第14章 麦克斯韦方程组和电磁波

B d S 0
S
（1）电场的高斯定理
D dS dV
S V
D
在任何电场中，穿过任意封闭曲面的电位移通 量，等于该封闭曲面内自由电荷的代数和。 （2）磁场的高斯定理
B dS 0
S
B 0
在任何磁场中，穿过任意封闭曲面的磁通 量恒等于零。
D H J t
这个方程的重要性在于揭示了变化电场激发磁场 的规律，这也是电磁场理论的中心思想之一。
二、三个辅助方程
对于各向同性介质，有
D 0 r E
B 0r H
j E
三、对于粒子运动 f qE qv B 四、Maxwell方程组的科学价值 1）它完整地反映和概括了电磁场的运动规律， 能推断和解释一切宏观电磁现象，且逻辑体 系严密，数学形式简洁。
2 ）它预言了电磁波的存在和光的电磁本性， 将光学和电学、磁学统一起来。
3）电磁场是最简单的规范场，蕴藏着完美的对 称结构 —— 时空对称、电磁对称，为相对论的 产生提供了雏形。
若把最右端电通量的时间变化率看作为一种 电流，那么电流就连续了。麦克斯韦把这种 电流称为位移电流。 麦克斯韦假设 变化的电场象传导电流一样能产生磁场， 从产生磁场的角度看变化的电场可以等效为 一种电流。
定义

d D D Id dS J c dS S t S dt D Jd （位移电流密度） t
P
O O
R

l

解：由于l<<R,故平板间可作匀强电场处理 U E l 根据位移电流的定义
d dE 2 0R Id 0 0 R U 0 cos t dt dt l
2
由位移电流密度的定义
E 0 U 0U 0 Jd 0 cos t t l t l
l
矛盾
S ll I L
J d S 0 H d l S
+ + + + + +
S
I
在非稳恒电流的磁场中，沿回路L磁场强度的 环流与闭合回路 L为边界的曲面有关。曲面不同， 结果不同,安培环路定理不再适用。
q D q
I
S1
+ + + + + + + + +
一、四个主方程
D dS dV
S V
特点： 1 、适用于一般 电磁场； 2 能够全面反映 宏观电磁场规 律。
B LE dl S t dS
D LH dl S jc t dS
§14.1 位移电流
一、位移电流 电流的连续性问题: 包含电阻、电感线圈 的电路,电流是连续的. 包含有电容的电 流是否连续？ I R
L
+ + + + + +
I
?
I
I
在电流非稳恒状态下 ,安培环路定理是否正确?
对 S 面
l
H dl J dS I
S
对 S面
I
S2
S
高斯面
由高斯定理:
0 q D dS D dS D dS
S S1 S2
即 q D dS D
S2
q D dS D
S2
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则
I
dq dt

S2
D d D dS t dt
rR

L2
2 B2 dl 0 I d 0 J d R
B2 2r 0 I d
0 0 R 2U 0 1 B2 cos t r 2 l R 2U 0 1 cos t 2 2lc r
§14.2 麦克斯韦方程组
因为电容器内I=0,且磁场分布应具有轴对称 性,由全电流定律得：
rR

L1
2 B1 dl 0 J d dS 0 J d r
S
B1 2r
0 0U 0
l
r 2 cos t
0 0U 0 U 0 B1 cos t r cos t r 2 2l 2lc
位移电流与传导电流关系： 共同点:都能等效地激发磁场,因此都称做电流 不同点: A)形成原因不同： 传导电流:自由电荷定向流动; 位移 电流:电位移矢量随时间的变化率. B)传导电流流经导体产生焦耳热（电荷的 碰撞引起 ) ；位移电流不产生焦耳热 , 介 质因反复极化而发热。
例1.半径为R,相距l(l<<)R的圆形空气平板电 容器,两端加上交变电压U=U0sint,求电容器 极板间的: (1)位移电流; (2)位移电流密度Jd的大小; (3)位移电流激发的磁场分布B(r),r为圆 板的中心距离.
（3）电场的环路定理 B B E LE dl S t dS t 这个方程的重要性在于揭示了变化磁场激发电 场的规律，这是电磁场理论的中心思想之一。 （4）磁场的环路定理
D LH dl S J t dS
即：通过电场中某截面的位移电流强度 Id 等于 通过该截面的电位移通量对时间的变化率。 则
I Id D j jd t
传导电流与位移电流、 传导电流密度与位移 电流密度均实现完美 结合！
二、全电流安培环路定理
在一般情况下,传导电流和位移电流可能同时 通过某一截面,因此,麦克斯韦引入全电流： 通过某一截面的全电流是通过这一截 面的传导电流和位移电流的代数和。 在任一时刻,任意电路中的全电流总是连续的 且在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立 全电流定律： D l H dl I c I d ( jc t ) dS