候变化大会，“低碳生活”成为热门话题。
下列减缓全球气候变暖的对策中，不恰当的是A.提倡乘坐公共交通工具、骑自行车或步行的方式出行。
B.广泛使用一次性筷子、一次性塑料袋C.在生产和生活中提倡使用节能技术和节能用具。
D.开发无污染的太阳能、风能、地热能等。
⒊下列各组物质发生的变化，均属于化学变化的是A.木炭在空气中燃烧，发光、放热；灯泡通电，发光、放热B.少量酒精在空气中挥发不见了；少量酒精在空气中燃烧不见了C.澄清石灰水中通入适量二氧化碳后变浑浊；澄清的饱和石灰水加热升温后变浑浊D.块状生石灰在空气中逐渐变为白色粉末；镁带在空气中燃烧变为白色粉末⒋铜和铝是日常生活和生产中重要的金属。
钛（Ti）有许多神奇的性能，越来越引起人们的关注，是21世纪的重要金属之一。
依据三种金属的性质和用途，判断下列说法错误的是A.铝是地壳中含量最多的金属元素B.将大小、厚薄相同的铜、铝、钛分别放入等质量、等浓度的稀盐酸中，观察到钛表面缓慢放出气泡，铝的放出气泡较快，而铜的无现象，由此可推测出三种金属的活动性顺序为Al＞Cu＞TiC.钛和钛合金放到海水中数年后仍光亮如初，这说明金属钛具有很强的抗腐蚀性D.高层建筑常采用铝合金门窗而不采用铁门窗，主要原因是铝的密度小且表面易形成一层致密的氧化物薄膜⒌我国盛产的香料中存在的莽草酸（化学式为C7H10O5）,由它合成达菲（化学式为C16H31O8N2P）是抗甲型H1N1流感的一种药物。
二〇〇九年河南省高中数学竞赛平顶山赛区
二〇〇九年河南省高中数学竞赛（平顶山赛区）获奖通报各高中：二〇〇九年河南省高中数学竞赛（即二〇〇九年全国高中数学联赛河南省预赛）（平顶山赛区）的考试、评卷、复评工作已经结束。
现将我市获得一等奖的学生及优秀辅导员名单发给你们（见附件）。
望各校积极做好获奖学生的竞赛辅导工作，以期在参加今年十月举行的全国高中数学联赛中取得优异成绩。
请各校到市教育局南楼103室领取获奖学生证书和优秀辅导员证书。
平顶山市数学会二○○九年七月五日附件:平顶山市获一等奖学生及优秀辅导员名单（获二等奖、三等奖学生名单略）获奖名单高中一年级单位学生优秀辅导员平顶山市一中刘琪畅夏薇赵明旭张益坤唐元晖赵一博程明明王莹张艺竹李莹张罡牛绿茵赵人镜贾战鹏杜鹏刘鑫源张衡衡许景超安新会白晓伟张兴坡赵伟锋谢志毅何本侦刘丽娟曾丽平张琳孟令艳市一高李明柴瑞泽闫叶涓陈祥蒋菊香闫明朱方吕明东市二高刘晨光刘文召毛小果韦小鹏陈艳玲余伟平顶山市实验高中杨帅涛付永康李晓颖陈志强张威徐飞飞张丙坤轩胜利赵巧灵武晓辉包丽丽邱国栋常见伟卫中秋田小现李惊涛市二中陈开阳李克宁蒋静静任延超市八中孙雪李楠贾沙沙王盼盼艾艺魏巧桢张琪程俊利刘晓靖陈青市理工学校蒲香利丁宏汉王晓丽韩梦馨尚亚平赵任光魏海林韩红孙宁闫建飞赵瑞胡春明舞钢市一高侯家宏李鹏飞丁一郭亚楠何广亮张汉超张蒙张新建秦体刚王凤华杨丽平李国顺杨保文郭国良舞钢市实验高中边昕刘卓明罗锴臧书正叶县高中张启祥娄孟飞陈杰军王静如贾培灿杨凯镜王玉其王钊南陈明洋王彬力陈跃强贾冰冰张凯伟王礼宁朱亚伟陶自有刘昆鹏王松召李朋飞任亮宇杨贝贝程广涛王雪艳陈英豪郭学刚蒋军辉苗国昌许冠军赵雅芬边婷婷孙晓杰崔科军马卡卡张瑞华陈娟娄燕楠任明扬周扬叶县二高樊青青廉伟伟郭静燕胜飞许冠超孟进牛先环李纪业张花荣孙辉彩高建辉牛建国杜二霞廉云霞郏县一高高旭龙刘春燕刘梦洋郭赛赛石小兵张利伟李兆举宋红彬张万里周续燎徐军领张飞飞鄢红坡靳前锋张会利樊佳佳刘永强宝丰一高杨亚星华迎春贾俊鹏张相旭周铭浩魏子越董少博王仕豪李文超李宇盎朱基琛薛云涛徐改娜段本强谢继宗谢晓娜韩群淼张素哲闫瑞明王聚伟娄志娜焦晨睿唐照明卢永强马赫军周琳郭丽庞文斌宝丰二高刘世晓胡石涛吴炎飞陈秋红侯幸新丁艳艳鲁山一高孙晨晨崔亚超王中魁刘灵玉黄绩海陈杰李畅刘史运王若楠王官东王瑞敬刘铁山徐焕杰肖君培刘超佳冯育恺张鹏举杨光全俊鹏李俊飞吴晓宁徐登科乔玉伟孙秋会王永刚张艳丽闫鑫磊郝新娜韩跃华徐玉杰孟繁星陈静毅赵明明焦素蕊燕飒飒范艳娜张晓伟刘长水范伟伟王永林红云王东旭张现朝徐永利张国政汪宪伟鲁山二高常梦飞李金凤张灿灿杨耀青李军辉陈清雅全献军齐彦超魏树娜张会杰宋志伟鲁山四高王凯芳刘娟张彩霞王贵臣鲁山江河汪文超匡志超李培园郑静静李喜娜叶向辉孔繁厚汝州一高张宏凯张世珂张亚飞孙亚多胡利品王二品王素红樊向丽马延红于向荣张怀仁娄万松汝州二高王光霞陈罗伟李亚开李雪燕冯真真赵俊晓樊晓娟邢向燕连旭娜李鹏远张晟辉李彩红彭志明刘珈源程传辉刘朝阳苏烜超薛精丹周亚涛李王方达秦晓红刘志宏朱秋冬李翔珠史社轻王富立王燕红陈俊王会会姚广立高中二年级单位学生优秀辅导员平顶山市一中郭素晗程灵沛赵培尧李宇尹金鸽韩怡航朱秀婵张袆袁培龙陈泰羽王文哲温兵兵马帅峰王静静周超锋孙洪涛赵瑾于幸平顶山市一高杨梦豪刘华松李龙龙阮任杰刘富忠左永记李霞宋春玲蒋爱云李轶徽孙艳梅马彩利王玮平顶山市实验高中梁同辉孔培龙尚静静杨彬毛梦菲王东阳张佳伟郝青霞苏泳王晓阁唐可以樊晓静王志龙邢新建李军勇包小广胡金水平顶山市二中宋道杨盼龙李营营魏玢樊亚淼王旗郭鹏飞李茂毛杨础王漫漫杨森涛叶青青李永涛刘志洁王素芳娄聪聪包书敏许雅乐王朝霞马新亮孟俊楠王艳辉李巧王尙升市八中刘龙飞程海涛吕勇倩陈艳艳市理工学校李小锋陈宗碑李沛涛付爱萍杨龙婷刘晓辉孙红娜岳凯市经管学校杜校永郜东阳刘金民史怀俭市二高张瑜张梦梦孙丹华焦旭庄正喜张超华刘亚飞柴玉良舞钢市实验高中王卫东柏松魏社朝李晓桂苗沛叶县二高田松衡杨俊梅张晓亮左克强罗阳阳段长顺吴拥军程可征王领军张广亚宋变红叶县高中侯建华姚聪聪王文龙赵志端许田福郭鹏辉李明果马小芳张二伟梁梦可王延峰郭晓芳杜帅龙张云超闫自辉孙乃葳孙春晓魏海辉赵瑞营张明超樊克彬马菲菲范易佳刘真真周亚贞李运发陈鹏辉王建国王青芝王文豪赵转灵张骁伟崔洪澎刘慧珠叶县三高李文成吕昀梁跃悟董冠冠蒋永铎刘军磊李小敏郭宝彦刘根军王东华刘利军李玉朝唐付琴张丽娜宝丰一高王凯博马鹏飞魏少斐赵艳艳常方园井俊沛李松茂周盟辉翟为一张希彬王乐乐王彩芳常明高三孩沈耀峰徐占强梁爽梁雪荣李峰李红娜鲁山一高刘高峰李子义王文忻林常青李新旗郭芹良李凯丽郭进东宋旭东李春雨贾帅起黄金宝史家栋何正月王洋洋贾士伟高相举扬淑嫩赵阳阳李亚彭陈永超潘庆丰袁留定李慧卿郭小磊乔清洁徐真真杨靖召李理想张彩玲李浩李晓亮于顺兴赵红军徐小巧陈学超梁艳军李坤峰王晓东王运龙岳艳艳朱森林鲁山二高刘亚西李彦春宋丹丹汪俊杰李鹏辉陈志敏刘媛媛栗慧雅张雁红张林马栋驹李群峰袁延伟郭艳丽黄克亮鲁山四高武小改苑永亮刘姗姗王玉新孙继高赵得运江河高中张小玉王艳艳张学峰曹伍刚杨任崇王艳梅李佳峰潘晓艳魏斐杨文柱沈纳新刘晓燕陈艳彭果何伶俐汝州一高陈旭刚李其卫杨小欢陈晓星苏亚川石毅罗朋霞庞其川汝州二高张丹阳耿少峰宋晓玲路迎春张珍胡延玲栗梦坤葛冠军闵真真王俊奇连占平闫素洁娄延晓余彩霞王永军罗建松靳小妮段玉鹏李建芳陈新建郏县一高赵五星陈亚楠王旭鹏邵碗雷玉娇王耀明崔永星李彩娟赵伦叶曹智勇徐正红丁春艳付会杰李克惠狄小荣王延锋马胜锋周国良郏县二高杨亚垒石利锋霍鹏杰冯增科冷广振李红伟郭红要杨宪彬李军亮。
2010年全国高中数学联合竞赛加试及参考答案及评分标淮(B卷)[Word版]2010.10.17
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2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr=-+-，同理 ()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222P O P K Q O Q K -=-，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）M注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：11111112(1)().1m m n mmmk k jj m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ 证明：11101)m m j jm j q C q +++=+=∑由（得到 1110(1),mm m j jm j q qC q +++=+-=∑ 1,2,,q n =分别将代入上式得：11021,mm jm j C ++=-=∑111322,mm m j jm j C +++=-=∑F E QP O NM K DCBA1110(1)(1),mm m j jm j n n C n +++=--=-∑ 1110(1).m m m j j m j n nC n +++=+-=∑ n 将上面个等式两边分别相加得到：1101(1)1(),mnm jjm j i n Ci++==+-=∑∑ （20分）11111(1)(1)1(1),m nnmj j mm j i i n n n Ci m i -+===++-=+++∑∑∑（）11111112(1)().1m m nm mmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ （40分） 三、（本题满分50分）设,,x y z 为非负实数, 求证：22232222223()()()()()32xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤.证明：首先证明左边不等式.因为 2222211[()3()]()44x xy y x y x y x y -+=++-≥+, 同理,有2221()4y yz z y z -+≥+, 2221()4z zx x z x -+≥+; （10分） 于是22222221()()()[()()()]64x xy y y yz z z zx xx y y z z x -+-+-+≥+++21[()()]64x y z xy yz zx xyz =++++-; （20分） 由算术-几何平均不等式, 得 1()()9xyz x y z xy yz zx ≤++++,所以222222221()()()()()81x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx -+-+-+≥++++ 22221(222)()81x y z xy yz zx xy yz zx =+++++++3()3xy yz zx ++≥. 左边不等式获证, 其中等号当且仅当x y z ==时成立. （30分）下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于,,x y z 对称, 不妨设x y z ≥≥, 于是 22222()()z z x x y y z z xy -+-+≤, 所以222222222()()()()x x y y y y z z z z x x xx y y x y-+-+-+≤-+. （40分）运用算术-几何平均不等式, 得222222222()()()2x xy y xy x xy y x y x xy y xy xy xy -++-+=-+⋅⋅≤⋅ 22222()()22x xy y xy x y -+++≤⋅2222233()()22x y x y z +++=≤. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当,,x y z 中有一个为0,且另外两个相等时成立. （50分）四、（本题满分50分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数． 下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． （10分)假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① （40分）这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++．显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （50分）出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2014年河南省高中数学竞赛获奖通报
2014年河南省高中数学竞赛（平顶山赛区）
获奖通报
各高中：
2014年河南省高中数学竞赛（即2014年全国高中数学联赛河南省预赛）（平顶山赛区）的考试、评卷、复评工作已经结束。
现将我市获得一等奖和二等奖的学生及优秀辅导员名单发给你们（见附件）。
望各校积极做好获奖学生的竞赛辅导工作，以期在参加今年九月举行的全国高中数学联赛中取得优异成绩。
请各校到市教育局南楼305室领取获奖学生证书和优秀辅导员证书。
平顶山市数学会
平顶山市教育局教研室
2014年8月20日
附件: 2014年河南省高中数学竞赛获奖名单
一等奖
高中一年级
高中二年级
二等奖高中一年级
高中二年级。
2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编
函数值域与最值1、 (2010年江西省预赛试题)函数21)(2+-=x x x f 的值域是2、 (2010年安徽省预赛试题)函数242)(xx x x f --=的值域是3、 (2010年山西省预赛试题)若],0[π∈x ，函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 4、 (2010年辽宁省预赛试题)函数|cos |3|sin |2)(x x x f +=的值域是5、 (2010年全国联赛一试试题)函数xx x f 3245)(---=的值域是6、(2010年河北省预赛试题)已知关于x 的不等式kx x ≥-+2有实数解，则实数k 的取值范围是7、(2010年江西省预赛试题)设多项式)(x f 满足：对R x ∈∀，都有xxx f x f 42)1()1(2-=-++，则)(x f 的最小值是8、(2010年四川省预赛试题)已知函数424)42()(24224+++-++=xxx k k xx f 的最小值是0，则非零实数k 的值是9、(2010年全国联赛一试试题)已知函数xx a y sin )3cos(2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是10、(2010年全国联赛一试试题)函数)1,0(23)(2≠>-+=a a aax f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 11、(2010年福建省预赛试题)已知函数|2|)(a x x x f -=，试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g12、(2010年辽宁省预赛试题)已知131≤≤a ，若12)(2+-=x axx f 在]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=函数性质与导数的应用1、(2010年河北省预赛试题)函数)1(+=x f y 的反函数是)1(1+=-x fy，且4007)1(=f ，则=)1998(f2、(2010年山西省预赛试题) 函数2)(2-=axx f ，若2))2((-=f f ，则=a3、(2010年辽宁省预赛试题)不等式xx 256log )1(log >+的整数解的个数为4、(2010年吉林省预赛试题)已知1)1,1(=f ，),(),(**N n m N n m f ∈∈，且对任意*,Nn m ∈都有：①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+，则)2008,2010(f 的值为5、(2010年山东省预赛试题)若函数xe ex xf -=ln)(，则=∑=)2011(20101k ke f6、(2010年山东省预赛试题)函数432)(23+++=x xx x f 的图像的对称中心为7、(2010年山东省预赛试题)已知函数)0(4321)(2>--=a x axx f ，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ，使41|)()(|21≥-x f x f 成立，则a 的最小值为8、(2010年福建省预赛试题)函数)(cossin)(*22N k x x x f kk∈+=的最小值为9、(2010年河南省预赛试题)设11)(+-=x x x f ，记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2010x f10、(2010年湖北省预赛试题)对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x xax恒成立，则实数a 的取值范围为11、(2010年甘肃省预赛试题)设0>a ，函数|2|)(a x x f +=和||)(a x x g -=的图像交于C点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则=a 12、(2010年甘肃省预赛试题)函数RR f →:对于一切Rz y x ∈,,满足不等式13、(2010年黑龙江省预赛试题)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是严格单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和为14、(2010年贵州省预赛试题)已知函数2232)(aax xx f --=，且方程8|)(|=x f 有三个不同的实根，则实数=a 15、(2010年安徽省预赛试题)函数=y 的图像与xey =的图像关于直线1=+y x 对称16、(2010年浙江省预赛试题)设442)1()1()(x x x xk x f --+-=，如果对任何]1,0[∈x ，都有)(≥x f ，则k 的最小值为17、(2010年湖南省预赛试题)设函数xx x x f 2cos )24(sinsin 4)(2++⋅=π，若2|)(|<-m x f 成立的充分条件是326ππ≤≤x ，则实数m 的取值范围是18、(2010年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数221)(xxx f +=，若)1011()1001(...)31()21(),101(...)2()1(f f f f n f f f m ++++=+++=，则=+n m19、(2010年河北省预赛试题)已知函数)1)(1ln(1221)(2≥+++-=m x x mxx f（1）若曲线)(:x f y C=在点)1,0(P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值；（2）求证：函数)(x f 存在单调递减区间],[b a ，并求出单调递减区间的长度a b t -=的取值范围。
2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情
2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情况通报2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛于2010年5月举行,我市在新密一高、新密二高、新密实验高中、新密中学、一高分校、京密高中分设六个考点，考试结束后，郑州市教研室统一组织了评卷，日前成绩已经揭晓，现将获奖情况通报如下：望获奖学生及辅导教师戒骄戒躁，在今后学习、工作中，加倍努力，为我市学科教学质量提升做出贡献。
一、高一年级数学竞赛获奖情况：河南省一等奖（19人）陈泽文实高张范一高尚元贺一高黄尚臣一高秦艳艳新密中学王超峰新密中学位二鹏一高魏帅飞新密中学赵留鹏一高郭亚冰新密中学许言午一高赵启源二高黄佳男实高申威实高王玉博实高郑凯利一高申玉蕾一高危超杰一高张园豪二高河南省二等奖（60人）高世浩一高李帅龙一高牛伟朋二高陈博一高陈博文一高陈东晓二高范瑞方实高贾凯歌新密中学李婉迪一高李玉婕二高李志远新密中学梁昆新密中学秦炎明二高任志飞新密中学慎志豪新密中学宋浩阳新密中学王键新密中学王亚芳二高杨亚杰二高张诚实高张星魁二高赵金龙一高郑小冰二高王光耀二高陈光豪二高陈现凯实高丁浩奇实高纪路明一高申仁杰二高张磊磊新密中学甄鹏帅新密中学巴星原新密中学白晓丹实高高永乾二高葛乾隆新密中学管焱一高郭飞新密中学郭英旭二高贾梦迪一高雷志超一高李超一高李东凯一高李浩杰实高李晓伟新密中学李晓昱新密中学李宜高一高蔺玉琪一高刘纯莉实高刘帅鹏一高刘旭东一高王程远一高分校谢婉莹实高尹建伟一高翟师冬二高张腾飞新密中学张晓星二高张云鹏新密中学赵一帆实高甄政毅实高周英豪二高河南省三等奖（74人）崔广楠一高刘英豪二高邵梦旗二高慎津进二高王亚青二高云晓瑜二高张鹏杰新密中学安桂芳新密中学常旭东二高樊颖颖二高付欣二高刘晓静一高王宏元二高王琼一高张涛新密中学孙浩南一高黄亚萌新密中学李晓梦一高苏跃京密高中王浩咏实高白云鹏一高白战奎一高崔文博二高豆鹿建一高分校杜朝阳新密中学付浩楠二高郭秋格实高刘超奇一高刘春阳一高分校刘伟涛一高刘亚蓓一高马健淇一高宋梦坤一高王亚宁一高分校王振军二高韦晓珂实高魏盟奇一高魏志潘一高杨聪伶一高赵爽宁新密中学柴晓萌二高冯俊凯二高李梦珂二高王龙海一高徐焕杰一高分校张萌一高白凯阳新密中学柴伟锋二高高红阳二高蒋钰尧新密中学李留华二高李权航新密中学刘敬洋一高分校刘晓天实高吕亚萌新密中学马笛新密中学申沛东二高宋怀珠二高孙瑞恒二高王程林一高分校王磊一高分校王梦真二高徐慧新新密中学徐鸣鸽二高姚栋威二高张曼玉新密中学张亚静二高张智焜实高赵豪奇二高白龙飞一高分校邢利爽新密中学张肇玉实高张亚萌实高李鑫帅实高二、高二年级数学竞赛获奖情况：河南省一等奖（16人）黄冰冰新密中学周雪登新密中学李云龙新密中学王政杰新密中学程科涵新密中学吴爽爽新密中学姚春霞实高周文博二高高帅实高陈慧霞实高李新建实高李夏雷一高吕彬彬一高高志鹏二高马清晨二高程璐一高河南省二等奖（45人）周龙刚新密中学于梦娇新密中学于云飞新密中学慕丽丽新密中学韩亚博新密中学李彦龙实高李阳实高李冰实高赵晓艳一高冯逸帆一高吕秋杰新密中学李玉博新密中学卢亚辉新密中学黄垚行实高樊浩勇实高刘荧星实高郑瑞光实高孙喆一高刘晓青一高王丽君二高李营浩实高冯耕毓二高李雪扬实高郑成龙一高朱英豪新密中学刘鸣娟二高李根锋二高马杰二高高银鸽二高赵一鸣实高宋娅凯新密中学尹兴月实高张炎杰实高钱会星实高李红阳实高贾志斌一高周小丹一高郑权一高杜国峰新密中学杨柯睿新密中学郑惠方新密中学李大鹏二高朱青林二高张小会二高杨世豪二高河南省三等奖（25人）樊璐璐实高王桂红新密中学黄志娟新密中学孟金鹏新密中学张智凯实高翟怡冰一高蔡丽星一高陈会琳一高郭春光一高分校杨振声二高杨晓航一高分校张瀚文新密中学白萧玉新密中学孙晶晶二高高培然二高陈柏坤二高王晓丹二高郭胜利二高刘金晓二高雷晓莉一高冯朋举一高张浩一高张敬二高钱炎伟二高马顺青二高新密市教体局教研室2010年9月1日。
2010年全国高中数学联赛加试B卷试题及解答(word)版
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr=-+-，同理 ()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222P O P K Q O Q K -=-，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：11111112(1)().1m m n mmmk k jj m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ 证明：11101)m m j jm j q C q +++=+=∑由（得到 111(1),mm m j jm j q qC q +++=+-=∑ 1,2,,q n = 分别将代入上式得：11021,mm jm j C ++=-=∑1110322,mm m j jm j C +++=-=∑F E QP O NM K DCBA1110(1)(1),mm m j jm j nn C n +++=--=-∑ 1110(1).mm m j j m j n nC n +++=+-=∑ n 将上面个等式两边分别相加得到：1101(1)1(),mnm jjm j i n Ci++==+-=∑∑ （20分）11111(1)(1)1(1),m nnmjj mm j i i n n n Ci m i -+===++-=+++∑∑∑（）11111112(1)().1m m nmmmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ （40分） 三、（本题满分50分）设,,x y z 为非负实数, 求证：22232222223()()()()()32xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤.证明：首先证明左边不等式.因为 2222211[()3()]()44x xy y x y x y x y -+=++-≥+, 同理,有2221()4y yz z y z -+≥+, 2221()4z zx x z x -+≥+; （10分） 于是22222221()()()[()()()]64x xy y y yz z z zx xx y y z z x -+-+-+≥+++21[()()]64x y z xy yz zx xyz =++++-; （20分） 由算术-几何平均不等式, 得 1()()9xyz x y z xy yz zx ≤++++,所以222222221()()()()()81x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx -+-+-+≥++++ 22221(222)()81x y z xy yz zx xy yz zx =+++++++3()3xy yz zx ++≥. 左边不等式获证, 其中等号当且仅当x y z ==时成立. （30分）下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于,,x y z 对称, 不妨设x y z ≥≥, 于是 22222()()z z x x y y z z xy -+-+≤, 所以222222222()()()()x x y y y y zz z z x x xx y y x y-+-+-+≤-+. （40分）运用算术-几何平均不等式, 得222222222()()()2x xy y xy x xy y x y x xy y xy xy xy -++-+=-+⋅⋅≤⋅ 22222()()22x xy y xy x y -+++≤⋅2222233(()22x y x y z +++=≤. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当,,x y z 中有一个为0,且另外两个相等时成立. （50分）四、（本题满分50分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数． 下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． （10分)假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+ ，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++ ． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① （40分）这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++ ．显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （50分）。
2010全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案
全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案（2010年5月9日上午8：30---11：00）考生注意：本试卷共五道大题，满分100分．一、填空题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．直接把答案填在题中的横线上.1.定义集合运算：{,,}.A B c ab a A b B ⊗==∈∈设{0,2},{0,4},A B ==则集合A B ⊗的元素的和为 个.解：填8.集合A B ⊗的元素为120,8.c c ==2.设,()||||,a b f x x a x b <=---则()f x 的取值范围是 . 解：填().a b f x b a -≤≤-若,x a ≤则()f x a x b x a b =--+=-；若,a x b <<则()2,()f x a b x a b f x b a =--+-<<-； 若,x b ≥则()f x x a x b b a =--+=-， 综上，有().a b f x b a -≤≤-3. 某一次函数图像与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(-1, -25)，则在线段AB 上(包括,A B )，横纵坐标都是整数的点有 个.设5,4y x b =+由条件过点(-1, -25)，得95,4b =- 所以595.44y x =- 则A （19,0）、B (0, 954-),由595(019)44y x x =-≤≤,取3,7,11,15,19x =时,y 是整数, 所以,满足条件的点有5个.4.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y ,都有()(2)(3)2010,f x f x y f x y x ++=-+-则(2010)f = ．解:填0.令2010,1005,x y ==得(2010)(5025)(5025)20102010,f f f +=+- 所以(2010)0.f =5.如图，已知(2,0),(0,4),A B --P 为双曲线8(0)y x x=>上的任一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ,则四边形ABCD 面积的最小值为 .解：填16.设点P 的坐标为),(00y x ，则有008y x =，00>x .则008(,0),(0,)C x D x ， 由条件知：008||2,||4,CA x DB x =+=+ 故有0000184(2)(4)2()816.2S x x x x =++=++≥所以四边形ABCD 面积的最小值是16.6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为 ．解:填2. 设三棱柱111,A B C A B C-侧棱长为,a 侧面的异面对角线11,AB BC 互相垂直,则1111111111111120()()00cos 6002AB BC B B BA BB B C B B BB B B B C BA BB BA B C a a ⋅=⇒+⋅=⇒⋅+⋅+⋅+⋅=⇒-+=⇒=7. 若抛物线2112y x mx m =-+-与x 轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为 . 解：填.x =1设抛物线2112y x mx m =-+-与x 轴交与整点（1x ，0），（2x ，0）， 1212(,<)x x x x 为整数，且，则方程21102x mx m -+-=有两个整数根12,,x x 得212111()(),22x mx m x x x x -+-=-- 取1,x =代入得12(1)(1)1,x x --=-所以1211,11,x x -=⎧⎨-=-⎩所以120,=2,x x =则抛物线的对称轴方程为.x =18. 已知实数a b 、满足221a ab b ++=，且22t ab a b =--，则t 的最大值与最小值的积为 .解：填1.设,a x y b x y =+=-、则有22()()()() 1.x y x y x y x y +++-+-= 化简得2213,y x =-2210,0.3y x ≥∴≤≤2222222()()()()38 3.t ab a b x y x y x y x y x y x ∴=--=+--+--=--=- 113,3() 1.33t ∴-≤≤-∴-⨯-=9. 用如图所示的两个转盘做游戏,第一个转盘为圆形,O 为圆心,且90AOB BOC ∠=∠= ;第二个转盘为矩形, 1O 为矩形的中心,且NPMN=若同时转动两个转盘,则转盘停止后指针同时指向a 的概率为 .解：填16.指针同时指向a 的概率为111.236P =⋅=10.设在同一平面上两个非零的不共线向量a ,b 满足()⊥-b a b ，对任意的x ∈R,则||x -a b 的取值范围为 .(用向量a,b 表示)解：填[||,)-+∞a b .设OA OB ==a,b,x b 表示与OB共线的任一向量, ||x -a b 表示点A 到直线OB 上任一点的距离,而-|a b |表示点A 到点B 距离，当()⊥-b a b 时，.AB OB ⊥由点与直线之间距离最短知，对任意的x ∈R,有||x -≥a b ||-a b . 二、（本题满分12分）如图,在ABC ∆中,已知9,8,7,AB BC AC ===AD 为内角平分线,以AD 为弦作一个圆与BC 相切,且与,AB AC 分别交与,M N ,求MN 的长.解：如图,连结,DM 由,BDM BAD CAD DMN ∠=∠=∠=∠得MN BC ∥，则,AMN ABC ∆∆ …………………4分易知2299,9()22927.844BD BM BA BD BM BM AM =⋅=⇒⋅=⇒=⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分又 2734.94MN AM BC AB ===所以 38 6.4MN =⨯=…………………12分三、（本题满分13分）如图，两个平面//,m n 线段AD 分别交平面m n 、于点B C 、,过点A 的另一条直线分别交平面m n 、于点M P 、,过点D 的另一条直线分别交平面m n 、于点N Q 、,已知3,2B M NC P Q S S ∆∆=ABC S ∆为ABC ∆的面积,且1sin ,2ABC S AB BC BAC ∆=⋅⋅∠求ADCD 的最小值. 解：因为平面,m n ∥所以,,BM CP BN CQ ∥∥sin sin .MBN PCQ ∴∠=∠ 且,,BM AB BN BDCP AC CQ CD == 又1sin ,2BMN S BM BN MBN ∆=⋅⋅∠1sin ,2CPQS CP CQ PCQ ∆=⋅⋅∠ 结合3,2BMN CPQ S S ∆∆=得3.2AB BD AC CD ⋅=…………………5分 令,,AC BDa b AB CD==则23,b a =且1,b a >> 11,,1BC a AB BC AB a =-=-…………………8分111(1)1113311(1)(1)1222(1)313[(1)]33323(1)2AD AB BC CD a BC a BD CD ab CD CD a CD a CD a a a a a a a a ++-==+⋅=+⋅=+----=+-=++--=-++≥⋅=+- 所以AD CD的最小值为3…………13分四、（本题满分12分）（以下两题请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题给分） (必修4) 已知向量s i n ,1),(c o s ,0),x x ωωω==>a b 又函数()(f x k =⋅-b a b 是以2π为最小正周期的周期函数.若函数()f x 的最大值为21，则是否存在实数t ,使得函数()f x 的图像能由函数()g x t =⋅a b 的图像经过平移得到？若能，则求出实数t 并写一个平移向量m ；若不能，说明理由.解:()()f x k =⋅-b a b =3sin ωx cos ωx -k cos 2ωx=23sin2ωx -21k (1+cos2ωx )= 23sin2ωx -21k cos2ωx -21k=2132+k sin(2ωx +θ)-21k , 又函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，∴ T =22πω=2π , ∴ω=2 . …………………4分∴ ()f x =2132+k sin(4x +θ)-21k ,∵ 函数()f x 的最大值为21，∴ -21k +2132+k =21 ，解得k =1, …………………8分∴ ()f x =2132+k sin(4x -6π)-21k =1sin(4)62x π--, 又()g x t =⋅a b =3t sin ωx cos ωx ==23t sin4x ,∴当t =()g x t =⋅a b 的图像按向量1(,).242π=m 平移后便得到函数()f x 的图像 . ……………………12分 (必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个,白球2个，红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分；在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.求:(1) 甲、乙成平局的概率;(2) 如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？解： 记黑球为1，2号；白球为3，4号；红球为5，6号.则甲取球的所有可能性共有下列20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. ……………………4分 (1)平局时甲、乙两人的得分均应该为3分，所以甲取出的三个小球必须为一黑一白一红，共有8种情况.故平局的概率为182205P ==…………………………8分 (2)甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的3个小球只能是2红1白，1红2白，或2红1黑，共有6种情况.甲（先取者）获胜的概率为2632010P ==. 所以乙（后取者）获胜的概率为3123110P P P =--=因为23P P =，所以先取后取获胜的可能性是一样的.………………12分五、（本题满分13分）设二次函数2()(R)f x x bx c b c =++∈、与x 轴有交点.若对一切R x ∈,有1(,f x x+≥）0且2223(1,1x f x +≤+）求b c 、的值. 解: 11||||||2,x x x x+=+≥ 所以,对于一切满足||2x ≥的实数x 有()0.f x ≥……………3分 则2()0f x x bx c =++=的实数根在区间[-2, 2]内,所以, 二次函数2()(R)f x x bx c b c =++∈、在区间[2,)+∞上是增函数,且(2)0,420,(2)0,420,44,222f b c f b c b b ⎧⎪≥-+≥⎧⎪⎪-≥⇒++≥⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎪-≤-≤⎩……………8分又2222312(2,3]11x x x +=+∈++, 所以2223(1,1x f x +≤+）即(31,f =）93 1.b c ++= 4,42380,542380,4,4444,b b b b b b b b ⎧≤-⎪---≥⎧⎪⎪+--≥⇒≤-⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎩⎪⎩所以,只有 4.b =-此时 4.c =………………13分。
2010年全国高中数学联赛试题及答案.pdf
对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；对 1 t 0, 1 t 2 t 0 .从而可知 3 a 12 .
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3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k(k 1,2,,99) 与双曲线
右半支于 Ak ,交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区
均为整数的点）的个数是
.
4. 已 知 {an }是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ， {bn }是 等 比 数 列 ， 其 中
a1 3, b1 1, a2 b2 ,3a5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 an log bn ，则
.
5. 函数 f (x) a 2x 3a x 2(a 0, a 1) 在区间 x [1,1]上的最大值为 8，则它在这个区
间上的最小值是
.
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮
由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是
.
7. 正三棱柱 ABC A1B1C1 的 9 条棱长都相等， P 是 CC1 的中点，二面角 B A1P B1 ,
则 sin
.
8. 方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解（x,y,z）的个数是
.
二、解答题（本题满分 56 分）
9. （16 分）已知函数 f (x) ax3 bx 2 cx d (a 0) ，当 0 x 1 时， f (x) 1，试求 a 的最大值.
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1. 4
2010年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案及评分标淮(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==， 所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .OEPC 1B 1A 1CBA把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.（8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a .（12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .（4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .（8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. （16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y-++= ))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==.（10分） 220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= .（15分）当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((,33A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S ,（15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t ,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值是7314.（20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即1111n n n n n a aa a a ++=---.（5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a . 所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
【最新精选】2016全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案
全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案（2010年5月9日上午8：30---11：00）考生注意：本试卷共五道大题，满分100分．一、填空题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．直接把答案填在题中的横线上.1.定义集合运算：{,,}.A B c ab a A b B ⊗==∈∈设{0,2},{0,4},A B ==则集合A B ⊗的元素的和为 个.解：填8.集合A B ⊗的元素为120,8.c c ==2.设,()||||,a b f x x a x b <=---则()f x 的取值范围是 .解：填().a b f x b a -≤≤-若,x a ≤则()f x a x b x a b =--+=-；若,a x b <<则()2,()f x a b x a b f x b a =--+-<<-；若,x b ≥则()f x x a x b b a =--+=-，综上，有().a b f x b a -≤≤-3. 某一次函数图像与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(-1, -25)，则在线段AB 上(包括,A B )，横纵坐标都是整数的点有 个. 设5,4y x b =+由条件过点(-1, -25)，得95,4b =- 所以595.44y x =- 则A （19,0）、B (0, 954-),由595(019)44y x x =-≤≤,取3,7,11,15,19x =时,y 是整数, 所以,满足条件的点有5个.4.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y ,都有()(2)(3)2010,f x f x y f x y x ++=-+-则(2010)f = ．解:填0.令2010,1005,x y ==得(2010)(5025)(5025)20102010,f f f +=+-所以(2010)0.f =5.如图，已知(2,0),(0,4),A B --P 为双曲线8(0)y x x=>上的任一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ,则四边形ABCD 面积的最小值为 .解：填16.设点P 的坐标为),(00y x ，则有008y x =，00>x . 则008(,0),(0,)C x D x ， 由条件知：008||2,||4,CA x DB x =+=+ 故有0000184(2)(4)2()816.2S x x x x =++=++≥ 所以四边形ABCD 面积的最小值是16.6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为 ．解:填2. 设三棱柱111,A B C A B C-侧棱长为,a 侧面的异面对角线11,AB BC 互相垂直,则1111111111111120()()00cos 6002AB BC B B BA BB B C B B BB B B B C BA BB BA B C a a ⋅=⇒+⋅=⇒⋅+⋅+⋅+⋅=⇒-+=⇒= 7. 若抛物线2112y x mx m =-+-与x 轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为 . 解：填.x =1 设抛物线2112y x mx m =-+-与x 轴交与整点（1x ，0），（2x ，0）， 1212(,<)x x x x 为整数，且， 则方程21102x mx m -+-=有两个整数根12,,x x 得 212111()(),22x mx m x x x x -+-=-- 取1,x =代入得12(1)(1)1,x x --=- 所以1211,11,x x -=⎧⎨-=-⎩ 所以120,=2,x x =则抛物线的对称轴方程为.x =18. 已知实数a b 、满足221a ab b ++=，且22t ab a b =--，则t 的最大值与最小值的积为.解：填1.设,a x y b x y =+=-、则有22()()()() 1.x y x y x y x y +++-+-=化简得2213,y x =-2210,0.3y x ≥∴≤≤ 2222222()()()()38 3.t ab a b x y x y x y x y x y x ∴=--=+--+--=--=- 113,3() 1.33t ∴-≤≤-∴-⨯-=9. 用如图所示的两个转盘做游戏,第一个转盘为圆形,O 为圆心,且90AOB BOC ∠=∠=;第二个转盘为矩形, 1O 为矩形的中心,且NP MN=若同时转动两个转盘,则转盘停止后指针同时指向a 的概率为 . 解：填16. 指针同时指向a 的概率为111.236P =⋅= 10.设在同一平面上两个非零的不共线向量a ,b 满足()⊥-b a b ，对任意的x ∈R,则||x -a b 的取值范围为 .(用向量a,b 表示)解：填[||,)-+∞a b .设OA OB ==a,b,x b 表示与OB 共线的任一向量, ||x -a b 表示点A 到直线OB 上任一点的距离,而-|a b |表示点A 到点B 距离，当()⊥-b a b 时，.AB OB ⊥由点与直线之间距离最短知，对任意的x ∈R,有||x -≥a b ||-a b .二、（本题满分12分）如图,在ABC ∆中,已知9,8,7,AB BC AC ===AD 为内角平分线,以AD 为弦作一个圆与BC 相切,且与,AB AC 分别交与,M N ,求MN 的长.解：如图,连结,DM 由,BDM BAD CAD DMN ∠=∠=∠=∠得MN BC ∥，易知2299,9()22927.844BD BM BA BD BM BM AM =⋅=⇒⋅=⇒=⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 又 2734.94MN AM BC AB === 所以 38 6.4MN =⨯=…………………12分 三、（本题满分13分）如图，两个平面//,m n 线段AD 分别交平面m n 、于点B C 、,过点A 的另一条直线分别交平面m n 、于点M P 、,过点D 的另一条直线分别交平面m n 、于点N Q 、,已知3,2B M NC P Q S S ∆∆=ABC S ∆为ABC ∆的面积,且1sin ,2ABC S AB BC BAC ∆=⋅⋅∠求AD CD 的最小值. 解：因为平面,m n ∥所以,,BM CP BN CQ ∥∥sin sin .MBN PCQ ∴∠=∠ 且,,BM AB BN BD CP AC CQ CD== 又1sin ,2BMN S BM BN MBN ∆=⋅⋅∠1sin ,2CPQ S CP CQ PCQ ∆=⋅⋅∠ 结合3,2BMN CPQ S S ∆∆=得3.2AB BD AC CD ⋅=…………………5分 令,,AC BD a b AB CD==则23,b a =且1,b a >> 11,,1BC a AB BC AB a =-=-…………………8分111(1)1113311(1)(1)1222(1)313[(1)]33323(1)2AD AB BC CD a BC a BD CD a b CD CD a CD a CD a a a a a a a a ++-==+⋅=+⋅=+----=+-=++--=-++≥⋅=+- 所以AD CD的最小值为3…………13分四、（本题满分12分）（以下两题请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题给分）(必修4) 已知向量s i n ,1),(c o s ,0),x x ωωω==>a b 又函数()(f x k =⋅-b a b 是以2π为最小正周期的周期函数.若函数()f x 的最大值为21，则是否存在实数t ,使得函数()f x 的图像能由函数()g x t =⋅a b 的图像经过平移得到？若能，则求出实数t 并写一个平移向量m ；若不能，说明理由.解:()()f x k =⋅-b a b =3sin ωx cos ωx -k cos 2ωx =23sin2ωx -21k (1+cos2ωx ) =23sin2ωx -21k cos2ωx -21k =2132+k sin(2ωx +θ)- 21k , 又函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数， ∴ T =22πω=2π , ∴ω=2 . …………………4分 ∴ ()f x = 2132+k sin(4x +θ)-21k ,∵ 函数()f x 的最大值为21， ∴ -21k +2132+k =21 ，解得k =1, …………………8分 ∴ ()f x = 2132+k sin(4x -6π)-21k =1sin(4)62x π--, 又()g x t =⋅a b =3t sin ωx cos ωx ==23t sin4x ,∴当t =()g x t =⋅a b 的图像按向量1(,).242π=m 平移后便得到函数()f x 的图像 . ……………………12分(必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个,白球2个，红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分；在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.求:(1) 甲、乙成平局的概率;(2) 如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？解： 记黑球为1，2号；白球为3，4号；红球为5，6号.则甲取球的所有可能性共有下列20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. ……………………4分(1)平局时甲、乙两人的得分均应该为3分，所以甲取出的三个小球必须为一黑一白一红，共有8种情况.故平局的概率为182205P ==…………………………8分 (2)甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的3个小球只能是2红1白，1红2白，或2红1黑，共有6种情况.甲（先取者）获胜的概率为2632010P ==. 所以乙（后取者）获胜的概率为3123110P P P =--= 因为23P P =，所以先取后取获胜的可能性是一样的.………………12分五、（本题满分13分）设二次函数2()(R)f x x bx c b c =++∈、与x 轴有交点.若对一切R x ∈,有1(,f x x+≥）0且2223(1,1x f x +≤+）求b c 、的值. 解: 11||||||2,x x x x+=+≥所以,对于一切满足||2x ≥的实数x 有()0.f x ≥……………3分则2()0f x x bx c =++=的实数根在区间[-2, 2]内,所以, 二次函数2()(R)f x x bx c b c =++∈、在区间[2,)+∞上是增函数,且 (2)0,420,(2)0,420,44,222f b c f b c b b ⎧⎪≥-+≥⎧⎪⎪-≥⇒++≥⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎪-≤-≤⎩……………8分又2222312(2,3]11x x x +=+∈++, 所以2223(1,1x f x +≤+）即(31,f =）93 1.b c ++= 4,42380,542380,4,4444,b b b b b b b b ⎧≤-⎪---≥⎧⎪⎪+--≥⇒≤-⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎩⎪⎩所以,只有 4.b =-此时 4.c =………………13分附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
2010全国高中数学联赛B卷一试
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3. 解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立， 即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=. 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA . 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEPC 1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得 （4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分） 所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a . （12分） 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分） 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤z a， 由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>, 32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. （15分）当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((33A B +-时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分） 解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分） 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,A B 或66((33A B +-时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分） 11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n nn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++kk k a a 即k k a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)试卷及解析
2010年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合M ={x|0<x ≤3},N ={x|0<x ≤2},那么"a ∈M"是"a ∈N"的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若S 5=S 9，则a 3:a 5=（ ）．A. 9:5B. 5:9C. 3:5D. 5:3 3.设f (x )=x−1x+1，记f 1(x )=f (x )．若f n+1(x )=f (f n (x ))，则f 2010(x )=（ ）．A. xB. −1xC.x−1x+1 D. 1+x1−x4.设F 1、F 2是双曲线x 2−y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ．则点M 的轨迹方程是（ ）． A. x 2+y 2=1 B. x 2+y 2=2 C. x 2+y 2=4 D. x 2+y 2=85.将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 宿舍，那么不同的分配方案有（ ） A. 76种 B. 100种 C. 132种 D. 150种6.设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 成等比数列．则sinA+cosA⋅tanCsinB+cosB⋅tanC 的取值范围是（ ）． A. (0,+∞) B. (√5−12,+∞) C. (0,√5+12) D. (√5−12,√5+12)第II 卷（非选择题）二、解答题7.已知函数|的图像与直线y =kx (k >0)有且仅有三个公共点，公共点的横坐标的最大值为α．证明：cosαsinα+sin3α=1+α24α． 8.设∠AOB =θ（θ为常数且0<θ<π2），动点P 、Q 分别在射线OA 、OB 上，使得△POQ 的面积恒为36．设△POQ 的重心为G ，点M 在射线OG 上，且满足|OM |=32|OG |．（1）求|OG |的最小值； （2）求动点M 的轨迹方程．9.设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数．已知对任意正整数n 、m ，当n>m 时，S n −S m =q m S n−m 总成立．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）若正整数m 、k 、ℎ成等差数列，证明：1S m +1S ℎ≥2S k．三、填空题10.已知的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC =4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 11.1+11+2+⋯+11+2+⋯+2010=______．12.已知两点M (−5,0)、N (5,0)．若直线上存在点P ，使|PM |−|PN |=6，则称该直线为“和谐直线”．给出下列直线①y=x −1；②y =2；③y =53x ；④y =2x +1．其中为和谐直线的是______．13.记M=(5+√24)2n(n ∈N +)，N 是M 的小数部分．则M (1−N )的值是______．14.如图，已知⊙C:(x+1)2+y 2=8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 、N 分别在AM 、MC 上，且满足AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，点N 的轨迹为曲线E ．若过定点F (2,0)的直线与曲线E 交于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λFH⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ的取值范围是______．15.设数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +a n =n−1n (n+1)(n =1,2,⋯)．则通项a n =______． 16.已知P 为抛物线y 2=2x 上的动点，点B 、C 在y 轴上，(x −1)2+y 2=1是△PBC 的内切圆.则S ΔPBC 最小值为_______.参考答案1.B【解析】1.主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。
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2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情况
通报
2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛于2009年5月举行,我市在新密一高、新密二高、新密实验高中、新密中学、一高分校、京密高中分设六个考点，考试结束后，郑州市教研室统一组织了评卷，日前成绩已经揭晓，现将获奖情况通报如下：望获奖学生及辅导教师戒骄戒躁，在今后学习、工作中，加倍努力，为我市学科教学质量提升做出贡献。
一、高一年级数学竞赛获奖情况：
河南省一等奖（19人）
陈泽文实高张范一高尚元贺一高
黄尚臣一高秦艳艳新密中学王超峰新密中学
位二鹏一高魏帅飞新密中学赵留鹏一高
郭亚冰新密中学许言午一高赵启源二高
黄佳男实高申威实高王玉博实高
郑凯利一高申玉蕾一高危超杰一高
张园豪二高
河南省二等奖（60人）
高世浩一高李帅龙一高牛伟朋二高
陈博一高陈博文一高陈东晓二高
范瑞方实高贾凯歌新密中学李婉迪一高
李玉婕二高李志远新密中学梁昆新密中学
秦炎明二高任志飞新密中学慎志豪新密中学
宋浩阳新密中学王键新密中学王亚芳二高
杨亚杰二高张诚实高张星魁二高
赵金龙一高郑小冰二高王光耀二高
陈光豪二高陈现凯实高丁浩奇实高
纪路明一高申仁杰二高张磊磊新密中学甄鹏帅新密中学巴星原新密中学白晓丹实高
高永乾二高葛乾隆新密中学管焱一高
郭飞新密中学郭英旭二高贾梦迪一高
雷志超一高李超一高李东凯一高
李浩杰实高李晓伟新密中学李晓昱新密中学李宜高一高蔺玉琪一高刘纯莉实高
刘帅鹏一高刘旭东一高王程远一高分校谢婉莹实高尹建伟一高翟师冬二高
张腾飞新密中学张晓星二高张云鹏新密中学赵一帆实高甄政毅实高周英豪二高
河南省三等奖（74人）
崔广楠一高刘英豪二高邵梦旗二高
慎津进二高王亚青二高云晓瑜二高
张鹏杰新密中学安桂芳新密中学常旭东二高
樊颖颖二高付欣二高刘晓静一高
王宏元二高王琼一高张涛新密中学孙浩南一高黄亚萌新密中学李晓梦一高
苏跃京密高中王浩咏实高白云鹏一高
白战奎一高崔文博二高豆鹿建一高分校杜朝阳新密中学付浩楠二高郭秋格实高
刘超奇一高刘春阳一高分校刘伟涛一高
刘亚蓓一高马健淇一高宋梦坤一高
王亚宁一高分校王振军二高韦晓珂实高
魏盟奇一高魏志潘一高杨聪伶一高
赵爽宁新密中学柴晓萌二高冯俊凯二高
李梦珂二高王龙海一高徐焕杰一高分校张萌一高白凯阳新密中学柴伟锋二高
高红阳二高蒋钰尧新密中学李留华二高
李权航新密中学刘敬洋一高分校刘晓天实高
吕亚萌新密中学马笛新密中学申沛东二高
宋怀珠二高孙瑞恒二高王程林一高分校王磊一高分校王梦真二高徐慧新新密中学徐鸣鸽二高姚栋威二高张曼玉新密中学张亚静二高张智焜实高赵豪奇二高
白龙飞一高分校邢利爽新密中学张肇玉实高
张亚萌实高李鑫帅实高
二、高二年级数学竞赛获奖情况：
河南省一等奖（16人）
黄冰冰新密中学周雪登新密中学李云龙新密中学王政杰新密中学程科涵新密中学吴爽爽新密中学
姚春霞实高周文博二高高帅实高
陈慧霞实高李新建实高李夏雷一高
吕彬彬一高高志鹏二高马清晨二高
程璐一高
河南省二等奖（45人）
周龙刚新密中学于梦娇新密中学于云飞新密中学慕丽丽新密中学韩亚博新密中学李彦龙实高
李阳实高李冰实高赵晓艳一高
冯逸帆一高吕秋杰新密中学李玉博新密中学卢亚辉新密中学黄垚行实高樊浩勇实高
刘荧星实高郑瑞光实高孙喆一高
刘晓青一高王丽君二高李营浩实高
冯耕毓二高李雪扬实高郑成龙一高
朱英豪新密中学刘鸣娟二高李根锋二高
马杰二高高银鸽二高赵一鸣实高
宋娅凯新密中学尹兴月实高张炎杰实高
钱会星实高李红阳实高贾志斌一高
周小丹一高郑权一高杜国峰新密中学杨柯睿新密中学郑惠方新密中学李大鹏二高
朱青林二高张小会二高杨世豪二高
河南省三等奖（25人）
樊璐璐实高王桂红新密中学黄志娟新密中学孟金鹏新密中学张智凯实高翟怡冰一高
蔡丽星一高陈会琳一高郭春光一高分校杨振声二高杨晓航一高分校张瀚文新密中学白萧玉新密中学孙晶晶二高高培然二高
陈柏坤二高王晓丹二高郭胜利二高
刘金晓二高雷晓莉一高冯朋举一高
张浩一高张敬二高钱炎伟二高
马顺青二高
新密市教体局教研室
2010年9月1日。