2017年考研数学三真题与答案完整版打印
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显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) P ( AB ) P (C ) ，所以选择（C ） ．
8．设 X 1 , X 2 , , X n ( n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X 正确的是（
n
1 n X i ，则下列结论中不 n i 1
y3 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与 x 轴为边界的无界区域． (1 x 2 y 4 ) 2 D
17． （本题满分 10 分）
n
2 4 x d (1 x y ) 1 dx 0 (1 x 2 y 4 )2 4 0
1 1 1 2 dx 1 4 0 1 x 2 1 2 x 2 8 2
2
2
(X
i 1
i
)2 服从
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
n
（2）
( X i X )2 (n 1) S 2
i 1
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1) ，所以（C）结论也是正确的；
（3）注意 X ~ N ( , )
1 n
n ( X ) ~ N (0,1) n( X )2 ~ 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
AC B 2 3 0 ，且 A C 2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数 f ( x ) 是可导函数，且满足 f ( x ) f ( x ) 0 ，则 （A） f (1) f ( 1) （B） f (1) f ( 1) （C） f (1) f ( 1)
求 lim
n
n
k 1
k
2
k ln 1 n
【详解】由定积分的定义
1 , 2 , 3 为线性无关，所以向量组 A1 , A 2 , A 3 的秩为 2．
1 ， P X 1 a ， P X 3 b ，若 EX 0 ，则 2
14 ．设随机变量 X 的概率分布为 P X 2
DX
．
【详解】显然由概率分布的性质，知 a b
）
（A）
(X
i 1 n
i
)2 服从 2 分布
（B） 2 X n X 1 服从 2 分布
2
（C）
(X
i 1
i
X ) 2 服从 2 分布
2 （D） n( X ) 服从 2 分布
n
解： （ 1）显然 ( X i ) ~ N (0,1) ( X i ) ~ (1), i 1, 2, n 且相互独立，所以
（A） ab 2．二元函数 z xy (3 x y ) 的极值点是（ （A） (0, 0) （B） ( 0, 3) ） （C） (3, 0) （D） (1,1)
【详解】
z z y (3 x y ) xy 3 y 2 xy y 2 ， 3 x x 2 2 xy ， x y
1 1 2
Fra Baidu bibliotek
1 1 1 EX 2 1 a 3 b a 3b 1 0 ，解得 a , b 2 4 4 9 9 EX 2 2 a 9b ， DX EX 2 E 2 ( X ) ． 2 2
三、解答题 15． （本题满分 10 分）
【详解】iv n 时 sin （C） ． 5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） E 不可逆 （C） E 2 不可逆
T T T
（B） E 不可逆 （D） E 2 不可逆
T
T
【详解】矩阵 的特征值为 1 和 n 1 个 0 ，从而 E T , E T , E 2 T , E 2 T 的特征值分 别为 0,1,1, 1 ； 2,1,1, ,1 ； 1,1,1, ,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E 存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A） ．
x 0
ex
x
0
ue u du x3
4
lim
x 0
x
0
ue u du x3 lim
x 0
16． （本题满分 10 分） 计算积分 【详解】
x y3 y3 dxdy dx 0 0 (1 x 2 y 4 )2 dy (1 x 2 y 4 ) 2 D
求极限 lim
x 0
x
0
x tet dt x3
【详解】令 x t u ，则 t x u , dt du ，
x
0
x tet dt
x
0
ue x u du
xe x 2 3 x 3 2
x 0
lim
x
0
x tet dt x3 lim
T
2 0 0 2 1 0 1 0 0 6．已知矩阵 A 0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 ，则 0 0 1 0 0 1 0 0 2
（A） A, C 相似， B, C 相似 （C） A, C 不相似， B, C 相似 （B） A, C 相似， B, C 不相似 （D） A, C 不相似， B, C 不相似
2
4． 若级数
sin k ln(1 ) 收敛，则 k （ n n
n 2
1
1
） （D） 2
（A） 1
（B） 2
（C） 1
1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 k 1 1 k ln(1 ) k o 2 (1 k ) o 2 2 n 2n n n n n n 2 n n 1 显然当且仅当 (1 k ) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 n
2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1 cos x ,x 0 1．若函数 f ( x) 在 x 0 处连续，则 ax b, x0
1 1 （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2 2 2 1 x 1 cos x 1 2 【详解】 lim ， lim f ( x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续， f ( x) lim lim x 0 x 0 x 0 ax ax 2a x 0 1 1 b ab ．所以应该选（A） 必须满足 2a 2
12．设函数 f ( x, y ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df ( x, y ) ye y dx x(1 y )e y dy ， f (0, 0) 0 ，则
f ( x, y )
【详解】df ( x, y ) ye y dx x(1 y )e y dy d ( xye y ) ， 所以 f ( x, y ) xye y C ， 由 f (0, 0) 0 ， 得C 0 ， 所以 f ( x, y ) xye y ．
Q t t t
1 ； 2
t
1 t t2 . 2
.
，其中产量为 Q ，则边际成本为
3
【详解】答案为 1 (1 Q )e Q ． 平均成本 C (Q ) 1 e
Q
，则总成本为 C (Q ) QC (Q ) Q Qe
Q
，从而边际成本为
C (Q) 1 (1 Q)e Q .
1 0 1 13 ． 设 矩 阵 A 1 1 2 ， 1 , 2 , 3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向 量 组 A1 , A 2 , A 3 的 秩 0 1 1
为 ．
1 0 1 1 0 1 1 0 1 【详解】对矩阵进行初等变换 A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 0 1 1 0 1 1 0 0 0
特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．
0 1 0 对于矩阵 B ， 2 E B 0 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 只有一个线性无关的 0 0 1
特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B） ． 7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要 条件是（ ） （B） A, B 互不相容 （D） AB, C 互不相容
【详解】矩阵 A, B 的特征值都是 1 2 2, 3 1 ．是否可对解化，只需要关心 2 的情况．
0 0 0 对于矩阵 A ， 2 E A 0 0 1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两个线性无关的 0 0 1
2 z 2 z 2 z 2 z 2 y , 2 x , 3 2x x 2 y 2 xy yx
z 3 y 2 xy y 2 0 x 2 解方程组 ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC B ，发现只有在点 (1,1) 处满足 z 3 x x 2 2 xy 0 y
(sin
3
x 2 x 2 )dx
．
解：由对称性知
(sin 3 x 2 x 2 )dx 2
t
0
2 x 2 dx
．
3
2
．
10．差分方程 yt 1 2 yt 2 的通解为
【详解】齐次差分方程 yt 1 2 yt 0 的通解为 y C 2 x ； 设 yt 1 2 yt 2 的特解为 yt at 2 ，代入方程，得 a 所以差分方程 yt 1 2 yt 2 的通解为 y C 2 11．设生产某产品的平均成本 C (Q ) 1 e
（4）对于选项（B） ： ( X n X 1 ) ~ N (0, 2)
X n X1 1 ~ N (0,1) ( X n X 1 )2 ~ 2 (1) ，所以（B）结 2 2
论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．
（A） A, B 相互独立 （C） AB, C 【详解】 相互独立
2
P(( A B )C ) P( AC AB ) P( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) P ( A) P (C ) P ( B ) P (C ) P ( ABC ) P( A B ) P(C ) ( P( A) P( B) P( AB )) P(C ) P( A) P (C ) P( B ) P(C ) P( AB ) P(C )
2
（D） f (1) f ( 1)
【详解】设 g ( x) ( f ( x)) 2 ，则 g ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 0 ，也就是 f ( x ) 是单调增加函数．也就得到
f (1)
2
f (1) f (1) f (1) ，所以应该选（C）
8．设 X 1 , X 2 , , X n ( n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X 正确的是（
n
1 n X i ，则下列结论中不 n i 1
y3 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与 x 轴为边界的无界区域． (1 x 2 y 4 ) 2 D
17． （本题满分 10 分）
n
2 4 x d (1 x y ) 1 dx 0 (1 x 2 y 4 )2 4 0
1 1 1 2 dx 1 4 0 1 x 2 1 2 x 2 8 2
2
2
(X
i 1
i
)2 服从
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
n
（2）
( X i X )2 (n 1) S 2
i 1
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1) ，所以（C）结论也是正确的；
（3）注意 X ~ N ( , )
1 n
n ( X ) ~ N (0,1) n( X )2 ~ 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
AC B 2 3 0 ，且 A C 2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数 f ( x ) 是可导函数，且满足 f ( x ) f ( x ) 0 ，则 （A） f (1) f ( 1) （B） f (1) f ( 1) （C） f (1) f ( 1)
求 lim
n
n
k 1
k
2
k ln 1 n
【详解】由定积分的定义
1 , 2 , 3 为线性无关，所以向量组 A1 , A 2 , A 3 的秩为 2．
1 ， P X 1 a ， P X 3 b ，若 EX 0 ，则 2
14 ．设随机变量 X 的概率分布为 P X 2
DX
．
【详解】显然由概率分布的性质，知 a b
）
（A）
(X
i 1 n
i
)2 服从 2 分布
（B） 2 X n X 1 服从 2 分布
2
（C）
(X
i 1
i
X ) 2 服从 2 分布
2 （D） n( X ) 服从 2 分布
n
解： （ 1）显然 ( X i ) ~ N (0,1) ( X i ) ~ (1), i 1, 2, n 且相互独立，所以
（A） ab 2．二元函数 z xy (3 x y ) 的极值点是（ （A） (0, 0) （B） ( 0, 3) ） （C） (3, 0) （D） (1,1)
【详解】
z z y (3 x y ) xy 3 y 2 xy y 2 ， 3 x x 2 2 xy ， x y
1 1 2
Fra Baidu bibliotek
1 1 1 EX 2 1 a 3 b a 3b 1 0 ，解得 a , b 2 4 4 9 9 EX 2 2 a 9b ， DX EX 2 E 2 ( X ) ． 2 2
三、解答题 15． （本题满分 10 分）
【详解】iv n 时 sin （C） ． 5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） E 不可逆 （C） E 2 不可逆
T T T
（B） E 不可逆 （D） E 2 不可逆
T
T
【详解】矩阵 的特征值为 1 和 n 1 个 0 ，从而 E T , E T , E 2 T , E 2 T 的特征值分 别为 0,1,1, 1 ； 2,1,1, ,1 ； 1,1,1, ,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E 存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A） ．
x 0
ex
x
0
ue u du x3
4
lim
x 0
x
0
ue u du x3 lim
x 0
16． （本题满分 10 分） 计算积分 【详解】
x y3 y3 dxdy dx 0 0 (1 x 2 y 4 )2 dy (1 x 2 y 4 ) 2 D
求极限 lim
x 0
x
0
x tet dt x3
【详解】令 x t u ，则 t x u , dt du ，
x
0
x tet dt
x
0
ue x u du
xe x 2 3 x 3 2
x 0
lim
x
0
x tet dt x3 lim
T
2 0 0 2 1 0 1 0 0 6．已知矩阵 A 0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 ，则 0 0 1 0 0 1 0 0 2
（A） A, C 相似， B, C 相似 （C） A, C 不相似， B, C 相似 （B） A, C 相似， B, C 不相似 （D） A, C 不相似， B, C 不相似
2
4． 若级数
sin k ln(1 ) 收敛，则 k （ n n
n 2
1
1
） （D） 2
（A） 1
（B） 2
（C） 1
1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 k 1 1 k ln(1 ) k o 2 (1 k ) o 2 2 n 2n n n n n n 2 n n 1 显然当且仅当 (1 k ) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 n
2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1 cos x ,x 0 1．若函数 f ( x) 在 x 0 处连续，则 ax b, x0
1 1 （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2 2 2 1 x 1 cos x 1 2 【详解】 lim ， lim f ( x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续， f ( x) lim lim x 0 x 0 x 0 ax ax 2a x 0 1 1 b ab ．所以应该选（A） 必须满足 2a 2
12．设函数 f ( x, y ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df ( x, y ) ye y dx x(1 y )e y dy ， f (0, 0) 0 ，则
f ( x, y )
【详解】df ( x, y ) ye y dx x(1 y )e y dy d ( xye y ) ， 所以 f ( x, y ) xye y C ， 由 f (0, 0) 0 ， 得C 0 ， 所以 f ( x, y ) xye y ．
Q t t t
1 ； 2
t
1 t t2 . 2
.
，其中产量为 Q ，则边际成本为
3
【详解】答案为 1 (1 Q )e Q ． 平均成本 C (Q ) 1 e
Q
，则总成本为 C (Q ) QC (Q ) Q Qe
Q
，从而边际成本为
C (Q) 1 (1 Q)e Q .
1 0 1 13 ． 设 矩 阵 A 1 1 2 ， 1 , 2 , 3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向 量 组 A1 , A 2 , A 3 的 秩 0 1 1
为 ．
1 0 1 1 0 1 1 0 1 【详解】对矩阵进行初等变换 A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 0 1 1 0 1 1 0 0 0
特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．
0 1 0 对于矩阵 B ， 2 E B 0 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 只有一个线性无关的 0 0 1
特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B） ． 7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要 条件是（ ） （B） A, B 互不相容 （D） AB, C 互不相容
【详解】矩阵 A, B 的特征值都是 1 2 2, 3 1 ．是否可对解化，只需要关心 2 的情况．
0 0 0 对于矩阵 A ， 2 E A 0 0 1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两个线性无关的 0 0 1
2 z 2 z 2 z 2 z 2 y , 2 x , 3 2x x 2 y 2 xy yx
z 3 y 2 xy y 2 0 x 2 解方程组 ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC B ，发现只有在点 (1,1) 处满足 z 3 x x 2 2 xy 0 y
(sin
3
x 2 x 2 )dx
．
解：由对称性知
(sin 3 x 2 x 2 )dx 2
t
0
2 x 2 dx
．
3
2
．
10．差分方程 yt 1 2 yt 2 的通解为
【详解】齐次差分方程 yt 1 2 yt 0 的通解为 y C 2 x ； 设 yt 1 2 yt 2 的特解为 yt at 2 ，代入方程，得 a 所以差分方程 yt 1 2 yt 2 的通解为 y C 2 11．设生产某产品的平均成本 C (Q ) 1 e
（4）对于选项（B） ： ( X n X 1 ) ~ N (0, 2)
X n X1 1 ~ N (0,1) ( X n X 1 )2 ~ 2 (1) ，所以（B）结 2 2
论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．
（A） A, B 相互独立 （C） AB, C 【详解】 相互独立
2
P(( A B )C ) P( AC AB ) P( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) P ( A) P (C ) P ( B ) P (C ) P ( ABC ) P( A B ) P(C ) ( P( A) P( B) P( AB )) P(C ) P( A) P (C ) P( B ) P(C ) P( AB ) P(C )
2
（D） f (1) f ( 1)
【详解】设 g ( x) ( f ( x)) 2 ，则 g ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 0 ，也就是 f ( x ) 是单调增加函数．也就得到
f (1)
2
f (1) f (1) f (1) ，所以应该选（C）