考研数学二(常微分方程)-试卷3

考研数学二（常微分方程）-试卷3
(总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.微分方程y""-4y=e 2x +x的特解形式为( )．
（分数：2.00）
A.ae 2x +bx+c
B.ax 2 e 2x +bx+c
C.axe 2x +bx 2 +cx
D.axe 2x +bx+c √
解析：解析：y""-4y=0的特征方程为λ2 -4=0，特征值为λ1 =-2，λ2 =2． y""-4y=e 2x的特解形式为y=axe 2x， y""-4y=x的特解形式为y 2 =bx+C，故原方程特解形式为axe 2x +bx+c，选(D)．
3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x，则该微分方程为 ( )．（分数：2.00）
A.y"""-y""-y"+y=0 √
B.y"""+y""-y"-y=0
C.y"""+2y""-y"-2y=0
D.y"""-2y"-y"+2y=0
解析：解析：由y 1 =e x，y 2 =2xe -x，y 3 =3e -x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1 =λ2 =1，λ3 =-1，其特征方程为(λ-1) 2 (λ+1)=0，即λ3 -λ2 -λ+1=0，所求的微分方程为y"""-y""-y"+y=0，选(A)．
4.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
（分数：2.00）
A.C[φ1 (x)+φ2 (x)]
B.C[φ1 (x)-φ2 (x)]
C.C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x) √
D.[φ1 (x)-φ2 (x)]+Cφ2 (x)
解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)为方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1 (x)-φ2 (x)为方程y"+P(x)y=0的一个解，于是方程y"+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x)，选(C)．
二、填空题(总题数：9，分数：18.00)
5.yy""=1+y" 2满足初始条件y(0)=1，y"(0)=0的解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±x）
解析：解析：令y"=p，则，解得In(1+p 2)=lny 2+lnC 1，则1+p 2=C 1y 2，由y(0)=1，y"(0)=0
得y"= +C 2=±x，由y(0)=1得C 2 =0，所以特解为
6.微分方程y""+4y=4x-8的通解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C 1 cosx+C 2 sin2x+x-2．）
解析：解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C 1cosx+C 2sin2x+x-2．
7.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y""-6y"+9y=e 3x，则
y(x)= 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由题意得y(0)=0，y"(0)=2， y""-6y"+9y=e 3x的特征方程为λ2 -6λ+9=0，特征值为λ1
=λ2 =3，令y""-6y"+9y=e 3x的特解为y 0 (x)=ax 2 e 3x，代人得a= 故通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x
+ 由y(0)=0，y"(0)=2得C 1 =0，C 2 =2，则y(x)=2xe 3x
8.微分方程2y""=3y 2满足初始条件y(-2)=1，y"(-2)=1的特解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：令y"=p，则y""= ，解得p 2 =y 3 +C 1，由y(-2)=1，y"(-2)=1，得C 1 =0，所以y"= ，再由y(-2)=1，得C 2 =0，所求特解为
9.微分方程 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜x｜+C）
解析：解析：由
10.设二阶常系数非齐次线性微分方程y""+y"+qy=Q(x)有特解y=3e -4x +x 2 +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-12x 2 -34x-19，C 1 e -4x +C 2 e 2 +x2+3x+2）解析：解析：显然λ=-4是特征方程λ2 +λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2 +λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x 2+3x+2为特征方程y""+y"-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x
2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19，且通解为y=C
1 e -4x +C
2 e
2 +x2+3x+2(其中C
1，C 2为任意常数)．
11.以y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-sinx-3cosx，y""+y"-2y=-sinx-3cosx．）
解析：解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y""+y"-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y""+y"-2y=-sinx-3cosx．
12.设y""-3y"+ay=-5e -x的特解形式为Axe -x，则其通解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x）
解析：解析：因为方程有特解Axe -x，所以-1为特征值，即(-1) 2 -3×(-1)+a=0 a=-4，所以特征
方程为λ2 -3λλ1 =-1，λ2 =4，齐次方程y""-3y"+ay=0的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 4x，再把Axe -x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x
13.设f(x)，则f(x)= 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e -x）
解析：解析：由整理得，两边对x求导得f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce -x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e -x
三、解答题(总题数：17，分数：34.00)
14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
15.求满足初始条件y""+2x(y") 2 =0，y(0)=1，y"(0)=1的特解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：令y"=p，则y""= 由y"(0)=1得C 1=1，于是，y=arctanx+C 2，再由y(0)=1得C 2 =1，所以y=arctanx+1．)
解析：
16.求微分方程yy""-y" 2满足初始条件y(0)=y"(0)=1的特解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令y"=p，则y""= =0．当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由
由y(0)=y"(0)=1得C 1 =1，于是-y=0，解得 y=C 2 e -∫dx =C 2 e x，由y(0)-1得C 2 =1，所以原方程的特解为y=e x．)
解析：
17.求微分方程y""-y"-6y=0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2 -λ-6=0，特征值为λ1 =-2，λ2 =3，则原方程的通解为y=C 1 e -2x +C 2 e 3x)
解析：
18.求微分方程y""+4y"+4y=0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=-2，则原方程的通解为y=(C 1+C -2x)
2 x)e
解析：
19.求微分方程y""-y"+2y=0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ2 -λ+2=0，特征值为λ1,2 = 则原方程的通解为) 解析：
20.设二阶常系数齐次线性微分方程以y 1 =e 2x，y 2 =2e -x -3e 2x为特解，求该微分方程．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为y 1 =e 2x，y 2 =2e -x -3e 2x为特解，所以e 2x，e -x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1 =-1，λ2 =2，特征方程为(λ+1)(λ-2)=0即λ2 -λ-2=0，所求的微分方程为y""-y"-2y=0．)
解析：
21.求微分方程y""+2y"-3y=(2x+1)e x的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2 +2λ-3=0，特征值为λ1 =1，λ2 =-3，则y""+2y"-3y=0的通
解为y=C 1 e x +C 2 e -3x．令原方程的特解为y 0 =x(ax+b)e x，代入原方程得a= 所以原方程的通
解为y=C 1 e x +C 2 e -3x(2x 2 +x)e x．)
解析：
22.求y""-2y"-e x =0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=1的特解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原方程化为y""-2y"=e 2x．特征方程为λ2-2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，
y""-2y"=0的通解为y=C 1+C 2e 2x．设方程y""-2y"=e 2x的特解为y 0=Axe 2x，代入原方程得A=
原方程的通解为y=C 1 +C 2 e 2x + 由y(0)=1，y"(0)=1得故所求的特解为)
解析：
23.求微分方程y""+4y"+4y=e ax的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2 +4λ+4=0，特征值为λ1 =λ2 =-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C 1+C 2x)e -2x(1)当a≠-2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y 0(x)=Ae
-2x + (2)当a=-2时，因为a=-2 ax，代入原方程得A= ，则原方程的通解为y=(C
1 +C
2 x)e
为二重特征值，所以设原方程的特解为y 0 (x)=Ax 2 e -2x，代入原方程得A= ，则原方程的通解为
y=(C 1 +C 2 x)e -2x)
解析：
24.求微分方程y""+y=x 2 +3+cosx的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2 +1=0，特征值为λ1 =-i，λ2 =i，方程y""+y=0的通解为y=C 1
cosx+C 2 sinx．对方程y""+y=x 2 +3，特解为y=x 2 +1；对方程y""+y=cosx，特解为xsinx，原
方程的特解为x 2 +1+ 则原方程的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2)
解析：
25.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0 =v 0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问
t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma= 解此微分方程得v(t)=v 0e -t．由
v 0 e -t = 得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为)
解析：
26.设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
27.设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜=｜
OA｜，且L，求L的方程．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y"(X-x)．令X=0，则Y=y-xy"，故A点
的坐标为(0，y-xy")．由｜MA｜=｜OA｜，得｜y-xy"｜=即2yy"-因为曲线经过点，所
以C=3)
解析：
28.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与z轴平行．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为令Y=0，得X=x+yy"，该点到z轴法线段PO的长度为由题意得，即yy""-1+y" 2．令y"=p，则y""= ，由
y(1)=1，y"(1)=0得C 1 =1，所以)
解析：
29.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：设t时刻雪堆的半径为r，令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融化．)
解析：
30.设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f"(x)-f(x)=a(x-1)．y-f(x)，=0，x=1，y=0围成的平面区域绕z轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f"(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e ∫-1dx dx+C]e -∫-dx=Ce x-ax，由f(0)=1
得C=1，故f(x)=e x-ax．由，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=e x-3x．) 解析：。