高考数学总复习函数的概念与性质

高考数学总复习：函数的概念与性质

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目标认知

考试大纲要求：

1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．

4. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

5. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．

重点：

会求一些简单函数的定义域和值域，理解分段函数及其简单应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质。

难点：

分段函数及其简单应用；运用函数图象理解和研究函数的性质．

知识要点梳理

知识点一：函数的概念

1.映射

设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B。

理解：

（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.

（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.

（3）集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B 与f：B→A 一般情况下是不同

的映射.

（4）给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将

元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫

做b的原象.

（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.

2.函数的定义

（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).

（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.

理解：

①集合A、B是两个非空数集；

②f表示对应法则；

③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；

④值域C B。

3.函数的表示

函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示.

①解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号y=f(x)表示，此时解析式本身就是从定义域到值域的

对应法则.

②列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实

用的函数.

③图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是

数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.

4.函数的三要素

函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则.

只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数.

知识点二：函数的性质

1．单调性

（1）定义：

设函数f(x)的定义域为I,区间D I.如果对任意,D,当＜时,都有

(或),则称f(x)是区间D上的增(减)函数.区间D称为f(x)的单调区间.

如果函数f(x)在区间(a,b)上是增函数或是减函数，那么就称f(x)在区间(a,b)上具有单调性，称为单调函数。

理解：

①单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而言,单调性往往是函数的局部性质,而对

于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的,

具有任意性,不

能以特殊值代替.

②函数f(x)在区间D上递增(或递减),与f(x)图像在区间D上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的.

③注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关

系相互贯通:

f(x)在D上为增函数且f()＜f()＜,且,D;

f(x)在D上为减函数且f()＜f()＞,, D.

(2)定义的应用

单调性的定义,是判断,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为：

①设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且＜;

②作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;

③定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.

在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.

(3)延伸

单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;

单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.

2、奇偶性

(1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内