初中数学：实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)
中考数学总复习《实际问题与二次函数》专题训练-附带答案
中考数学总复习《实际问题与二次函数》专题训练-附带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x 轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧．（1）求二次函数的解析式；（2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．2．如图1，平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，点B在第二象限，且∠AOB=135°，OA=2，OB=22，抛物线y=﹣14x2+bx+c经过点B，并与y轴交于点C（0，5），点P在抛物线的对称轴上．（1）求b、c的值，及抛物线的对称轴．（2）求证：以点M（2，5）为圆心，半径为25的圆与边AB相切．（3）若满足条件∠AOB+∠POD=180°与OB：OD=OA：OP的点D恰好在抛物线上，请求出此时点P 的坐标．3．已知：如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，4BC =和AC=8，P 是斜边AB 上的一个动点，PD AB ⊥，交边AC 于点D （点D 与点A C 、都不重合），E 是射线DC 上一点，且EPD A ∠=∠，设A P 、两点的距离为x ，BEP △的面积为y ．(1)求证：2AE PE =；(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当BEP △与ABC 相似时，求BEP △的面积．4．如图，抛物线2y ax bx =+经过点()4,0A ，()2,2B 连接OB ，AB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：OAB ∆是等腰直角三角形；（3）将OAB ∆绕点O 按顺时针方向旋转135︒得到OA B ''∆，写出A B ''的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上，并说明理由．5．如图，在四边形ABCD 中//AB CD 和90A ∠=︒，AB=2，AD=5，P 是AD 边上一动点（点P 不与A 、D 重合）PE BP ⊥，PE 交DC 于点E ．（1）求证：ABP DPE ∽；（2）请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由．6．如图，点E ，F ，G ，H 分别在菱形ABCD 的四条边上BE BF DG DH ===，连接,,,EF FG GH HE ，得到四边形EFGH ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形．（2）设,60AB a A =∠=︒，当BE 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(1)y x m x m =---（其中0m >），交x 轴于A 、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C．（1）∠若3m=，分别求出A、B、C三点的坐标∠如图1，若抛物线上有一点D，ACO BCD∠=∠求点D的坐标；（2）如图2，平面上一点(,2)E m，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ分别交y轴于M、N两点，求证：OM ON⋅是一个定值．8．综合与实践：如图，二次函数y=﹣14x2+32x+4的图象与x轴交于点B，点C（点B在点C的左边），与y轴交于点A，连接AC，AB．（1）求证：AO2=BO•CO；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作MN∠AC，交AB于点M，求当∠AMN的面积取得最大值时，直线AN的表达式．（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．9．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∠DQ交AQ于E，作PF∠AQ交DQ于F.（1）求证：∠APE∠∠ADQ；（2）设AP的长为x，试求∠PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q在何处时，∠ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）10．ABC 是一块锐角三角形材料，边120BC cm =，高80AD cm =，要把它加工成矩形零件EFGH ，使矩形的一边GH 在BC 上，其余两个顶点E 、F 在AB ，AC 上()1求证：::EF BC AM AD =；()2设EF x =，EG y =用含x 的代数式表示y ；()3设矩形EFGH 的面积是S ，求当x 为何值时S 有最大值．11．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 经过点A （4，0）、B （2，2），连接OB 、AB ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△OAB 是等腰直角三角形．12．已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于(1,0)A -和B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，若ABC ∆的面积6ABC S ∆=（1）求抛物线的对称轴及解析式．（2）若(,)P m n 为对称轴上一点，且03n <<，以C 、P 为顶点作正方形CPDE （C 、P 和D 、E 顺时针排列），若正方形CPDE 有两个顶点在抛物线上，求n 的值．（3）如图，C 和D 两点关于对称轴对称，一次函数y kx b =+过D 点，且与抛物线只有唯一一个公共点，平移直线y kx b =+交抛物线于M 、N 两点（M 点在N 点上方），请你猜想MCD ∠与NCD ∠的数量关系并加以证明．13．如图，正方形ABCD 的边长为12，E 是BC 边上一点（与点B 、C 不重合），连接DE ，G 是CB 延长线上的点，过点E 作DE 的垂线交ABG ∠的角平分线于点F ，若FG CG ⊥．(1)求证：DCE EGF ∽△△．(2)若9EC =，求BEF △的面积．(3)当BE 为何值时，BEF △的面积最大，最大值是多少？14．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在B 左边），与y 轴交于点C（1）若(1,0)A -，(3,0)B 两点，求抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P ，使得PBC 的面积最大？若存在求出点P 的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由；（3）直线1y =与抛物线2y x bx c =++交于抛物线对称轴右侧的点为点D ，点E 与点D 关于x 轴对称，试判断直线DB 与直线AE 的位置关系，并证明你的结论15．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点第 11 页 共 12 页 ()0,3C ，P 为x 正半轴上一点，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，若点P 在B 点右侧，过C 垂直于DP 的直线交抛物线于点H ，交DP 于点G ，求证：3PG DG CG GH ⋅=⋅；(3)如图2，若点P 在线段OB 上，DP 交直线BC 于点E ，当CDE 中有一个角与ABD ∠相等，求点P 的横坐标．参考答案：1．（1）2122y x =+；（2）p =－x 2－4x +4，其中－2＜x ＜2；（3）不存在，． 2．（1）1，5，x=2；（2）（3）点P 的坐标为（2，﹣2+25）或（2，﹣2﹣25）或（2，﹣8）或（2，4）．3．((2)214533y x x =-+ 16505x << (3)254或54．（1）2122y x x =-+；（2）见解；（3）点P 不在抛物线2122y x x =-+上 5．（1）（2）能；AP ＝1或4S取最大值为PBC第12页共12页。
中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案
中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案一、单选题1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．5米B．10米C．1米D．2米2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．6米B．5米C．4米D．1米3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣ x2D．y= x24．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A．45B．83C．4 D．565．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y= √32x2B．y= √3x2C．y=2 √3x2D．y=3 √3x26．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，正方形ABCD的顶点A（0，√22），B（√22，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤√2），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）A．B．C．D．8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间t（单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题9．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了米．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题附答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y=﹣112x 2+23x+53．则他将铅球推出的距离是（ ）m ． A ．8B ．9C ．10D ．112．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ） A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元3．为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式 ℎ=−5t 2+v 0t 表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v 0(m ／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m ／sB ．10m ／sC ．20m ／sD ．40m ／s4．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ） A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月D ．1月，2月，3月，12月5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x6．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t 秒时球的高度为h 米，h 和t 满足公式：表示球弹起时的速度，g 表示重力系数，取 g =10 米/秒2) ，则球不低于3米的持续时间是（ ） A ．0.4 秒B ．0.6 秒C ．0.8 秒D ．1秒7．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 y =−125x 2 ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A．2m B．4m C．10m D．16m8．如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（）A．√3B．√2C．√22D．√33二、填空题9．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是m .10．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.(精确到1米)11．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m.三、解答题13．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2√6米，此时水位上升了多少米？14．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．15．某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：种 品价 目出厂价（元/吨） 成本价（元/吨）排污处理费甲种生活用纸48002200200（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费20000元乙种生活用纸7000﹣10x1600400（元/吨） （1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y 1元和y 2元，分别求出y 1和y 2与x 的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？16．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？17．某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品.成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，当x=40时，y=300；当x=55时，y=150． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．18．如图，抛物线L ：y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （3，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．C4．D5．A6．A7．B8．D9．310．8√511．√512．15413．解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3）设y=kx2（k＜0）将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣13x2∴y=﹣13将x=√6代入，得：y=﹣2∴上升了1米．14．（1）解：设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82 答：每套课桌椅的成本为82元（2）解：60×（100﹣82）=1080（元）答：商店获得的利润为1080元15．解：（1）依题意得：y 1=（4800﹣2200﹣200）x ﹣20000=2400x ﹣20000 y 2=（7000﹣10x ﹣1600﹣400）x=﹣10x 2+5000x ；（2）设该月生产乙种生活用纸m 吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m ）吨，总利润为W 元 依题意得：W=2400（300﹣m ）﹣20000﹣10m 2+5000m =720000﹣2400 m ﹣20000﹣10 m 2+5000m =﹣10 m 2+2600 m+700000 ∵W=﹣10（m ﹣130）2+869000． ∵﹣10＜0∴当m=130时，W 最大=869000即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元． 16．（1）解：∵围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 AB=EF=CD=x 米，BC=（24-3x ）米 S=（24-3x ）x =-3x 2+24x （平方米） ∵x > 0,且 15≥24-3x > 0 ∴3≤x <8S=-3x 2+24x （ 3≤x <8 ）（2）解：S=（24-3x ）x =-3x 2+24x =-3（x-4）2+48 ∵a=-3<0，二次函数图形开口向下，函数有最大值 当x=4时，S 最大=48平方米∴当AB 长为4m ，宽BC 为12m 时，有最大面积，最大面积为48平方米． 17．（1）解：设y 与x 之间的函数关系式： y =kx +b 由题意得： {40k +b =30055k +b =150 ，解得： {k =−10b =700∴y 与x 之间的函数关系式为： y =−10x +700 （2）解：设利润为 w 元由题意，得 −10x +700≥240 ，解得 x ≤46 则 w =(x −30)(−10x +700) =−10x 2+1000x −21000=−10(x −50)2+4000 ∵−10<0∴x <50 时， w 随 x 的增大而增大 ∴x =46 时答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 （3）解： w −150=−10x 2+1000x −21000−150=3600 −10(x −50)2=−250 解得： x 1=55 结合二次函数图象可得：当 45≤x ≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于3600元 18．（1）解：∵抛物线的对称轴x=1，B （3，0） ∴A （﹣1，0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点C （0，3） ∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0） ∴{a −b +3=09a +3b +3=0 ∴{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 （2）解：∵C （0，3），B （3，0） ∴直线BC 解析式为y=﹣x+3 ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4 ∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC ：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度 ∴当h=2时，抛物线顶点落在BC 上； 当h=4时，抛物线顶点落在OB 上∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC 的边界）则2≤h≤4（3）解：设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n）①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N 点，如图所示：∵B（3，0）∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形∴∠BPQ=90°，BP=PQ则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP在△PQM和△BPN中∴△PQM≌△BPN（AAS）∴PM=BN∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6解得：m=1或m=0∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点同理可得△PQM≌△BPN∴PM=BN∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3则3+m=m2﹣2m﹣3解得m= 3+√332或3−√332．∴P（3+√332，−√33−92）或（3−√332，√33−92）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（3+√332，−√33−92）和（3−√332，√33−92）．。
人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》同步练习(含答案)
22.3 本质问题与二次函数 ( 一)知识点1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题本质是求函数的最大（小）值。
2、抛物线y ax2bx c(a0) 的极点是它的最高（低）点，当x=b时，二次函数有最大（小）值2a4ac b2y=。
4a一、选择题1、进入夏天后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。
若设均匀每次降价的百分率是 x，降价后的价钱为y 元，原价为 a 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为（）A 、y2a(x1)B、y2a(1 x)C、y a(1 x2 ) D 、y a(1x)22、某商铺从厂家以每件21 元的价钱购进一批商品，该商品能够自行订价。
若每件商品的售价为x 元，则可卖处 (350－ 10x)件商品。
商品所获取的收益y 元与售价 x 的函数关系为（）A 、y10 x2560x 7350B 、y10x2560x 7350C、y10 x2350x D 、y10 x2350x 73503、某产品的进货价钱为90 元，按 100 元一个售出时，能售500 个，假如这类商品每涨价 1 元，其销售量就减少10 个，为了获取最大收益，其订价应定为（）A 、130 元B、 120 元C、110 元D、 100 元4、小明在跳远竞赛中跳出了满意的一跳，函数h 3.5t 4.9t 2（t单位s，h单位m）可用来描绘她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高地点时所用的时间是（）A 、0.71s B、 0.70s C、 0.63s D、 0.36s5、如图，正△ ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒1cm 的速度，沿 A→ B→ C 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为x（秒），y PC 2，则 y 对于 x 的函数图像大概为（）A B C D第5题6、已知二次函数y ax2bx c(a 0) 的图像以下图，现有以下结论：① abc＞0；② b24ac ＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则此中正确的结论的个数是（）A 、1B、 2C、3D、47、如图，已知：正方形ABCD 边长为 1， E、 F、 G、 H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形 EFGH 的面积为s，AE 为 x，则 s 对于 x 的函数图象大概是（）A B C D第7题8、某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节俭资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（暗影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、 y 应分别为（）A 、 x=10,y=14B、x=14,y=10C、 x=12,y=15 D 、x=15,y=12第6题第8题二、填空题1、已知卖出盒饭的盒数x（盒）与所获收益y（元）知足关系式：y x21200x 357 600，则卖出盒饭数目为盒时，获取最大收益为元。
初中数学第二十二章第3节《实际问题与二次函数》解答题 (54)(含解析)
第二十二章第3节《实际问题与二次函数》解答题 (54)一、解答题1．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．2．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如图：未来40天内，前20天每天的价格y(元/件)与时间t(天)的函数关系式为1125(120 4y t t=+≤≤，且t为整数)，后20天每天的价格30元/件(2140t≤≤，且t为整数)．下面我们来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析图中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润()4a<给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线y =ax 2+bx -3a （a <0）上，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ．（1）抛物线的顶点坐标为 （用含a 的代数式表示）（2）若a =-1，当t －1≤x ≤t 时，函数y =a x 2+bx -3a （a <0）的最大值为y 1，最小值为y 2，且y 1-y 2=2，求t 的值；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．4．已知，如图，二次函数2y ax bx c =++图像交x 轴于(1,0)A -，交y 交轴于点(0,3)C ，D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F ．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF 与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点．①求55AP PD +的最小值及取得最小值时点P 的坐标； ②在①的条件下，把APF 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时，设APF 与MBF 重叠部分面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并求出S 的最大值．5．如图1，矩形OBCD 的边OD ，OB 分别在x 轴和y 轴上，且B (0，8)，D(10，0)．点E 是DC 边上一点，将矩形OBCD 沿过点O 的射线OE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点A 处．（1）若抛物线y ＝ax 2+bx 经过点A ，D ，求此抛物线的解析式；（2）若点M 是（2）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M ，使△AME 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P 从点O 出发沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D 运动，动点Q 从点D 出发沿折线D ﹣C ﹣A 以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P 作直线1⊥x 轴，依次交射线OA ，OE 于点F ，G ，设运动时间为t （秒），△QFG 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．（t 的取值应保证△QFG 的存在）6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()30A -，和点0(1)B ，，与y 轴交于点C(03)，，其对称轴1为1x =-．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴1上．①当PA NA ⊥，且PA NA =时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．7．如图1，二次函数2368y x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出点A ，B ，C 的坐标；（2）连接AC ，求直线AC 的表达式；（3）如图2，点D 为线段AC 上的一个动点，连接BD ，以点D 为直角顶点，BD 为直角边，在x 轴的上方作等腰直角三角形BDE ，若点E 在y 轴上时，求点D 的坐标；（4）若点D 在线段AC 上，点D 由A 到C 运动的过程中，以点D 为直角顶点，BD 为直角边作等腰直角三角形BDE ，当抛物线的顶点C 在等腰直角三角形BDE 的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E 的坐标．8．如图，抛物线2:30L y ax bx a =++≠（）交x 轴于()()A 1,0B 3,0-、，交y 轴于C ，直线CD 平行于x 轴，与抛物线另一个交点为D ．（1）求抛物线L 的函数表达式及点D 的坐标；（2）若抛物线L '与抛物线L 关于x 轴对称，M 是x 轴上的动点，在抛物线'L 上是否存在一点N ，使得以B D M N 、、、为顶点且BD 为边的四边形是平行四边形，若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.9．某文化衫的进价为每件40元，当售价为每价60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查反映，每涨价1元，每月要少卖出2件，设每件商品的售价为x 元，每个月的销量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？10．某商店购进了一种小商品，每件进价为2元．经市场预测，销售定价为3元时，可售出200件；现为了减少库存，商店决定采取适当降价措施．经调查发现，销售定价每降低0.1元时，销售量将增多40件．（1）商店若希望获利224元，则应该降价多少元？（2）商店若要获得最大利润，应降价多少元？最大利润是多少？11．某公司生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品每千克的成本费是30元，生产乙种产品每千克的成本费是20元．物价部门规定，这两种产品的销售单价（每千克的售价）之和为80元．经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x （元），在公司规定3060x ≤≤的范围内，甲种产品的月销售量1y （千克）符合12150y x =-+；乙种产品的月销售量2y （千克）与它的销售单价成正比例，当乙产品单价为30元（即：8030x -=）时，它的月销售量是30千克．（1）求2y 与x 之间的函数关系式；（2）公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（销售利润=销售额-生产成本费）（3）是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由．12．某地要改造部分农田种植蔬菜.经调查，平均每亩改造费用是900元，添加滴灌设备等费用（元）与改造面积x （亩）的平分成正比，比例系数为18，以上两项费用3年内不需要增加；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，这项费用每年均需开支．设改造x 亩，每亩蔬菜年均销售金额为k 元，除上述费用外，没有其他费用．（1）设当年收益为y 元，求y 与x 的函数关系式（用含k 的式子表示）；（2）若1500k =，如果按3年计算，是否改造面积越大收益越大？改造面积为多少时可以得到最大收益？（3）若2060x ≤≤时，按3年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求k 的取值范围．注：收益=销售金额-（改造费+滴灌设备等费+种子、人工费）13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，点A 是y 轴上一点，其坐标为()0,6，点B 在x 轴的正半轴上.点P ，Q 均在线段AB 上，点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标大于m ，在PQM ∆中，若//PM x 轴，//QM y 轴， 则称PQM ∆为点P ，Q 的“肩三角形.(1)若点B 坐标为()4,0， 且2m =，则点P ，B 的“肩三角形”的面积为__ ；(2)当点P ，Q 的“肩三角形”是等腰三角形时，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，作过O ，P ，B 三点的抛物线2y ax bx c =++.①若M 点必为抛物线上一点，求点P ，Q 的“肩三角形”面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围.②当点P ，Q 的“肩三角形”面积为3，且抛物线2y ax bx c =++与点P ，Q 的“肩三角形”恰有两个交点时，直接写出m 的取值范围.15．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数关系式．（2）商场将在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（3）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．（2）当销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价，但不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．17．某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）为了使平均每月有10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可以获得利润．18．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表：注：周销售利润=周销售量×(售价﹣进价)（1）求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；（2）当售价定为多少时，周销售利润最大，最大利润是多少？（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m＞0)，物价部门规定该商品售价不得超过45元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值．19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式．（2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？（3）若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．20．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，每天的生产量不超过9000瓶．根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意经销5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多经销500瓶．（1）求出饮料厂每天的利润y（元）与批发单价x（元）之间的函数关系式；（2）批发单价定为多少元时，饮料厂每天的利润最大，最大利润是多少元；（3）如果该饮料厂要使每天的利润不低于18750元，且每天的总成本不超过42500元，那么批发单价应控制在什么范围．（每天的总成本=每瓶的成本⨯每天的经销量）【答案与解析】一、解答题1．（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）销售单价不少于7元且不超过13元时．（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案；（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．解：（1）y=ax 2+bx ﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴255750{4977516a b a b +-=+-=，解得1{20a b =-= ∴y 与x 之间的函数关系为22075y x x =-+-∵()2220751025y x x x =-+-=--+∴当x=10时，y 最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．（2）∵函数22075y x x =-+-图象的对称轴为直线x=10， ∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）又∵函数y=﹣x 2+20x ﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法的应用；二次函数的性质；数形结合思想的应用．2．（1）296m t =-+；（2）第14天，最大利润为578元；（3）34a ≤<（1）根据表格中数据的变化特点得到m 与t 成一次函数关系，设(0,)m kt b k =+≠选取m 与t 的两组对应值代入求解即可；（2）设前20天日销售利润为1P 元，后20天日销售利润为2P 元，根据利润等于每件的利润乘以件数列函数关系式，再根据函数的性质即可得到答案；（3）根据题意得到()()211129625201424809642P t t a t a t a ⎛⎫=-++--=-+++- ⎪⎝⎭，根据函数的性质即可得到答案.（1）经分析知：m 与t 成一次函数关系．设(0,)m kt b k =+≠将292t m =⎧⎨=⎩，488t m =⎧⎨=⎩代入，得292488k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得296k b =-⎧⎨=⎩296m t ∴=-+；（2）设前20天日销售利润为1P 元，后20天日销售利润为2P 元，则()()22129625201114221448014578P t t t t t ⎛⎫=-=-++-++=- ⎝+-⎪⎭， ∴当14t =时，1P 有最大值，为578元．()()2296302020960P t t =-+-=-+⋅，当2140t ≤≤时，2P 随t 的增大而减小，21t ∴=时，2P 有最大值，为540元．578540>，∴第14天日销售利润最大, 最大利润为578元；．（3）()()211129625201424809642P t t a t a t a ⎛⎫=-++--=-+++-⎪⎝⎭对称轴142,t a =+ 120t ≤≤，∴当14220a +≥时，即3a ≥时，1P随t 的增大而增大，又4a <， 34a ∴≤<.【点睛】此题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，正确理解题意是解题的关键.3．（1）()1,4a -；（2）12t =或52t =；（3）43a <-或1a =-时，抛物线与线段BC 有一个交点． （1）将A （-1，0）代入抛物线得b=-2a ，再将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （2）当a=-1时，抛物线顶点坐标为（1，4），然后分情况根据抛物线的性质即可解答； （3）先求点B 坐标，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，利用抛物线的顶点坐标求解．解：（1）直线y=4x+4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A （-1，0），B （0，4），点A 在抛物线y=ax 2+bx-3a （a ＜0）上，∴b=-2a ，∴抛物线y=ax 2+bx-3a=a （x-1）2-4a ，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4a ）．故答案为：()1,4a -；（2）∵1a =-，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．①当1t <时，221223(1)2(1)3232y y t t t t t ⎡⎤-=-++---+-+=-+=⎣⎦， ∴12t =． ②当11t ->时，即2t >时，2212(1)2(1)323232y y t t t t t ⎡⎤-=--+-+--++=-=⎣⎦． ∴52t =． ③当312t ≤≤时，22124(1)2(1)3442y y t t t t ⎡⎤-=---+-+=-+=⎣⎦．解得，2t =± ④当322t <<时，2212423212y y t t t t ⎡⎤-=--++=-+=⎣⎦．解得，1t =± ∴12t =或52t =． （3）①把0x =代入抛物线，得3y a =-．∵抛物线与线段BC 只有一个公共点，∴34a ->． ∴43a <-．。
【精选】人教版九年级数学下册实际问题与二次函数同步练习及答案
26.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与最大利润问题1. 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6－x）个，则当x= 时，一天出售该种文具盒的总利润最大．2. 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元/件）的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．（1）已知销售单价提高4元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；销售这种篮球每月的总利润是元；（2）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）；（3）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？参考答案1．32．（1）y=－10x2+100x+6000（2）当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元3．解：（1）14 460 6440 （2）（10＋x）（500－10x）（3）设月销售利润为y元．由题意得：y＝(10＋x)( 500－10x)，整理得：y＝－10(x－20)2＋9000，当x＝20时，y有最大值9000．此时篮球的售价应定为20＋50＝70(元)．答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球的售价为70元．第2课时二次函数与图形面积问题1. 如图，已知：正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）2. 用长度为2l的材料围成一个矩形场地，中间有2个隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（A．14l B．13C．12l D．l3. ，则这个直角三角形的最大面积为 .4. 给你长8 m的铝合金条，请问：（1）你能用它制成一矩形窗框吗？（2）怎样设计，窗框的透光面积最大？（3）如何验证？参考答案1．B2．A3．50 cm24．解：（1）能.（2）设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大.（3）设矩形的一边长为x m，则另一边长为(4－x)m，设矩形窗框的面积为y m2，则y=x(4－x)=－x2+4x=－(x－2)2+4.所以当x=2时，y有最大值，y最大=4.所以当设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大，最大面积为4 m2.第3课时 建立适当的坐标系解决实际问题1. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y =－x 2+4x+2(单位：米)，则水柱的最大高度是（ ）A ．2米B ．4米C ．6米D ． 米2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米3. 廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数关系式为y =－140x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是＿＿＿米．（精确到0.1米）4. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10 m ．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？参考答案1．C2．A3．17.94．解：（1）设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2(a ≠0)，由CD ＝10 m ，可设D(5，b )，由AB ＝20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，则B （10，b －3），(26)把D、B的坐标分别代入y＝ax2，得251003a ba b=⎧⎨=-⎩，，O到CD的距离为1 m，∴1÷0.2＝5(小时)．故再持续5小时到达拱桥顶．。
人教版 九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数(含答案)
人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°.若新建墙BC 与CD 的总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D.45 32 m 22. 有一根长60 cm 的铁丝，用它围成一个矩形，则矩形的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)之间的函数解析式为( ) A ．S ＝60xB ．S ＝x (60－x )C ．S ＝x (30－x )D ．S ＝30x3. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从点A出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是( )A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 24. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为( )A ．800平方米B ．750平方米C ．600平方米D ．2400平方米5. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m6. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ 的面积的最小值为 ( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 27. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －18. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D．篮球出手时离地面的高度是2 m9. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同10. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取()A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题（本大题共8道小题）11. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.12. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．13. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．14. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．15. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.16. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．17. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.18. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？20. 如图，排球运动员王亮站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；②球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；③若排球运动员张明站在另外半场的点M(m，0)，且张明原地起跳接球的最大高度为2.4 m．若张明因接球的高度不够而失球，求m的取值范围．(2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．21. 某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x(吨)时，所需的成本y(万元)与(x2＋60x＋800)成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p(单位：万元)由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与x成正比例，比例系数为－120.在营销中发现年产量为20吨时，所需的成本是240万元，并且年销售利润W(万元)的最大值为55万元．(注：年利润＝年销售额－成本)(1)求y(万元)与x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(2)求年销售利润W(万元)与年产量x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(3)当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？22. 如图，用一块长为50 cm，宽为30 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.(1)盒子底面的长AB＝________ cm，宽BC＝________ cm.(用含x的代数式表示)(2)若做成的盒子的底面积为300 cm2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S的最大值；若不存在，说明理由.人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，则S ＝AB ·AC 2－AP ·AQ 2＝8×62－2t ×t 2＝－t 2＋24. ∵点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 m/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6， ∴0<t ≤4，∴当t ＝4时，S 取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm 2)．4. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.5. 【答案】D[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.6. 【答案】C[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6 cm.设运动时间为t s(0<t≤4)，则PC ＝(6－t)cm ，CQ ＝2t cm ， ∴S四边形PABQ ＝S △ABC －S △CPQ＝12AC·BC －12PC·CQ ＝12×6×8－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋24＝(t －3)2＋15，∴当t ＝3时，四边形PABQ 的面积取得最小值，最小值为15 cm 2. 故选C.7. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．8. 【答案】A[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.可见选项A 正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.9. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.10. 【答案】C[解析] 如图，设BE ＝CF ＝x cm ，则EF ＝(80－2x )cm.∵△EFM和△CFN 都是等腰直角三角形，∴MF ＝22EF ＝(40 2－2x )cm ，FN ＝2CF ＝2x cm ，∴包装盒的侧面积＝4MF ·FN ＝4·2x (40 2－2x )＝－8(x －20)2＋3200， 故当x ＝20时，包装盒的侧面积最大．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y ＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.12. 【答案】25 [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25. ∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.13. 【答案】225214. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋415. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.16. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.17. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB ＝36 m ，∴AH ＝BH ＝18 m. 由题可知：OH ＝7 m ，CH ＝9 m ， ∴OC ＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－1 36，∴y＝－136x2＋16.当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24 m，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．18. 【答案】0.5[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y＝600－5x(0≤x≤120)．(3分)(2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，(4分)则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500.(7分)答：果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．(8分) 20. 【答案】解：(1)①把x＝0，y＝2及h＝2.6代入y＝a(x－6)2＋h，得2＝a(0－6)2＋2.6，∴a＝－1 60，∴y＝－160(x－6)2＋2.6.②球能越过球网，球会出界．理由如下：由①知y＝－160(x－6)2＋2.6，当x＝9时，y＝－160×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网．当x＝18时，y＝－160×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球会出界．③若运动员张明原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时－160(m－6)2＋2.6＝2.4，解得m1＝6＋2 3，m2＝6－2 3.∵张明接球高度不够，∴6－2 3＜m＜6＋2 3.∵张明在另外半场，∴m的取值范围为9＜m＜6＋2 3.(2)将x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝2－h 36.当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＝2＋3h4＞2.43；①当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②由①②，得h≥8 3.21. 【答案】解：(1)设y＝k(x2＋60x＋800)(k≠0)，由题意，得240＝k(202＋60×20＋800)，解得k＝1 10，∴y＝110x2＋6x＋80.(2)设基础价为a，则p＝a－120x，∴W＝px－y＝(a－120x)x－(110x2＋6x＋80)＝－320[x－13×10(a－6)]2＋13×5(a－6)2－80.∵W的最大值为55，∴13×5(a －6)2－80＝55，解得a 1＝15，a 2＝－3(舍去)，∴W ＝－320[x －13×10×(15－6)]2＋13×5×(15－6)2－80＝－320(x －30)2＋55.(3)∵W ＝－320(x －30)2＋55，∴当x ＝30时，年销售利润最大，∴p ＝a －120x ＝15－120×30＝13.5，∴当年销售利润最大时，每吨的售价是13.5万元．22. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300，整理，得x 2－40x ＋300＝0，解得x 1＝10，x 2＝30(不符合题意，舍去)．当x ＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm 3)．(3)存在．盒子的侧面积S ＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x －4x 2＋60x －4x 2＝－8x 2＋160x ＝－8(x 2－20x)＝－8[(x －10)2－100]＝－8(x －10)2＋800， ∴当x ＝10时，S 有最大值，最大值为800.。
部编数学九年级上册 实际问题与二次函数专题训练(4大题型35题)2023考点题型精讲(解析版)含答案
22.3实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）题型1：几何问题-面积问题1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm，宽为ym，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．【分析】（1）根据篱笆的长为32米．列出y关于x的函数关系式，并根据墙长为18m，矩形的边长大于0求出x的取值范围；（2）设苗圃园的面积为Sm2，根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，令S＝96，解关于x的一元二次方程，取在x范围的解即可；（3）先令S＝150得到关于x的一元二次方程，再根据Δ＜0，可知苗圃园面积不能达到150m2；根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝＝﹣x+16，∵，∴0＜x≤18，∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+16，x的取值范围为0＜x≤18；（2）设苗圃园的面积为Sm2，由（1）知，S＝xy＝x（﹣x+16）＝﹣x2+16x，令S＝96，则﹣x2+16x＝96，解得：x1＝8，x2＝24（舍去），∴平行于墙的边长8m，∴垂直于墙的边长为﹣×8+16＝12（m）；（3）由（2）知S＝﹣x2+16x，令S＝150，则﹣x2+16x＝150，整理得：x2﹣32x+300＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×1×300＝﹣176＜0，∴方程x2﹣32x+300＝0无实数解，∴苗圃园的面积不能达到150m2；∵S＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣16）2+128，∵﹣＜0，∴当x＝16时，S有最大值，最大值为128，∴当平行于墙的边长为16m时，苗圃园的面积最大值128m2．【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，给予每亩地每年发放150元补贴．年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式．（2）根据预计情况，求金大伯今年种植总收入w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分别求出销售收入、种植成本、种植补贴，再根据总收入销售收入种植成本种植补贴计算即可．【解答】（1）设函数关系式为y＝kx+b，根据图象可知，函数图象过点（200，1000），（240，880），将这两点代数函数关系式可得：，解得：，故函数关系式为：y＝﹣3x+1600；（2）销售收入：2000x；成本：y•x＝（﹣3x+1600）•x＝﹣3x2+1600x，补贴：150x；因为，总收入＝销售收入•种植成本+种植补贴，所以w＝2000x﹣（﹣3x2+1600x）+150x，整理得：w＝3x2+550x．【点评】本题主要考查一次函数的实际应用及待定系数法求解析式，解题的关键是正确解读题意，找出各个函数表达式和代数式．3．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？【分析】（1）根据题意：矩形的面积＝AB×BC，设未知数列方程可解答；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，由题意得：x（36﹣2x）＝144，解得：x1＝6，x2＝12，∵墙长为16米，36米的篱笆，∴36﹣2x≤16，2x＜36，∴10≤x＜18，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∵10≤x＜18，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝10时，y有最大值是160，答：AB边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．【解答】解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，由题意得：（）2+（）2＝13，化简得：x2﹣20x+96＝0，解得：x1＝8，x2＝12，当x＝8时，较长部分为12，答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，由题意得：S＝π•（）2+π•（）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），∵＞0，∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．【点评】本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．5．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．【分析】（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）BC长为 米（包含门宽，用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC 长为（36﹣3x）米；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，即可解得x的值；（3）w＝x•（36﹣3x）＝﹣3（x﹣6）2+108，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，故答案为：（36﹣3x）；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，解得x＝4或x＝8，∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，∴x＝4舍去，∴x的值为8；（3）设苗圃ABCD的面积为w，则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴当x＞6时，w随x的增大而减小，∵36﹣3x≤14，得x≥，∴x＝时，w最大为，答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．7．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）根据题意和图形可知：AB•CD＝42，然后列出方程求解即可，注意CD的长不大于9m；（2）根据题意，可以写出面积与AB的长的函数关系，然后利用二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，x（27﹣3x）＝42，解得x1＝2，x2＝7，当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝，∵，解得6≤a＜9，∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值．8．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝ ，其中x的取值范围是 ；（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．【分析】（1）由AD＝x，可得出AB＝20﹣2x，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；（2）根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．【解答】解：（1）∵AD＝BC＝x，∴AB＝20﹣2x．又∵墙长10米，∴，∴5≤x＜10．∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（5≤x＜10）．故答案为：﹣2x2+20x，5≤x＜10；（2）当矩形场地的面积为42m2时，﹣2x2+20x＝42，解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝7，∴20﹣2x＝6．答：矩形的长为7米，宽为6米；（3）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，∴当x＝5时，S最大是50，此时20﹣2x＝10，答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出s关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．9．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；（2）根据二次函数的增减性可得结论；（3）根据列方程即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，∵﹣1＜0，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，∵4≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元，则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600，令w＝1850，﹣2x2+60x+1600＝1850，解得：x＝25或x＝5，∵4≤x≤8，∴4≤x≤5，∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．【点评】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．题型2：几何问题-动点问题10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？【分析】（1）首先根据题意，表示PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，再根据四边形APQC的面积为S＝Rt△ABC的面积﹣Rt△PBQ的面积，用t表示四边形的面积；（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，得PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S＝﹣＝6﹣t（3﹣t）＝t2﹣3t+6；（2）S＝t2﹣3t+6（0＜t＜2），∵a＝1，∴S＝﹣＝时，S有最小值，S＝，∴当t为cm时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm2．【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示四边形的面积是解题关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动．（1）经过几秒，△PBQ的面积等于18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于18列式求值即可；（2）根据三角形的面积公式列出S关于t的函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设经过t（0≤t≤5）秒时间，此时PB＝10﹣2t，BQ＝3t，当△PBQ面积等于18cm2时，根据题意得：（10﹣2t）×3t＝18，解得t1＝2，t2＝3，经检验，均符合题意．∴经过2s或3s后，APBQ的面积等于18cm；（2）设运动时间为t秒，则S＝PB•BQ＝（10﹣2t）×3t＝﹣3t2+15t＝﹣3（t﹣2.5）2+，△PBQ∴当t＝2.5时，S最大，最大值为，△PBQ∴经过2.5秒时，△PBQ的面积最大，最大面积为cm2．【点评】此题考查了二次函数求最值、一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．12．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x 之间的函数解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象可得答案．【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，y＝×AD×AP＝×4×x＝2x；当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，y＝×AD×AB＝×4×3＝6；当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，y＝×AD×PD＝×4×（10﹣x）＝﹣2x+20，综上所述，y＝；（2）函数图象如下：由图象可得，y最大为6，∴△APD的面积的最大值是6．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法．13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，（1）AP＝ 2tcm ，BP＝ （12﹣2t）cm ，BQ＝ 4tcm ；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）△PBQ的面积S＝＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t＝32，解得：t＝2或4，即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36，所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．【点评】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，（3）依题意有S△PQC∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；（2）根据（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时），，点E在SD上（当2.5≤t≤4时），y＝12﹣2t；点E在DC上（当4≤t≤6时），y＝t2﹣12t+36；（2）当0＜t≤2.5时，，对称轴t＝3，y随x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值为7；当2.5≤t≤4时，y＝12﹣2t，是减函数，∴t＝2.5时，y有最大值为7；当4≤t≤6时，y＝t2﹣12t+36，对称轴为t＝6，y随x的增大而减小，∴t＝4，y有最大值为4．综上所述，t＝2.5时，y有最大值为7．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F．设PE＝x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据矩形的对边相等可得OF＝PE＝x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）在矩形PFOE中，OF＝PE＝x，∵AO＝8，BO＝6，∴tan B＝＝，即＝，解得PF＝（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S＝PE•PF＝x•（6﹣x）＝﹣x2+8x，即S＝﹣x2+8x；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣6x+9）+12＝﹣（x﹣3）2+12，∴当x＝3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是12．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，矩形的性质与锐角的正切的利用，（2）把二次函数的解析式转互为顶点式形式是解题的关键．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B 运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S 关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x ）2+y 2＝（6﹣y ）2+x 2，∴y ＝．∵0≤y ≤6，∴0≤≤6，∴≤x ≤．（3）S △BPE ＝•BE •BP ＝••（8﹣x ）＝，S △ECQ ＝＝•（6﹣）•x ＝，∵AP ＝CQ ，∴S BPQC ＝，∴S ＝S BPQC ﹣S △BPE ﹣S △ECQ ＝24﹣﹣，整理得：S ＝＝（x ﹣4）2+12（），∴当x ＝4时，S 有最小值12，当x ＝或x ＝时，S 有最大值．∴12≤S ≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．题型3：利润问题18．某种产品按质量不同分等级，生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，求生产何种档次产品的利润最高？【分析】档次提高时，带来每件利润的提高，销售量下降，设生产第x档次时获得产品的利润为y元，每件利润为[8+2（x﹣1）]元，销售量为[800﹣40（x﹣1）]件，根据：利润＝每件利润×销售量列函数式，化成顶点式即可．【解答】解：设生产第x档次时获得产品的利润为y元，则∵生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，∴y＝[8+2（x﹣1）][800﹣40（x﹣1）]＝﹣80（x﹣9）2+11520，∵当x＝9时，y有最大值，所以，生产第九档次产品获利润最大．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，解题的关键是能够从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．19．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．【解答】解：（1）当1≤x＜30时，y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000，当30≤x≤50时，y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000，综上所述：y与x的函数关系式为y＝；（2）当1≤x＜30时，二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，∵﹣2＜0，∴当x＝10时，y＝3200，最大当30≤x≤50时，y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小，＝2400，∴当x＝30时，y最大综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求解即可；（2）根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式；（3）根据题意得﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，变形得出关于x的二次不等式，然后解一元二次方程，再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（12，220），（16，180）代入得：，解得：．∴y＝﹣10x+340；（2）由题意得：W＝（﹣10x+340）（x﹣8）＝﹣10x2+420x﹣2720，∴W与x的函数关系式是W＝﹣10x2+420x﹣2720；（3）由题意得：﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，∴x2﹣42x+432≤0，当x2﹣42x+432＝0时，解得：x1＝18，x2＝24，∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，∴当18≤x≤24时，x2﹣42x+432≤0，即﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．21．某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量列出函数解析式即可；（2）根据销售利润﹣捐款额列出函数解析式，再根据函数的性质结合x的取值范围求值即可．【解答】解：（1）设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为（200﹣x）元，每月的实际销售量为（1000+×100），则w＝（200﹣x﹣80）（1000+×100）＝20x2十1400x+120000，∵，∴0≤x≤120，∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）；（2）设捐款后的实际利润为p元，则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000+×100）n，整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n，则p是x的二次函数，其对称轴为直线x＝﹣＝，∵0＜n≤6，∴32≤＜35，∵﹣20＜0，∴函数图象开口向下，当40≤x≤60时，p随x的增大而减小，∴当x＝40时，p有最大值135000，即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000，解得：n＝5．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．22．我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元，调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用．为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”，设售价为x元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．（1）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元．【分析】（2）根据题意直接得出结论；（2）根据抛物线的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣10（x﹣80）＝1800﹣10x（80≤x≤180），w＝（x﹣60）（1800﹣10x）﹣20000＝﹣10x2+2400x﹣128000（80≤x≤180）；（2）w＝﹣10x2+2400x﹣128000＝﹣10（x﹣120）2+16000，∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．23．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当x ＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，然后代值求解即可；（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160进而根据二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200；（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160，∵12≤x≤18，且﹣10＜0，∴当x＝16时，w有最大值，最大值为160．答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．24．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？【分析】（1）设出y关于x的函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据每千克的利润×销售量＝总利润列出函数解析式，用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式y＝kx+b（k≠0），将（14，320），（25，210）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；当x＝20时，y＝﹣10×20+460＝260，农贸公司每天销售该特产的利润为（20﹣10）×260＝2600（元），。
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数(含答案)
实际问题与二次函数一、基础练习。
1．一个正方形的面积是25 cm2，当边长增加a cm时，正方形的面积为S cm2，则S关于a 的函数关系式为__________．2．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为y元，则y与x的关系式为____________．3．小强用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是________ cm2.4．小红想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，设矩形面积为S(单位：平方米)，一边长为x(单位：米)．(1)S与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为____________；(2)当x＝________时，矩形场地面积S最大？最大面积是________平方米．5．水枪喷出的水流可以用抛物线y＝－12x2＋bx来描述，已知水流的最大高度为20米，则b的值为()A．210 B．±210C．－210 D．±10 26．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值7．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m、宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m、宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．8．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为()A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m9．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润y(单位：元/千度)与电价x(单位：元/千度)的函数关系式为y＝－15x＋300(x≥0)．(1)当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(单位：元/千度)与每天用电量m(单位：千度)的函数关系为x＝10m＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？二、提高训练。
实际问题与二次函数_详细讲解与练习(含答案)
.. .. ..初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
人教版九年级上册数学期末实际问题与二次函数解答题(喷水问题)专题训练(含解析)
人教版九年级上册数学期末实际问题与二次函数解答题（喷水问题）专题训练(1)以 为坐标原点，AB 标系，求抛物线的解析式；(2)求水柱落点与水嘴底部(1)求水管的长度．(2)如图2，是图中抛物线上一动点，点与点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围．(3)将水管OA 喷水头往上平移m ，求水柱落地处离池中心的距离．A C OA (),P x y P '34(1)求水柱高度y 与距离池中心的水平距离(2)求水柱落地点A 到水池中心(3)若水池半径为，则喷头最大高度为(1)若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时a (2)若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？(3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a 的取值范围．3.5m 1k =3m 1k =2k =(1)求抛物线的表达式．(2)现有另一水柱从距点P 高0.2m ，落点恰好为(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线与x 轴的交点221 1.2y x x n =-++2C 1C(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进的抛物线形为AB 23y x b x =-+(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线(2)实际施工时，经测量，水池的最大半径只有状的情况下且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为OA的长度进行调整，求调整后水管(1)求喷水装置的长和立柱离喷水装置的水平距离(2)当减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱喷水装置的水平距离比原来近了多少米？(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点OA 3m(1)求抛物线表达式．(2)求点的坐标．(3)要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记(1)求：喷出水柱的最大高度为多少米？(2)若需要在线段上的点处竖立另一座雕塑．问：雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明理由．AC B OD E EF OD ⊥F(1)写出点C 、D 的坐标；(2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式；(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的王师傅是否被淋湿？(1)求雕塑高；(2)求落水点、之间的距离；(3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑是否会碰到水柱？请通过计算说明.2m 1.8m OA C D OD E象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)通过计算说明点到点的距离和点到点的距离哪个更长；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．18．为了有效的应对高楼火灾，消防中队开展消防技能比赛，如图，在一个废弃高楼距地面的点和其正上方点处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为．DEFG 3m DE =0.5m EF =A 2m 0.5m OD d m .OC B H B A d 10m A B C A 12m D B D 12m 3m ()m y ()m x 2y ax bx c =++(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；(2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求之间的距离；(3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，求的取值范围．,A B 9m 1218m 3m a参考答案：。
2023年中考数学高频考点突破——实际问题与二次函数(含解析)
（2）要使日均利润为 800 元，则每箱应降价多少元？ （3）促销后发现，该经销商每天的销售量不低于 85 箱．若每销售一箱消毒水可以享 受政府 m 元（0＜m≤6）的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为 1020 元，求 m 的值． 9．某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是 30 元，根据市场调查，在一段时间 内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 元，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件 玩具． （1）设该种品牌玩具的销售单价为 x 元，请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和 销售该品牌玩具获利利润 W 元； （2）在（1）的条件下，若商场获利了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定 为多少元？ （3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 45 元，且商场要完 成不少于 480 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获利的最大利润是多少元？ 10．某公司销售一款产品，每件成本为 2 元．市场营销发现，该产品日销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足 y 10x 80 考虑到各种因素，销售单价不低于 成本价，同时不高于成本价的 400%． （1）若销售单价为 3.5 元，求销售该产品每天获得的利润． （2）设销售该产品每天的利润为W （元），求：每天获利W （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式，并求出每天的最大利润． （3）销售一段时间发现每天利润介于 50 元~80 元之间（包括 50 元、80 元），那么该 公司每天成本最少为多少元？（成本＝进价×销售量） 11．某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合 国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售 价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台． （1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之 间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台 冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多 少？ 12．红星公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在 未来 40 天内的日销售量 m（件）是时间 t（天）的一次函数，当 t 1时， m 94 ；当
人教版九年级数学上册《22.3 实际问题与二次函数应用题》同步练习题-附带参考答案
人教版九年级数学上册《22.3 实际问题与二次函数应用题》同步练习题-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？2．正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为20m，水面上升3m达到该地警戒水位时，桥下水面宽为10m．（1）在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离y（m）与水面宽x（m）之间的函数关系式；（2）如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？3．某商场试销一种成本为30元的文化衫，经试销发现，若每件按34元的价格销售，每天能卖出36件；若每件按39元的价格销售，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）是销售价格x(元)的一次函数．（1）直接写出y与x之间的函数关系式.（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，每件的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？4．如图，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B．（1）求此二次函数的表达式，以及点B的坐标．（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”.某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔.在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足函数关系y=−2x+200.专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩.（1）设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式；（2）嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1700元.”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由.6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？7．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图），设绿化带的边BC长为x米，绿化带的面积为y 平方米.（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？最大面积是多少？8．某公司生产某种皮衣，每件成本为200元.据公司往年数据分析预测，今年12月份的日销售量s（件）与时间t（天）的关系如图.前20天每天的价格m1（元/件）与时间t（天）的函数关系式m1=2.5t+250(1≤t≤20且t为整数)，第21天到月底每天的价格m2（元/件）与时间t（天）的函数关系式m2=-5t+400(21≤t≤31且t为整数).（1）求s与t之间的函数关系式；（2）求预测12月份中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少?（3）根据疫情情况，在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件衣服就捐赠10a元(a<4)给红十字会.公司要求在前20天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，问第10天时，日销售利润能不能超过3600元，请说明理由.9．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。
部编数学九年级上册专题06实际问题与二次函数之五大题型(解析版)含答案
专题06 实际问题与二次函数之五大题型图形问题 例题：（2023下·广西·八年级南宁十四中校考期末）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m 的砖墙，然后打算用长60m 的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于AB ）的长方形施工区域．(1)设施工区域的一边AB 为m x ，施工区域的面积为2m S ．请求出S 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)当围成的施工区域面积为2288m 时，AB 的长是多少？(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/2m ，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．【答案】(1)()23602011S x x x =-+£<；(2)当AB 的长是12米时，围成的施工区域面积为2288m ；(3)拨款够用．理由见解析【分析】（1）根据题意可得到S 与x 的函数关系式为：2360S x x =-+，自变量x 的取值范围是：1120x £<；（2）当围成的施工区域面积为2288m 时：2360288x x -+=，解一元二次方程即可求得AB ；（3）由()2310300S x --+，结合1120x £<，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断.【详解】（1）解：根据题意得：()2603360S x x x x =-=-+，0603270360x x <-£ìí<<î，解得：1120x £<，∴S 与x 的函数关系式为：()23602011S x x x =-+£<；（2）解：由（1）知：()23602011S x x x =-+£<，∵围成的施工区域面积为2288m ，∴2360288x x -+=，解得：8x =（舍去）或12x =，∴当AB 的长是12米时，围成的施工区域面积为2288m ；（3）解：拨款够用．解析如下：∵()22360310300S x x x =-+=--+，∵30a =-<，函数图像的对称轴为直线：10x =，∴当1120x £<时，S 随x 的增大而减小，∴当11x =时，施工区域有最大面积()()223111030029m 7S =--+=，所需费用为297400118800120000´=<，答：拨款够用．【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD ，且中间共留两个1米的小门．设篱笆BC 长为x 米．(1)AB =______米（用含x 的代数式表示）(2)矩形鸡舍ABCD 的面积的最大值是多少？说明理由．【答案】(1)()453x -求解．2．（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住．设CD 长为x 米，绿化带面积为2m y ．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？(3)若墙长是18米，当x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大？【答案】(1)2240y x x =-+，7.520x £<(2)当10x =时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米(3)当11x =时，绿化带面积最大，最大面积是()221110200198--+=平方米【分析】（1）根据长方形的面积计算公式列函数关系式，利用边长大于零及墙的长度求自变量的取值范围；（2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值；（3）先确定自变量的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）解： ()2402240y AB CD x x x x =×=-=-+，∵0040225x x >ìí<-£î，∴7.520x £<；（2）∵()22240210200y x x x =-+=--+，∴当10x =时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米；（3）∵0040218x x >ìí<-£î，拱桥问题(1)该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；(2)求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．1设抛物线解析式为2y ax =，21214.4a \´=-解得：110a =-，【变式训练】1．（2023上·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度8AB =米，隧道最高处距路面6OE =米，矩形的宽2AD =米．(1)求这条抛物线的表达式．(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？【答案】(1)2164y x =-+(1)求该抛物线所对应的函数表达式．()销售问题于450台的销售任务”计算自变量x 的取值范围；（2）根据“总利润=单台利润´销量”得出利润w 关于售价x 的函数解析式，然后利用二次函数的性质，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出10台，可得月销售量y 与售价x 之间的函数关系式为200(400)10104200y x x =+-´=-+，∵这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，∴300104200450x x ³ìí-+³î，解得300375x ≤≤，∴月销售量y 与售价x 之间的函数关系式为104200y x =-+(300375)x ££；（2）(200)w x y=-(200)(104200)x x =--+2106200840000x x =-+-210(310)121000x =--+，∵100a =-<，且300375x ≤≤，∴当310x =时，可有121000w =最大，即当售价x 定为310元时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w 最大，最大利润是121000元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系并正确列出函数解析式是解题关键．【变式训练】1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）为了振兴乡村经济，大力发展绿色乡村建设，某乡镇在重点旅游道路边上建设一个小型活动广场，计划在2400m 的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用 y （元/m 2） 与()2m x 种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为20元/m 2．花卉布局要求是：甲种花卉种植面积不少于230m ，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍．x=时，甲种花卉的种植费用(1)当80(2)如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？【答案】(1)20，8000(2)甲种花卉种植面积为100m投球问题(1)c的值为________；(2)当320a=-时，①若实心球落地点为B，此时【变式训练】【答案】10m【分析】设抛物线的解析式为y 就可以求出结论．【详解】解：由题意可得OC=(1)求y关于x的函数表达式.(2)根据河南高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生）的水平距离大于等于7.8m时，此项考试得分为满分喷水问题【变式训练】1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根高2.25m 的水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高3m ．以池中心O 为原点，原点与水柱落地处B 所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图）．求水柱落地处B 到池中心O 的距离．【答案】3m【分析】设抛物线的解析式为()213y a x =-+，把点()0,2.25代入，确定解析式，令0y =，求方程的根即可．【详解】解：设抛物线的解析式为()213y a x =-+，把点()0,2.25代入，得(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC(2)求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(3)当1mBD=时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．【答案】(1)喷出水的最大射程OC为6m；一、单选题A ．21(3)2y x =+B ．21(3)2y x =-【答案】B 【分析】先根据B 、D 关于y 轴对称，得出()3,0-，则右边抛物线的顶点F 的坐标为①30m AB =；②池底所在抛物线的解析式为145y x =③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为定系数法求解．二、填空题设AB 段抛物线的解析式为()270y a x b =-+，将()1400B ，代入得()2140700a b -+=，三、解答题7．（2023上·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为70元，当这款电子产品按每个100元出售时，一天可售出20个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降低1元，其日销售量可增加2个．设该电子产品每个降价x 元，网店一天可通过该电子产品获利润y 元．(1)求y 与x 的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围）．(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？【答案】(1)2240600y x x =-++(2)这款电子产品销售单价为90元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为800元．【分析】（1）利润y 是降价x 的函数，根据总利润=每个电子产品的利润´销售量，即可求得答案．（2）电子产品每个降价应大于等于0，每个电子产品的利润应大于等于0，可得1007000x x --³ìí³î，求解可得x 的取值范围；二次函数2240600y x x =-++的开口向下，对称轴为10x =，据此即可求得答案．【详解】（1）根据题意可知，利润y 是降价x 的函数，根据总利润=每个电子产品的利润´销售量，得()()10070202y x x =--+．化简，得2240600y x x =-++．（2）根据题意可知，电子产品每个降价应大于等于0，每个电子产品的利润应大于等于0，可得1007000x x --³ìí³î．解得030x ££．二次函数2240600y x x =-++的开口向下，对称轴为10x =，所以，当10x =时，二次函数可以取得最大值．(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出(2)怎样围才能使矩形场地的面积为(3)能否使所围矩形场地的面积为(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为多少(2)如果运动员在距水面高度为出现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【答案】(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为(1)直接写出销售量y 与销售单价x 之间的函数表达式______；(2)设这两种商品的每天销售总额为S 元，求出S （元）与x （元/千克）的函数关系式：（注：商品的销售额=销售单价´销售量）(3)设这两种商品销售总利润为W ，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润=两种商品的销售总额-两种商品的总成本）【答案】(1)2100y x =-+(2)22100S x x =-+()1050x ££(3)当销售单价定为30元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是240元【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）利用商品的销售额=销售单价´销售量，即可求出S （元）与x 的函数关系式；（3）利用销售总利润=两种商品的销售总额-两种商品的总成本求出两种商品销售总利润为W 与销售单价x 之间的关系式，根据已知求出x 的取值范围，再将关系式化为配方式，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为()0y kx b k =+¹，将图象中()30,40、()40,20代入得：30404020k b k b +=ìí+=î，解得：2100k b =-ìí=î，∴销售量y 与销售单价x 之间的函数表达式为：2100y x =-+，故答案为：2100y x =-+；（2）∵超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙，且商品乙每天供货总量只有80千克，∴商品甲的销量：080y ££，即0210080x £-+£，∴1050x ££，(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度x02461112水平距离/my 2.38 2.62 2.7 2.62 1.72 1.42竖直高度/m①根据上述数据，求抛物线解析式；【答案】(1)①20.02(4) 2.7y x =--+；②不能(2)该运动员此次发球没有出界，见解析【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设函数解析式为顶点式，再把()4,2.7代入解析式求出a 即可；②当9x =时求出y 的值与2.24比较即可；（2）令20.02(5) 2.88y x =--+中的0y =，解方程求出x 的值与18比较即可．【详解】（1）解：（1）①由表中数据可得顶点()4,2.7，设2(4) 2.7(0)y a x a =-+<，把()0,2.38代入得16 2.7 2.38a +=，解得：0.02a =-，\所求函数关系为20.02(4) 2.7y x =--+；②不能．当9x =时，()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<，\该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：20.02(5) 2.88y x =--+，令0y =，则20.02(4) 2.880x --+=，，解得17(x =-舍)，217x =，21718x =<Q ，\该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．。
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)一、选择题：1．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（ ） A ．2月和12月 B ．2月至12月 C ．1月 D ．1月、2月和12月2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a+b ＝5，则Rt △ABC 的面积S 关于边长c 的函数关系式为（ ）A ．S ＝ 2254c -B ．S ＝ 2252c -C ．S ＝ 252c-D ．S ＝ 2254c +3．用一根长为30cm 的绳子围成一根长方形，长方形一边长为x ，则长方形的面积Scm 2与xcm 的函数关系式为S=﹣x 2+15x ，其中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．0＜x ＜15 C ．0＜x ＜30 D ．15＜x ＜304．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．此抛物线的解析式是y=﹣15x 2+3.5 B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D ．篮球出手时离地面的高度是2m5．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 OA 喷出， OA 长为 1.5m .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为 3m .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 ()y m 与水平距离 ()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠ ，则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1mB ．32m C ．138m D ．2m6．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．3米B．2米C．13米D．7米7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力等因素，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度大于20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11.25m，其中正确．．结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：9．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．10．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为米时，围成的花圃面积最大，最大面积为平方米．11．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为 ．12．如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l 为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加 米.13．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y(m) 与水平距离 (m)x 之间的函数关系式为 21251233y x x =-++ ，小明这次试掷的成绩是 ．三、解答题：14．把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为12m.（1）求这条抛物线的解析式.（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由.15．掷实心球是中考体育考试项目之一.如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为95m .当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处.（1）求y 关于x 的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m 时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.16．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？17．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于48m ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5m ，计划中的建筑材料总长45m ，设两间饲养室的宽度为m x ，总占地面积为2m y .（1）求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围.（2）求饲养室的宽度为多少m 时，饲养室最大面积多少2m ？（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于2189m ，求饲养室的宽度m x 的范围.18．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．参考答案：1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】11 10．【答案】7；21 11．【答案】y=2x 2﹣4x+4 12．【答案】264 13．【答案】10米14．【答案】（1）解：由图象可知 抛物线的顶点坐标为（6，4）设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣6）2+4 过点（12，0）则0＝a （12﹣6）2+4 解得a 19=-. 即这条抛物线的解析式为：y 19=-（x ﹣6）2+4. （2）解：货船能顺利通过此桥洞.理由：当x 12=（12﹣4）＝4时 y 19=-（4﹣6）2+4329=＞3 ∴货船能顺利通过此桥洞.15．【答案】（1）解：根据题意设y 关于x 的函数表达式为()245y a x =-+把9(0)5，代入解析式得，()290455a =-+，解得，15a =- ∴y 关于x 的函数表达式为()21455y x =--+，即：2189555y x x =-++.（2）解：不能得满分，理由如下 根据题意，令0y =，且0x >∴21890555x x -++=，解方程得，19x =，21x =-（舍去） ∵99.7<∴不能得满分. 16．【答案】解：（1）根据题意得：y=（30+x ﹣20）（230﹣10x ）=﹣10x 2+130x+2300，自变量x 的取值范围是：0＜x ≤10且x 为正整数；（2）当y=2520时，得﹣10x 2+130x+2300=2520，解得x 1=2，x 2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y=﹣10x 2+130x+2300=﹣10（x ﹣6.5）2+2722.5，∵a=﹣10＜0，∴当x=6.5时，y 有最大值为2722.5，∵0＜x ≤10且x 为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元． 17．【答案】（1）解：设两间饲养室的宽度为m x ，则长为()()453 1.52=483m x x -+⨯- ∵0<483>0x x -， ∴016x <<由矩形的面积可得：()2483348y x x x x =-=-+∴()23480<<16y x x x =-+（2）解：∵()2234838192y x x x =-+=--+，30-<∴函数图象开口向下∴当8x =时，饲养室的宽度为8m 时，饲养室最大面积2192m（3）解：令189y =可得：()218938192x =--+，解得：9x =或7x = ∴要使两间饲养室合计占地总面积不低于2189m ，x 的取值范围为79x ≤≤ 18．【答案】（1）解：2y x =，2y x =-+ （2）解：设()2P m m ，，则()2H m m -+，根据题意得222192224PH m m m m m ⎛⎫=-+-=--+=-++⎪⎝⎭ 10a =-<∴当12m =-时，PH 有最大值∴1124P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
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初中数学专项训练：实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm由题意得： 17)420()4(22=-+x x解得： 4,1621==x x当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为)5(4420x x -=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm 2，根据题意，得：25102)5(222+-=-+=x x x x y ，∵25102)5(222+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值， 即当2522102=⨯--=-=a b x 时，225241025244422min =⨯-⨯⨯=-=a b ac y =12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm 2.练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y.(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .212y x . 【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：y=ax 2，利用待定系数法求解.试题解析：设此函数解析式为：2yax ，0a ； 那么（2，-2）应在此函数解析式上． 则24a即得12a ， 那么212y x ． 考点：根据实际问题列二次函数关系式.练习1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是4522++-=x x y .请回答下列问题：(1)柱子OA 的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？2．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少图（1） 图（2）（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?三、利用抛物线解决最大利润问题例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.【解析】试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．试题解析：（1）由题意得出： ()()()2W x 20y x 2010x 50010x 700x 10000=-=--+=-+-， ∵b a 100352a=--=<， ，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：210x 700x 100002000-+-=，解这个方程得：x 1=30，x 2=40．∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）∵a 100=-<，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000.∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.设成本为P （元），由题意，得：()P 2010x 500200x 10000=-+=-+，∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小．∴当x=32时，P 最小=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．考点：二次函数的应用．练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ；（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了3．某公司营销,A B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A 种产品所获利润y (万元)与所售产品x (吨)之间存在二次函数关系2y ax bx =+.当1x =时， 1.4y = ；当3x =时， 3.6y =．信息2：销售B 种产品所获利润y (万元)与所售产品x (吨)之间存在正比例函数关系0.3y x =． 根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；(2)该公司准备购进,A B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售,A B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （x≥3000）的代数式填表:租出的车辆数 未租出的车辆数租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．初中数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、1（1）y=2x 2-2ax+a 2 (2) 有.当点E 是AB 的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）先由AAS 证明△AEF ≌△DHE ，得出AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米，再根据勾股定理，求出EF 2，即可得到S 与x 之间的函数关系式；（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD= a 米．∵四边形EFGH 为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH ．在△AEF 与△DHE 中，∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH∴△AEF ≌△DHE （AAS ），∴AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米，∴y=EF 2=AE 2+AF 2=x 2+（a-x ）2=2x 2-2ax+ a 2，即y=2x 2-2ax+ a 2；（2）∵y=2x 2-2ax+ a 2=2（x-2a ）2+24a ，∴当x=2a 时，S 有最大值． 故当点E 是AB 的中点时，面积最大．二、练习1（1）45 （2）49 （3）25 【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y 的值，即可求出答案．（2）通过抛物线的顶点坐标求得（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式得：y=45，即柱子OA 的高度是45 （2）由题意得：当x=2=121-⨯-（）时，y=49,即水流距水平面的最大高度 （3）把y=0代入抛物线 得：4522++-x x =0，解得，x 1=12-(舍去，不合题意)，x 2=52 故水池的半径至少要52米才能使喷出的水流不至于落在池外 2．（1）①21425y x =-+；②10；（2）①14.5；②． 【解析】试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x 的值即可；（2）①构造直角三角形利用BW 2=BC 2+CW 2，求出即可；②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2，求出即可．试题解析：（1）①设抛物线解析式为：2y ax c =+，∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，∴A （﹣10，0），B （10，0），D （0，4），∴10004a c c +=⎧⎨=⎩，解得：1254a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为：21425y x =-+； ②∵要使高为3米的船通过，∴3y =，则213425x =-+，解得：5x =±，∴EF=10米； （2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW 2=BC 2+CW 2，∴222(4)10r r =-+，解得：14.5r =； ②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2，即GF 2=14.52﹣13.52=28，所以GF=EF=考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x 2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.【解析】试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x 2+360x-9600；(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x 2+360x-9600的最大值.试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x 2+360x-9600；(3)当x ≤60，y 随x 的增大而减小，当x=55时，w 最大=1125所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.考点：（1）一次函数；（2）二次函数．2．（1）2w 2x 120x 1600=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-，∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-.（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.3．见解析【解析】试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入2y ax bx =+ 得 1.493 3.6a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得0.11.5a b =-⎧⎨=⎩ ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x 2+1.5x ；（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m 2+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m 2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W 有最大值6.6，试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，∴ 1.493 3.6a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.11.5a b =-⎧⎨=⎩ ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x 2+1.5x ； 3分（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，则W=-0.1m 2+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m 2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，∵-0.1＜0，∴当m=6时，W 有最大值6.6，∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.4．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.【解析】试题分析：（1）根据每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）3000w ≤同时满足25x ，根据函数图象的性质知道，0k 随x 的增大而减小，当25x 时，该函数有最大值时，p 有最小值500.试题解析：（1）当20x 时，105001020500300y x =-+=-⨯+=，300(1210)3002600， ∴政府这个月为他承担的总差价为600元。