数据库函数依赖的Armstrong公理
[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）
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[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数依赖、范式、……）≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⋐⊄⊊ ⊈⊃⊇ ⋑⊅⊋ ⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸函数依赖（Function Dependency）定义设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。
⽤符号X→Y表⽰。
其中X为决定因素，Y为被决定因素。
若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。
(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。
(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。
术语 (1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant） (2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。
(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。
(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。
正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。
(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。
(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。
记作 X-F->Y。
(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。
armstrong公理的三条定理
armstrong公理的三条定理Armstrong公理是关系数据库中的重要概念，它由三条定理组成。
这三条定理分别是：自反性、增广性和传递性。
本文将详细介绍这三个定理的含义和作用。
首先是自反性定理。
自反性定理指出，对于任意关系R，如果X是R 的一个属性集合，那么X必然能函数确定R中的其他属性。
换句话说，X的闭包包含了X本身。
这个定理的意义在于，它保证了对于一个关系中的某个属性集合，我们可以通过计算得到它的闭包，从而获得了关于该属性集合的更多信息。
自反性定理是Armstrong公理中的第一个基本原理。
接下来是增广性定理。
增广性定理指出，对于任意关系R，如果X→Y，那么对于R中的任意一个属性Z，都有XZ→YZ。
换句话说，如果X函数确定了Y，那么在增加了属性Z之后，XZ也能函数确定YZ。
增广性定理的意义在于，它保证了在属性集合上的函数依赖在增加属性的情况下仍然成立。
这个定理是Armstrong公理中的第二个基本原理。
最后是传递性定理。
传递性定理指出，对于任意关系R，如果X→Y 且Y→Z，那么X→Z。
换句话说，如果X函数确定了Y，Y函数确定了Z，那么X也函数确定了Z。
传递性定理的意义在于，它保证了在属性集合上的函数依赖可以通过传递关系进行推导。
这个定理是Armstrong公理中的第三个基本原理。
Armstrong公理包括了自反性定理、增广性定理和传递性定理三个基本原理。
这些定理在关系数据库的设计和优化中起着重要的作用。
它们帮助我们理解关系数据库中的函数依赖关系，并通过计算闭包和推导关系来优化数据库的设计和查询性能。
通过应用Armstrong 公理，我们可以更好地理解关系数据库中的数据依赖关系，并对数据库进行合理的设计和优化。
Armstrong公理是关系数据库中的基本原理，它由自反性定理、增广性定理和传递性定理三个定理组成。
这些定理帮助我们理解关系数据库中的函数依赖关系，并通过计算闭包和推导关系来优化数据库的设计和查询性能。
数据依赖的公理系统----Armstrong公理系统及其有效性和完备性
摘要数据库技术是计算机技术中发展最快的领域之一，也是应用最广的技术之一，他已成为计算机信息系统与应用系统的核心技术和重要基础。
数据库是数据管理的最新技术，是计算机科学的重要分支。
多少年来，数据库已经从专用的应用程序包发展到成为通用的系统软件，由于数据库具有数据结构化，最低冗余度，较高的程序与数据独立性，易于扩充，易于编制程序等等优点，较大信息系统都是建立在数据库设计之上的。
因此，不仅大型计算机及中小型计算机，甚至微型计算机都配有数据库管理系统。
目前对数据库的各种模型的研究以及理论上的探索都还在蓬勃的开展，其应用程序也从一般的管理扩大到计算机辅助设计，人工智能管理以及科学计算等领域。
本文论述的就是数据可系统中的一个分支：Armstrong公理系统。
Armstrong公理系统是一组推理规则，是1974年首先由W.W．Armstrong提出来的。
本文由函数的依赖引入了Armstrong公理系统并对其尽心了证明推导并对其所涉及的引理定理进行证明举例，对于Armstrong公理系统的有效性和完备性进行了详细的阐述。
关键词数据库技术 ; Armstrong公理系统; 有效性 ;完备性AbstractThe database technique is an one of the quickest realms of inside development of calculator technique, and is also applied one of the most large techniques, he to have become the calculator information the system and apply tecn ique and impotent base of the system ? The database is a data latest technique that manage, is the important branch of calculator science. How much in the last years, the database is already from the applying of appropriation what procedure the pack develop to become the in general use system software, because the database have the data of construction, independent of lowest redundancy degree, higher procedure and data, easy to enlargement, easy to establishment procedure etc. the advantage, bigger information system all establish in the database to design on. Therefore, not only small scaled calculator of large inside, even the miniature calculator all have the database management the system. Now management towards the database’s quest tha t the research of the every kind of model and theoretically all return at booming open the exhibition, its applied procedure too from general extend the calculator to lend support to the design, artificial intelligence the realms such as management and science calculation etc.. This what text discuss is a data can a branch of the system inside: Armstrong justice system. Armstrong justicesystem is a the set reason logically what rule, is 1974 beginning of years are first from the W.W. Armstrong to bring up to come. This text becombined by the functon’s counting on into Armstrong justice system as to it’s the usefulness for justice system for involving axioms proceeding proof give examplesing, for Armstrong justice system of proceeds with the completed detailed writeing.Key words database technique; Armstrong justice system ;目录引言......................................................................................................... １1 函数依赖 ............................................................................................. ２1．1 函数依赖的定义..................................................................... ２1．2 函数依赖及其举例 ................................................................. ２2 逻辑蕴含 ............................................................................................. ６2．1 逻辑蕴含的定义..................................................................... ６2．2 逻辑蕴含的证明..................................................................... ６3Armstrong公理系统........................................................................ ７3．1 Armstrong公理系统概述....................................................... ７3．2 Armstrong公理的几个性质 ................................................... ７4Armstrong公理系统的引理........................................................ １０4．1 Armstrong公理系统的引理1 ............................................ １０4．2 Armstrong公理系统的引理2 ............................................ １１5属性集闭包及公理完备性 .......................................................... １２5．1 属性集闭包及公理完备性 ................................................. １２5．2 属性集闭包及公理完备性举例说明.................................. １３6判断函数依赖蕴含的算法 .......................................................... １６6．1 算法说明......................................................................... １６6．2 举例及证明..................................................................... １８参考文献 ......................................................................................... １９数据依赖的公理系统-------Armstrong公理系统及其有效性和完备引言在数据库中，数据之间存在着密切的联系。
(完整版)数据库重要术语(中英文)
单词汇总（数据库专业一点的词汇其实主要就是每章后面review items的内容，在这里简单列一下，如果你实在没时间看书，至少这些单词要认识。
）：1.数据库系统：database system(DS),database management system(DBMS)2.数据库系统（DS），数据库管理系统（DBMS）3.关系和关系数据库table= relation，column = attribute属性，domain, atomic domain, row= tuple，relational database, relation schema, relation instance, database schema, database instance;4.表=关系，列=属性属性，域，原子域，排=元组，关系型数据库，关系模式，关系实例，数据库模式，数据库实例;1.key们: super key, candidate key, primary key, foreign key, referencing relation, referencedrelation;2.超码，候选码，主码，外码，参照关系，被参照关系5.关系代数(relational algebra)：selection, project, natural join, Cartesian product, set operations,union, intersect, set difference ( except\minus), Rename, assignment, outer join, grouping, tuple relation calculus6.（关系代数）：选择，项目，自然连接，笛卡尔积，集合运算，集，交集，集合差（除\负），重命名，分配，外连接，分组，元组关系演算7. sql组成：DDL：数据库模式定义语言，关键字：createDML：数据操纵语言，关键字：Insert、delete、updateDCL：数据库控制语言，关键字：grant、removeDQL：数据库查询语言，关键字：select8.3.SQL语言：DDL，DML，DCL，QL，sql query structure, aggregate functions, nested subqueries,exists(as an operator), unique(as an operator), scalar subquery, assertion, index(indices), catalogs, authorization, all privileges, granting, revoking, grant option, trigger, stored procedure, stored function4.SQL语言：DDL，DML，DCL，QL，SQL查询结构，聚合函数，嵌套子查询，存在（如运营商），独特的（如运营商），标量子查询，断言指数（指数），目录，授权，所有权限，授予，撤销，GRANT OPTION，触发器，存储过程，存储函数9.表结构相关：Integrity constraints, domain constraints, referential integrity constraints10.完整性约束，域名约束，参照完整性约束5.数据库设计(ER 模型)：Entity-Relationship data model, ER diagram, composite attribute,single-valued and multivalued attribute, derived attribute,binary relationship set, degree of relationship set, mapping cardinality,1-1, 1-m, m-n relationship set (one to one, one to many, many to many), participation, partial or total participation, weak entity sets, discriminator attributes, specialization and generalization6.实体关系数据模型，ER图，复合属性，单值和多值属性，派生属性，二元关系集，关系集，映射基数的程度，1-1，1-米，MN关系集合（一对一，一对多，多对多），参与部分或全部参与，弱实体集，分辨符属性，特化和概化11.函数依赖理论：functional dependence, normalization, lossless join (or lossless) decomposition,First Normal Form (1NF), the third normal form (3NF), Boyce-codd normal form (BCNF), R satisfies F, F holds on R, Dependency preservation保持依赖, Trivial, closure of a set of functional dependencies函数依赖集的闭包, closure of a set of attributes属性集闭包,Armstrong’s axioms Armstrong公理, reflexivity rule自反律, augmentation rule，增广率, transitivity传递律, restriction of F to R i ，F在Ri上的限定，canonical cover正则覆盖,extraneous attributes无关属性, decomposition algorithm分解算法.7.函数依赖，规范化，无损连接（或无损）分解，第一范式（1NF），第三范式（3NF）BC范式（BCNF），R满足F，F持有R，依赖保存，平凡，一组函数依赖封闭，一组属性，8.事务：transition, ACID properties ACID特性,并发控制系统concurrency control system,故障恢复系统recovery system,事务状态transition state, 活动的active, 部分提交的partially committed, 失败的failed, 中止的aborted, 提交的committed,已结束的terminated, 调度schedule,操作冲突conflict of operations, 冲突等价conflict equivalence,冲突可串行化conflict serializablity,可串行化顺序serializablity order,联级回滚cascading rollback,封锁协议locking protocol,共享（S）锁shared-mode lock (S-lock),排他（X）锁exclusive-mode lock (X-lock), 相容性compatibility, 两阶段封锁协议2-phase locking protocol, 意向锁intention lock, 时间戳timestamp, 恢复机制recovery scheme,日志log, 基于日志的恢复log-based recovery, 延迟的修改deferred modification, 立即的修改immediate modification, 检查点checkpoint.数据库系统DBS Database System数据库系统应用Database –system applications文件处理系统file-processing system数据不一致性data inconsistency一致性约束consistency constraint数据抽象Data Abstraction实例instance模式schema物理模式physical schema逻辑模式logical schema物理数据独立性physical data independence数据模型data model实体-联系模型entity-relationship model（E-R）关系数据模型relational data model基于对象的数据模型object-based data model半结构化数据模型semistructured data model数据库语言database language数据定义语言data-definition language数据操纵语言data-manipulation language查询语言query language元数据metadata应用程序application program规范化normalization数据字典data dictionary存储管理器storage manager查询管理器query processor事务transaction原子性atomicity故障恢复failure recovery并发控制concurrency-control两层和三层数据库体系结构two-tier/three-tier 数据挖掘data mining数据库管理员DBA database administrator表table关系relation元组tuple空值null value数据库模式database schema数据库实例database instance关系模式relation schema关系实例relation instance码keys超码super key候选码candidate key主码primary key外码foreign key参照关系referencing relation被参照关系referenced relation属性attribute域domain原子域atomic domain参照完整性约束referential integrity constraint 模式图schema diagram查询语言query language过程化语言procedural language非过程化语言nonprocedural language关系运算operations on relations选择元组selection of tuples选择属性selection of attributes自然连接natural join笛卡尔积Cartesian product集合运算set operations关系代数relational algebraSQL查询语言SQL query structureSelect 字句select clauseFrom 字句from clauseWhere 字句where clause自然连接运算natural join operationAs字句as clauseOrder by 字句order by clause相关名称(相关变量，元组变量) correlation name （correlation variable，tuple variable）集合运算set operationsUnionInterestExcept空值null values真值“unknown”truth “unknown”聚集函数aggregate functionsavg，min，max，sum，countgroup byhaving嵌套子查询nested subqueries集合比较set comparisons{《，《=，》，》=}{some，all}existsuniquelateral字句lateral clausewith字句with clause标量子查询scalar subquery数据库修改database modification删除deletion插入insertion更新updating参照完整性referential integrity参照完整性约束referential –integrity constraint 或子集依赖subset dependency可延迟的deferrable断言assertion连接类型join types内连接和外连接inner and outer join左外连接、右外连接和全外连接left 、right and full outer joinNatural 连接条件、using连接条件和on连接条件natural using and so on视图定义view definition物化视图materialized views视图更新view update事务transactions提交commit work回滚roll back work原子事务atomic transaction完整性约束integrity constraints域约束domain constraints唯一性约束unique constraintCheck 字句check clause参照完整性referential integrity级联删除cascading delete级联更新cascading updates断言assertions日期和时间类型date and time types默认值default values索引index大对象large object用户定义类型user-defined types域domains目录catalogs模式schemas授权authorization权限privileges选择select插入insert更新update所有权限all privileges授予权限granting of privileges收回权限revoking of privileges授予权限的权限privileges to privileges Grant option角色roles视图授权authorization on views执行授权execute authorization调用者权限invoker privileges行级授权row-level authorizationJDBCODBC预备语句prepared statements访问元数据accessing metadataSQL注入SQL injection嵌入式SQL embedded SQL游标cursors可更新的游标updatable cursors动态SQL dynamic SQLSQL函数SQL functions存储过程stored procedures过程化结构procedural constructs外部语言例程external language routines触发器triggerBefore 和after 触发器before and after triggers过渡变量和过渡表transition variables and tables递归查询recursive queries单调查询monotonic queries排名函数ranking functionsRankDense rankPartition by分窗windowing联机分析处理（OLAP）online analytical processing多维数据multidimensional data度量属性measure attributes维属性dimension attributes转轴pivoting数据立方体data cube切片和切块slicing and dicing上卷和下钻rollup and drill down交叉表cross-tabulation第七章实体-联系数据模型Entity-relationship data model实体和实体集entity and entity set属性attribute域domain简单和复合属性simple and composite attributes单值和多值属性single-valued and multivalued attributes空值null value派生属性derived attribute超码、候选码以及主码super key ,candidate key, and primary key 联系和联系集relationship and relationship set二元联系集binary relationship set联系集的度degree of relationship set描述性属性descriptive attributes超码、候选码以及主码super key ,candidate key, and primary key 角色role自环联系集recursive relationship setE-R图E-R diagram映射基数mapping cardinality一对一联系one-to-one relationship一对多联系one-to-many relationship多对一联系many-to-one relationship多对多联系many-to-many relationship参与participation全部参与total participation部分参与partial participation弱实体集和强实体集weak entity sets and strong entity sets分辨符属性discriminator attributes标识联系identifying relationship特化和概化specialization and generalization超类和子类superclass and subclass属性继承a ttribute inheritance单和多继承single and multiple inheritance条件定义的和用户定义的成员资格condition-defined and userdefined membership 不相交概化和重叠概化disjoint and overlapping generalization全部概化和部分概化total and partial generalization聚集aggregationUMLUML类图UML class diagram第八章E-R模型和规范化E-R model and normalization分解decomposition函数依赖functional dependencies无损分解lossless decomposition原子域atomic domains第一范式（1NF）first normal form(1NF)合法关系legal relations超码super keyR满足F R satisfies FF在R上成立F holds on RBoyce-Codd范式BCNF Boyce-Codd normal form(BCNF)保持依赖dependency preservation第三范式（3NF）third normal form(3NF)平凡的函数依赖thivial functional dependencies函数依赖集的闭包closure of a set of functional dependenciesArmstrong公理Armstrong ‘s axioms属性集闭包closure of attribute setsF在Ri上的限定restriction of F to Ri正则覆盖canonical cover无关属性extraneous attributesBCNF分解算法BCNF decomposition algorithm3NF分解算法3NF decomposition algorithm多值依赖multivalued dependencies第四范式（4NF）fourth normal form(4NF)多值依赖的限定restriction of a multivalued independency投影-连接范式（PJNF）project-join normal form(PJNF)域-码范式（DKNF）domain-key normal form(DKNF)泛关系universal relation唯一角色假设unique-role assumption 去规范化denormalization。
数据库之函数依赖公理体系
DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余 的属性
F没有 多余的
FD
求解方法
（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖；
Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
（2）去掉F中冗余的函数依赖
（1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成 员；
（2）若X是L类属性，且X＋包含了R的全部属性， 则X必为R的唯一候选键；
（3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键
中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，
且X＋包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
CGB，CEG
四、候选键的求解方法
1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将
其属性分为4类： ① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性； ② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； ③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； ④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
2、快速求解候选键的一个充分条件
对于F中任一FD：XY
① G = F-{XY}；
② 求X关于G的闭包XG+； ③ 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G 中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖， 所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。
数据库5版第七章规范化理论例题解答
关系数据库规范化理论例题解答⊄（⊆⊂∈∉）例：证明定理 Armstrong公理是正确的，即如果F成立，则由F根据Armstrong公理所推导的函数依赖总是成立的。
设有R(U，F)，X、Y、Z均是U的子集，F是R的函数依赖集，推理规则如下：A1：自反律(reflexivity)如果Y ⊆X ⊆U，则X→Y为F所蕴涵。
A2：增广律(augmentation)如果X→Y为F所蕴涵，且Z⊆U，则XZ→YZ为F的所蕴涵。
(XZ代表X∪Z)A3：传递律(transitivity)如果X→Y和Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F的蕴涵。
证：设t1,t2是关系R中的任意两个元组。
A1：如果t1［X］=t2［X］,则因Y X，有t1［Y］=t2［Y］，故X→Y成立。
A2：如果t1［XZ］=t2［XZ］,则有t1［X］=t2［X］,t1［Z］=t2［Z］。
已知X→Y成立，因此可得t1［Y］=t2［Y］,由上可知t1［YZ］=t2［YZ］，故XZ→YZ成立。
A3：如果t1［X］=t2［X］,则t1［Y］=t2［Y］；如果t1［Y］=t2［Y］,则t1［Z］=t2［Z］由上可得，如果t1［X］=t2［X］,则t1［Z］=t2［Z］，故X→Z成立。
例：证明定理根据三条推理规则得到下面三条推理规则是正确的。
(1) 合并规则由X→Y，X→Z，有X→YZ。
(2) 伪传递规则由X→Y，WY→Z，有XW→Z。
(3) 分解规则如果X→Y，且Z ⊆ Y，则X→Z成立。
证： (1) 如果X→Y，则X→XY (A2)如果X→Z，则XY→YZ (A2)由上可得X→YZ (A3)(2) 如果X→Y，则WX→WY (A2)WY→Z （已知条件）故得WX→Z (A3)(3) 如果Z⊆Y，则Y→Z (A1)X→Y （已知条件）故得X→Z （A3）例：证明定理 X→Y能由Armstrong公理推导出的充要条件是Y⊆X + F证：设Y=｛A1,A2,…,Ak｝，先证充分性：假定Y ⊆X +F，则根据X+F的定义，X→Ai(i=1,2,…,k)可由Armstrong公理导出，根据合并规则则有X→Y。
第3-4讲函数依赖和公理
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
18
算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
13
定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
14
设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
21
（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖关系与关系模式的联系：关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的⼀张空表格，是对元组数据组织⽅式的结构描述，⽽关系却是动态变化的，不稳定的，是将若⼲元组填⼊关系模式后得到的⼀个取值实例。
每⼀个关系对应⼀个关系模式，每⼀个关系模式可以定义多个关系。
关系模式R(U)对应的具体关系通常⽤⼩写字母r来表⽰。
函数依赖：设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的⼦集。
若对R(U)的任⼀具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。
则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。
函数依赖要求R(U)的⼀切具体关系r都要满⾜的约束条件。
若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X // 对于任⼀关系模式，平凡函数依赖必然是成⽴的⾮平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X完全函数依赖：如果X→Y，且对于X的任何⼀个真⼦集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：部分函数依赖：如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：传递函数依赖：如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:候选键：对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯⼀确定关系中任何⼀个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。
【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】因G只在右边出现，所以G⼀定不属于候选码⽽B，D只在左边出现，所以B，D⼀定属于候选码BD的闭包还是BD，则对BD进⾏组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进⾏组合先看ABDABD本⾝⾃包ABD，⽽AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U再看BDCCD→E，E→A，A→G，BDC本⾝⾃包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U最后看BDEE→A，A→G，AB→C，BDE本⾝⾃包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE主键：通常在R(U)的多个候选键中任意选定⼀个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。
数据库系统概论AnIntroductiontoDatabaseSystem第6章关
2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员 图论判定方法
定义：函数依赖图G是一个有序二元组（R，F）， 记作 G=（R，F）
其中：（1）R=（A1，A2，…,An）是一个有限非 空集， Ai (i=1,2,…,n)是G的结点，他们表示对 应关系模式R=（A1，A2，…,An）的属性。
（2）F是G的边集，每条边表示一个函数依赖 Ai→Aj，则F是R的单属性最小依赖集
第6章 关系数据理论
6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解
6.3 数据依赖的公理系统
➢ 函数依赖的推导公理（Armstrong公理） ➢ 函数依赖与属性关系 ➢ 闭包及其计算 ➢ 函数依赖集的最小集 ➢ 候选关键字的求解理论和算法
五、候选关键字的求解理论和算 法
2、左边为单属性的函数依赖集的候选关键字成员 图论判定方法
A1 A5
术语：
A3
1. 引入线/引出线：
2. 原始点：只有引出线的结点（L类属性）
3. 终结点：只有引入线的结点（R类属性）
4. 途中点：既有引入线又有引出线的结点
A2
（LR类属性）
5. 孤立点：既无引入线又无引出线的结点（N
类属性）
6. 关键点：原始点和孤立点统称为关键点
对于给定的关系R（A1，A2，…，An）和函数 依赖集F，属性分为四类：
L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性
R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性
N类：在F的函数依赖左右两边均未出现的属性
LR类：在F的函数依赖左右两边均出现的属性
1、快速求解候选关键字的一个充 分条件
➢ 定理1 对于给定的关系模式R和函数依赖集 F，若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的 任一候选关键字的成员。
数据库原理第五章关系数据库的规范化设计
12
模式分解是关系规范化的 主要方法(二)
与TDC相比，分解为三个关系模式后，数据的冗余度明显 降低。 当新插入一个系时，只要在关系D中添加一条记录。 当某个教师尚未讲课，只要在关系T中添加一条教师记录， 而与TC授课关系无关，这就避免了插入异常。 当某个系的教师不再讲课时，只需在TC中删除该教师的 全部授课记录，而关系D中有关该系的信息仍然保留，从 而不会引起删除异常。 同时，由于数据冗余度的降低，数据没有重复存储，也不 会引起更新异常。
24
2.2 完全函数依赖和部分函数依赖
例如：学生成绩表中
姓名 王一 王二 王三 王一
学号 1 2 3 4
年龄 16 15 16 16
籍贯 河北 山东 北京 天津
姓名不能推出年龄，学号也不能推出年龄，但是 姓名 + 学号能推出年龄，故完全依赖；
学号能直接推出籍贯，故是部分依赖
25
2.3 传递函数依赖
当关系中的元组增加、删除或更新后都不能被破 坏这种函数依赖。因此，必须根据语义来确定属 性之间的函数依赖，而不能单凭某一时刻关系中 的实际数据值来判断。
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函数依赖的定义和性质（六）
函数依赖可以保证关系分解的无损连接性
设R(X,Y,Z)，X,Y,Z为不相交的属性集合，如果X Y或X Z，则有R(X,Y,Z)=R[X,Y]*R[X,Z]，其中，R[X,Y]表示关 系R在属性(X,Y)上的投影，即 R等于其投影在X上的自然连 接，这样便保证了关系R分解后不会丢失原有的信息，称为 关系分解的无损连接性
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
armstrong公理系统的六个推理规则
armstrong公理系统的六个推理规则Armstrong公理系统是关系数据库中函数依赖的公理系统，它包括以下六个推理规则：
1. 自反律（Reflexivity）：如果Y是X的子集，且X和Y都在U中，那么X决定Y。
2. 增广律（Augmentation）：如果X决定Y，且Z是U的子集，那么XZ 决定YZ。
3. 传递律（Transitivity）：如果X决定Y，Y决定Z，那么X决定Z。
4. 合并规则（Union）：如果X决定Y，X决定Z，那么X决定YZ。
5. 伪传递律（Pseudo-Transitivity）：如果X决定Y，WY决定Z，那么XW决定Z。
6. 分解规则（Factorization）：如果X决定Y，Z是Y的子集，那么X决定Z。
以上规则主要用于推导函数依赖，并且对于完全函数依赖、部分函数依赖、传递函数依赖等有明确的规定和推导。
此外，对于Armstrong公理系统，还定义了函数依赖的闭包F+，即关系模式R(U,F)中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体。
第4章补充 Amstrong公理系统
第六章 1、逻辑蕴涵 、
关系数据理论
是关系模式R<U, F>的函数依赖集，X、 的函数依赖集， 、 设F是关系模式 是关系模式 的函数依赖集 Y是R的属性子集。对R的任一个关系 ，若函 是 的属性子集 的属性子集。 的任一个关系r， 的任一个关系 数依赖X→Y均成立，则称 逻辑蕴涵 →Y。 均成立， 逻辑蕴涵X→ 。 数依赖 → 均成立 则称F逻辑蕴涵
第六章 +
关系数据理论ຫໍສະໝຸດ 算法6.1 算法 输入： ， ， ； 输入：X，U，F； 输出： 关于 的闭包X 关于F的闭包 输出：X关于 的闭包 F+
第六章
关系数据理论
（1）初始：令X(0)=X, i=0; ）初始： 中的函数依赖V→W，将所有 （2）迭代：逐个检查 中的函数依赖 ）迭代：逐个检查F中的函数依赖 ， ） ）并在一起，记为X ） V ⊆X（i）的W与X（i）并在一起，记为 （i+1）； 与 ） ） ） ） （3）判断： 若X（i）= X（i+1）或X（i+1）=U，则X（i+1）就 ）判断： ， 算法终止； 是XF+，算法终止； （4）i=i+1，转第（2）步。 ） ，转第（ ） 每次迭代都添加属性到当前闭包(不增加时算 每次迭代都添加属性到当前闭包 不增加时算 法就结束)，故至多迭代|U|－ 次算法终止 法就结束 ，故至多迭代 －|X|次算法终止
第六章 关系数据理论 根据合并规则和分解规则， 根据合并规则和分解规则，容易得出一个重要 结论： 结论： 引理6.1： → 引理 ：X→A1 A2 …Ak成立的充要条件是 X→Ai 成立（i=1，2，…，k）。 → 成立（ ， ， ， ）。 二、函数依赖集的闭包 有了上述规则，对一个给定的函数依赖集 ， 有了上述规则，对一个给定的函数依赖集F， 自然希望知道哪些函数依赖可由F推出， 自然希望知道哪些函数依赖可由 推出，哪些不 推出 能。
armstrong 公理系统证明
armstrong 公理系统证明Armstrong 公理系统是一种逻辑系统，它在关系数据库中的功能依赖理论中起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将一步一步回答关于Armstrong 公理系统证明的一些问题。
何为Armstrong 公理系统？Armstrong 公理系统是一套用于推理功能依赖关系的规则。
功能依赖是关系数据库中的一个重要概念，它描述了一个关系中的属性之间的相互依赖关系。
Armstrong 公理系统提供了一种推理机制，以从给定集合的功能依赖中导出其他功能依赖。
什么是功能依赖关系？功能依赖关系是关系数据库中的一个概念，它描述了一个关系中的属性之间的依赖关系。
在一个关系中，一个属性（或属性组合）的值在给定其他属性（或属性组合）的值的情况下可以唯一确定。
例如，考虑一个关系表格“学生（学号，姓名，年龄）”，我们可以说“学号唯一确定姓名”，这可以用一个功能依赖“学号→姓名”来表示。
Armstrong 公理系统的基本规则是什么？Armstrong 公理系统基于三个基本规则，它们是自反规则、增值规则和传递规则。
1. 自反规则：对于任何属性集合X，都有X→X。
这意味着任何属性集合都对自身具有功能依赖。
2. 增值规则：对于任何属性集合X和属性Y，如果X→Y，则对于任何属性集合Z，都有XZ→YZ。
这意味着如果某个属性集合X的属性Y对于该属性集合具有功能依赖，那么可以将属性集合Z添加到X的属性集合中，并推出新的功能依赖XZ→YZ。
3. 传递规则：对于任何属性集合X、Y和Z，如果X→Y且Y→Z，则有X →Z。
这意味着如果属性集合X的属性Y具有功能依赖，并且属性集合Y 的属性Z也具有功能依赖，那么可以推出属性集合X的属性Z具有功能依赖。
使用这些规则，我们可以从给定的功能依赖集合中推导出其他功能依赖。
如何应用Armstrong 公理系统？应用Armstrong 公理系统的主要目标是通过使用Armstrong公理来推导出任何可能的功能依赖。
数据库系统原理第七章答案
例子
【例】已知关系R〈U，F〉，其中U={A，B，C，D，E}， F={AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B}，求(AB)F+。 设X=AB ∵ XF(0)=AB XF(1)=ABCD
XF(2)=ABCDE
XF(3)= XF(2)=ABCDE ∴ (AB)F+=ABCDE={A，B，C，D，E}
XF+={ Ai | Ai∈U，X→Ai∈F+}
第十九页，编辑于星期五：九点 九分。
(2) 属性集闭包XF+的求法
1) 选X作为闭包XF+的初值XF(0)。 2) XF(i+1)是由XF(i)并上集合A所组成，其中A为F中存在 的函数依赖Y→Z，而AZ，YXF(i)。 3) 重复步骤2)。一旦发现XF(i)= XF(i+1)，则XF(i)为所求 XF+。
1) 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。 2) 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。 3) 分解规则：由X→Y及ZY，有X→Z。
第十八页，编辑于星期五：九点 九分。
3. 函数依赖集闭包F+和属性集闭包XF+
(1) 函数依赖集闭包F+和属性集闭包XF+的定义 定义：在关系模式R〈U，F〉中，为F所逻辑蕴含的函数 依赖的全体叫做F的闭包，记作F+。 定义：设有关系模式R〈U，F〉，X是U的子集，称所有 从F推出的函数依赖集X→Ai中Ai的属性集为X的属性闭 包，记作XF+。即：
第八页，编辑于星期五：九点 九分。
完全函数依赖、传递函数依赖
2) 在R〈U〉中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’，
都有X’ Y，则称Y对X完全函数依赖，记作：X→Y；若XF →Y，
数据库函数依赖
解：X+=BDEGCA
结论：(BD)+=ABCDEG,BD→AC可由F导出，即BD→AC属于F+
例：已知关系模式R中
U={A，B，C，E, H, P, G},
F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B,GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},
（学生ID，所修课程ID）→学生姓名
六、平凡函数依赖和非平凡函数依赖
设X，Y均为某关系上的属性集，且X→Y
1)若Y包含于X，则称X→Y为：平凡函数依赖；
2)若Y不包含于X，则称X→Y为：非平凡函数依赖。
Y包含于X内，W于X相交，与Y无直接交集。
则：X→Y为平凡函数依赖
X→W, W→Y为非平凡函数依赖
A→ABC,AB→ABC,AC→ABC,ABC→A,BC→BC}
例：已知关系模式R中
U={A，B，C，D, E, G},
F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},判断BD→AC是否属于F+
解：由D→EG知D→E，BD→BE…①
又知BE→C，C→A所以BE→A, BE→AC…②
解：当X=A时，X+=ABC
当X=B时，X+=BC
当X=C时，X+=C
* X代表的属性集可以决定的属性集（包括本身）
2、定理：当且仅当Y属于X+时，X→Y能根据Armstron公理由F导出。
证：设Y=A1,A2,…,An
①充分条件：当Y属于X+时,对于每个i,Xห้องสมุดไป่ตู้Ai可由公理导出。
armstrong a1自反律
armstrong a1自反律Armstrong A1自反律是关系模型中的一条基本规则，它是由关系模型的创始人之一E.F. Codd提出的。
Armstrong A1自反律表明，对于任何关系模式R和模式中的属性集合X，如果X是R的子集，那么X可以通过使用R中的其他属性集合的函数依赖推导出来。
在关系数据库中，关系模式由一组属性和属性之间的函数依赖关系组成。
函数依赖是指在一个关系模式中，某些属性的取值可以唯一地确定其他属性的取值。
例如，我们有一个关系模式R(A, B, C)，其中属性C的取值可以由属性A的取值唯一确定。
这种依赖可以表示为A→C。
如果属性集合X可以通过使用关系模式R中的其他属性集合的函数依赖推导出来，那么X满足Armstrong A1自反律。
为了更好地理解Armstrong A1自反律，让我们通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个关系模式R(A, B, C)，其中存在以下函数依赖：A→B、B→C。
根据Armstrong A1自反律，属性集合{A}可以通过使用R中的其他属性集合的函数依赖来推导出来。
在这种情况下，我们可以通过函数依赖A→B和B→C来推导出A→C。
因此，属性集合{A}满足Armstrong A1自反律。
Armstrong A1自反律的一个重要应用是在关系模式中进行属性集合的闭包计算。
通过应用Armstrong A1自反律，我们可以快速地确定属性集合的闭包，以便更好地理解和优化关系模式的设计。
闭包是指对于给定属性集合X，包含X的所有函数依赖能够推导出的属性集合。
通过计算闭包，我们可以确定关系模式中所有属性之间的依赖关系。
在实际数据库设计和查询优化中，Armstrong A1自反律的应用非常重要。
它允许我们通过已知的函数依赖关系来推导出其他的函数依赖关系，从而更好地理解和优化关系模式。
在关系数据库中，优化查询的性能是至关重要的，而理解和应用Armstrong A1自反律可以帮助我们更好地实现这一目标。
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证明： XY A2
WXWY A3
WYZ
WXZ
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 R2)伪传递规则：若XY, WYZ, 则WXZ成立。 R3)分解规则：若XY, 且Z Y, 则XZ成立。 证明： Z Y A1 YZ A3 XZ XY
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 证明： XY A2 XXY A3 XYZ A2 XZ XYYZ
函数依ห้องสมุดไป่ตู้的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 注意和传递依赖的定义进行区分： 传递律对X、Y、Z、XY、YZ没有限制
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 R2)伪传递规则：若XY, WYZ, 则WXZ成立。 R3)分解规则：若XY, 且Z Y, 则XZ成立。 R4)复合规则：若XY, 且WZ, 则XWZY成立。 R4大家课后自己证明，P136的通用一致性规则A8略去。
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 R2)伪传递规则：若XY, WYZ, 则WXZ成立。