数学建模 插值与拟合
数学建模插值及拟合详解Word版
数学建模插值及拟合详解Word版插值和拟合实验⽬的：了解数值分析建模的⽅法，掌握⽤Matlab进⾏曲线拟合的⽅法，理解⽤插值法建模的思想，运⽤Matlab⼀些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值⽅法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：⼀、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数 y= f（x）产⽣；·构造⼀个相对简单的函数 y=P(x)；·使P通过全部节点，即 P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·⽤P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．⽤MATLAB作⼀维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值⽅法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：⽴⽅插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值⽅法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加⼯问题x035791112131415y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6⽤程控铣床加⼯机翼断⾯的下轮廓线时每⼀⼑只能沿x⽅向和y⽅向⾛⾮常⼩的⼀步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但⼯艺要求铣床沿x⽅向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加⼯所需的数据，画出曲线.步骤1：⽤x0，y0两向量表⽰插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0510150.511.522.53．⽤MATLAB 作⽹格节点数据的插值(⼆维) z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 注：z —被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x ，y —被插值点；method —插值⽅法（‘nearest’ ：最邻近插值；‘linear’ ：双线性插值； ‘cubic’ ：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
数学建模插值与拟合
数学建模插值与拟合数据插值与拟合插值与插值函数：已知由(可能未知或⾮常复杂)产⽣的⼀批离散数据，且个互异插值节点，在插值区间内寻找⼀个相对简单的函数，使其满⾜下列插值条件：再利⽤已求得的计算任⼀⾮插值节点的近似值，这就是插值。
其中称为插值函数，称为被插函数。
最⼩⼆乘拟合：已知⼀批离散的数据，互不相同，寻求⼀个拟合函数，使与的误差平⽅和在最⼩⼆乘意义下最⼩。
在最⼩⼆乘意义下确定的称为最⼩⼆乘拟合函数。
1）Lagrange插值法a．待定系数法：假设插值多项式，利⽤待定系数法即可求得满⾜插值条件的插值函数。
关键在于确定待定系数。
b．利⽤基函数的构造⽅法⾸先构造个满⾜条件：的次插值基函数，再将其线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：其中c．Lagrange插值余项注：上述两种构造⽅法所得的Lagrange插值多项式是⼀样的，即满⾜插值条件的Lagrange插值多项式是唯⼀的。
2）分段线性插值作分段线性插值的⽬的在于克服Lagrange插值⽅法可能发⽣的不收敛性缺点。
所谓分段线性插值就是利⽤每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：其中特点：插值函数序列具有⼀致收敛性，克服了⾼次Lagrange插值⽅法的缺点，故可通过增加插值节点的⽅法提⾼其插值精度。
但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。
3）三次样条插值三次样条插值的⽬的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提⾼分段线性插值函数在节点处的光滑性。
所谓三次样条插值⽅法就是在满⾜下列条件：a．b．在每个⼦区间上是三次多项式的三次样条函数中寻找满⾜如下插值条件：以及形如等边界条件的插值函数的⽅法。
特点：三次样条插值函数序列⼀致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的⽅法提⾼插值的精度。
4）插值⽅法的Matlab实现⼀维数据插值MATLAB中⽤函数interp1来拟合⼀维数据，语法是YI = INTERP1(X,Y,XI,⽅法)其中（X，Y）是已给的数据点，XI 是插值点，其中⽅法主要有'linear' -线性插值，默认'pchip' -逐段三次Hermite插值'spline' -逐段三次样条函数插值其中最后⼀种插值的曲线⽐较平滑例：x=0:.12:1; x1=0:.02:1;y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,'o'); hold on;y1=interp1(x,y,x1,'spline');plot(x1,y1,':')如果要根据样本点求函数的定积分，⽽函数⼜是⽐较光滑的，则可以⽤样条函数进⾏插值后再积分，在MATLAB 中可以编写如下程序：function y=quadspln(x0,y0,a,b)f=inline(‘interp1(x0,y0,x,’’spline’’)’,’x’,’x0’,’y0’);y=quadl(f,a,b,1e-8,[],x0,y0);现求six(x)在区间[0，pi]上的定积分，只取5点x0=[0,0.4,1,2,pi];y0=sin(x0);I=quadspln(x0,y0,0,pi)结果得到的值为 2.01905，精确值为2⼆元函数插值：MATLAB中⽤函数interp2来拟合⼆维⽹格（X，Y）上的数据Z，语法是YI = INTERP2(X,Y, Z，XI, YI，⽅法)其中（X，Y，Z）是已给的数据点，（XI，YI）是插值点坐标，其中⽅法主要有'linear' -线性插值，默认'pchip' -逐段三次Hermite插值'spline' -逐段三次样条函数插值其中最后⼀种插值的曲⾯⽐较平滑例：[x,y]=meshgrid(-3:.6:3,-2:.4:2);z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x..*y);[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);%⽣成⽹格，x1和y1均为同样size的矩阵z1=interp2(x,y,z,x1,y1,’spline’); %z1是矩阵，size 和x1，y1相同surf(x1,y1,z1);axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]);-33如果数据不是在⽹格上取的，则可⽤函数griddata 来解决语法是YI = griddata(X,Y, Z ，XI, YI ，‘v4’)其中（X ， Y ，Z ）是已给的数据点，（XI ，YI ）是插值点坐标，其中除了⽅法‘v4’外还有 'linear' -线性插值，默认 'cublc' -逐段三次Hermite 插值 'nearest' 其中‘v4’⽅法⽐较好例x=-3+6*rand(200,1); %⽣成随机点的x坐标向量xy=-2+4*rand(200,1); %⽣成随机点的y坐标向量yz=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); % 上述点的样本值向量z[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); %⽣成⽹格，x1和y1均为同样size的矩阵z1=griddata(x,y,z,x1,y1,’v4’);surf(x1,y1,z1);axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]);⽣成的图类似上图。
三次样条插值与多项式拟合的关系
三次样条插值与多项式拟合的关系《三次样条插值与多项式拟合的关系》一、简介在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。
三次样条插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。
它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。
二、三次样条插值的原理与方法三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三次插值多项式的方法。
它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。
这样可以保证整个插值曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接点处有相同的函数值和导数值。
三次样条插值不仅可以实现较高的插值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。
三、多项式拟合的原理与方法多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。
常见的拟合方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。
多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。
四、三次样条插值与多项式拟合的关系在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。
可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。
多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。
可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。
五、个人观点和理解在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。
对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。
了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。
数学建模_插值与拟合总结
y0 y1
⎪⎩a0 + a1xn + a2 xn2 + L + an xnn = yn
记此方程组的系数矩阵为 A ，则
（3）
1 x0 x02 L x0n det( A) = 1 x1 x12 L x1n
LLLLLLL
1 xn xn2 L xnn 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当 x0 , x1,L, xn 互不相同时，此行列式值不为零。因 此方程组（3）有唯一解。这表明，只要 n + 1 个节点互不相同，满足插值要求（2）的
z=x(i); s=0.0; for k=1:n
p=1.0; for j=1:n
if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
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1.2 牛顿（Newton）插值 在导出 Newton 公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。 1.2.1 差商
=
f0
+
Δf 0 h
(x − x0 ) + L +
Δn f0 n! h n
( x − x0 )( x − x1)L( x − xn−1)
若令 x = x0 + th ，则上式又可变形为
Nn (x0
+ th)
=
f0
+ tΔf0
+L +
t(t
− 1)L(t n!
−n
+ 1) Δn
f0
上式称为 Newton 向前插值公式。
f [x, x0 , x1] = f [x0 , x1, x2 ] + ( x − x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ] LL
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得
到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）将1994～2022岁婴儿的性别比设为2022，预测性别比例为2022～2022。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各
年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）根据时间分布分析城镇、城镇的生育率，以时间为自变量，以生育率为因变量，拟合城镇、城镇的生育率，并将生育率从2022预测到2022。
（4）将某年的城镇化水平pu(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
Karmeshu（1992）发现，自20世纪50年代以来，随着经济发展水平的提高，发达国
家城市人口的增长速度一直快于农村地区。
但是，随着城市化水平的提高，达到100%，速度将会放缓。
城市化水平的增长曲线粗略地表现为“S”型Logistic曲线〔4〕，对中国
人口1%的调查数据进行了曲线拟合，从附录2中给出了2001～2022的数据，得到了曲线，并绘制了城市化水平从2001到2050的曲线。
2.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中
的数据，完成下列问题
（1）以城区采样点为插值节点，绘制城区地形图和等高线图；（2）绘制城区8种
重金属浓度的空间分布图。
并指出最高和最低浓度点的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、shepard插值等。
工具可用matlab，也可
用surfer软件实现。
数学建模插值法与曲线拟合讲课
插值法的matlab实现—一维插值
命令：interp1(x0,y0,x，’method’) 其中：x0：插值节点；
y0：插值节点处的函数值； x：要计算函数值的点；
method：
l i n e a r ：分段线性插值； c u b i c ：分段三次埃尔米特插值； s p l i n e ：三次样条插值。
z4
8
686
8
8
x 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5
y -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5
z9
9
88
94
9
水深和流速的问题
在水文数据测量中，不同水深的流速是不同的. 水文数据的测量 时天天进行的，为了减少测量的工作，希望得到确定的水深和水 流之间的关系. 为此测量了一系列不同水深和流速值. 下表给出了 对某河流的测量数据，其中水深和流速根据适当的单位进行了规 范化，共10个值.
插值与拟合的不同点
插值: 过节点; ； 拟合: 不过点, 整体近似；
插值法
拉格朗日插值 牛顿插值 三次埃尔米特插值法 分段线性插值 分段三次埃尔米特插值法 三次样条插值
1、 拉格朗日插值公式
（１）定义
对给定的n+1个节点x0 , x1,x2,…,xn及对应的函数值y0 , y1,y2,…,yn， 构造一个n次插值多项式：
f(x)=1/(1+x2) , 但对于3.63≤∣x∣≤1的x，Pn(x)严重发散。 用图形分析问题。
for n=10:2:20
%从10等份到20等份
x0=[-5:10/n:5]; %插值节点
y0=1./(1+x0.^2); %插值节点处的精确函数值
数学建模插值与拟合课件
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ，要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ，称此为 n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
近似函数不一定（曲线或曲面）通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示，当n 增大时，pn x在两端会发出激烈
的振荡，这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
数学建模常见的一些方法【04拟合算法】
数学建模常见的⼀些⽅法【04拟合算法】@⽬录数学建模常见的⼀些⽅法1. 拟合算法与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线⼀定经过给定的点。
拟合问题的⽬标是寻求⼀个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最⼩化损失函数）。
1.1 插值和拟合的区别 插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。
但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过⾼，会造成。
尽管我们可以选择分段的⽅法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到⼀个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每⼀个样本点，但只要保证误差⾜够⼩即可，这就是拟合的思想。
(拟合的结果是得到⼀个确定的曲线)1.2 求解最⼩⼆乘法1.3 Matlab求解最⼩⼆乘测试数据:x =4.20005.90002.70003.80003.80005.60006.90003.50003.60002.90004.20006.10005.50006.60002.90003.30005.90006.00005.6000>> yy =8.400011.70004.20006.10007.900010.200013.20006.60006.00004.60008.400012.000010.300013.30004.60006.700010.800011.50009.9000计算代码:>> plot(x,y,'o')>> % 给x和y轴加上标签>> xlabel('x的值')>> ylabel('y的值')>> n = size(x,1);>> k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))>> b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))>> hold on % 继续在之前的图形上来画图形>> grid on % 显⽰⽹格线>> f=@(x) k*x+b; % 函数线>> fplot(f,[2.5,7]); % 设置显⽰范围>> legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')计算过程：>> plot(x,y,'o')>> % 给x和y轴加上标签>> xlabel('x的值')>> ylabel('y的值')>> n = size(x,1);>> n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y)ans = 1.3710e+03>> n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)ans = 654.4600>> k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))k = 2.0948>> b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))b = -1.0548>> hold on>> grid on>> f=@(x) k*x+b;>> fplot(f,[2.5,7]);>> legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')1.4 如何评价拟合的好坏线性函数是指对参数为线性（线性于参数）在函数中，参数仅以⼀次⽅出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不能出现参数的复合函数形式。
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3插值问题：有限个已知数据点，构造⼀个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
当数据量不够，需要补充,且认定已有数据可信时,通常利⽤函数插值⽅法。
常见插值⽅法：拉格朗⽇插值(lagrange插值)分段线性插值Hermite三次样条插值克⾥⾦插值(地理学)反距离权重插值算法(地理学)拉格朗⽇插值(⾼次多项式插值)：(次数太⾼有Runge现象)1. 曲线光滑；误差估计有表达式2. 收敛性不能保证(振荡现象)3. ⽤于理论分析，实际意义不⼤matlab中没有分段线性插值：1. 收敛性良好2. 只⽤两个节点，且线性，简单实⽤3. 曲线不光滑三次样条插值:1. 曲线2阶光滑，收敛性有保证2. 实际中应⽤⼴泛3. 误差估计较难拟合：已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
曲线拟合要解决的两个问题：1. 线型的选择(关键点，⼀般根据散点图)2. 线型中参数的计算参数的求解：1. 线性拟合----最⼩⼆乘法2. ⾮线性拟合----Gauss-Newton迭代法最⼩⼆乘法:函数表达式： 其中 , k=[1,n],是线性⽆关的函数， 是待定系数，⽬的找⼀组适当的，使得 与的距离平⽅和最⼩。
这种准则称为最⼩⼆乘准则，求系数的⽅法称为最⼩⼆乘拟合法。
MATLAB拟合：线性拟合：polyfit(x,y,n)函数x,y被拟合数据的⾃变量和应变量，n为拟合多项式的次数polyval()函数多项式在 x 处的值 y 可⽤polyval函数计算⾮线性拟合：[b,r] = polyfit(x ,y ,fun,bo, option)fun: 拟合函数 b0：拟合参数初始化迭值option: 拟合选项 b:拟合参数 r:拟合残差MATLAB拟合⼯具箱： cftool(⾹)插值和拟合的异同联系都是根据实际中⼀-组已知数据来构造⼀个能够反映数据变化规律的近似函数的⽅法。
数学建模插值和拟合问题的总结
插值和数据拟合一、 插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。
1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。
实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。
由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。
一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。
2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。
一般用于曲线绘制，数据估计等。
例 对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。
见inter.m 程序二、 曲线拟合 三、 给药方案 １． 问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２． 假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV． ３． 建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４． 方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５． 由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、 口服给药方案 １． 问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。
数学建模——拟合与插值
即要求 出二次多项式: f(x)a1x2a2xa3
11
中 的 A(a1,a2,a3) 使得:
[f (xi)yi]2 最小
i1
fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
18
25.03.2020
2. lsqnonlin
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
25.03.2020
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
2）计算结果：Ａ = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]
f(x) 9.81x0 2 8 2.1 02x9 0 3 .0317
16
25.03.2020
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
两个求非线性最小二乘拟合的函数：
lsqcurvefit、lsqnonlin。
相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函 数f(x)，但定义f(x)的方式不同。
(完整版)数学建模 插值和拟合
x
xn
x
4.2 MATLAB实现插值
Matlab 实现：实现插值不需要编制函 数程序，它自身提供了内部的功能函数 interp1(一维分段插值) interp2(二维) interp3(三维) intern(n维)
4.3.1一维插值
用MATLAB作插值计算
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline');
plot(hours,temps,'+',h,t,'r:')
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
例1：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29， 31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔1/10小时 的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
例1：从1点到12点的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25， 29，31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔 1/10小时的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
hours=1:12;
temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
x x0 y y0
x1 … xn y1 … yn
其中x0,x1, …xn是n+1个互不相同的点，求一个 近似函数 (x) ，使得
( xi ) f ( xi ) i 0,1 …n
数学建模 插值与拟合
%作图
2020/8/19
例 已知飞机下轮廓线上数据如下，Байду номын сангаасx每改变0.1时的y值。
X0 3
5
7
9 11 12 13 14 15
Y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
机翼下轮 廓线
y
x
自己思考，10分钟小组讨论！
2020/8/19
二维插值
（1）二维插值的定义
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点 插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插 值 ‘cubic’ 双三次插 值 要求x0,y0单调；x，y可取为缺矩省阵时，, 或x取双行线向性量插，值y 取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。
一、函数插值 二、曲线拟合
一维插值 二维插值
2020/8/19
在工程中，常有这样的问题：给定 一批数据点（它可以是设计师给定，也 可能是从测量与采样中得到），需确定 满足特定要求的曲线（面）通过所给所 有数据点，这就是插值问题。
2020/8/19
一维插值
（1）插值的定义 （2）插值的方法
拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
直接验证可知，Ln x满足插值条件.
Notice：拉格朗日多项式插值次数越高，越易产生振荡，这 种振荡称为龙格（Runge）现象 。
数学建模实验报告 第十八章 插值与拟合
实验名称：第十八章插值与拟合一、实验内容与要求学会用Matlab语言编写程序进行差值和拟合的各种常规运算。
二、实验软件MATLAB6.5三、实验内容1、用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
v(t)=V-(V-V0)e−tτ试由下面一组t,v数据确定V0和τ。
程序：Function y=dianya(x,t)y=10-(10-x(1))*exp(-t/x(2))t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];v=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];x0=[0.2,0.05];x=lsqcurvefit('dianya',x0,t,v)y=dianya(x,t)实验结果：x=5.5577 3.50022、弹簧在力F的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定律：F与x成正比，即F=kx。
现在得到下面一组F、x的数据，并在（x，F）的坐标下作图，可以看到当F大到一定的数据后，就不服从这个定律了。
试由数据确定k，并给出不服从胡克定律时的近似公式。
分析：这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值先用线性拟合来观察所有的数据程序：x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 ];a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k +',x,z,'r')可以看到当弹簧伸长10单位长度后，拟合的情况和不好故先取值前五个数据进行线性拟合x=[0 1 2 4 7 9 ];f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 ];a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k +',x,z,'r')实验结果：a =1.7085 0.0008图形如下：可以看到拟合良好，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系。
数学建模插值及拟合详解教学内容
数学建模插值及拟合详解插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：一、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数 y= f（x）产生；·构造一个相对简单的函数 y=P(x)；·使P通过全部节点，即 P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·用P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．用MATLAB作一维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加工问题机翼断面下的轮廓线上的数据如下表：用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加工所需的数据，画出曲线.步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline'); 步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on3．用MATLAB作网格节点数据的插值(二维)z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)注：z—被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x，y—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：双线性插值；‘cubic’：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
数学建模 插值和拟合
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的 插值结果 插值节点 被插值点 插值方法
注意（1）所有的插值方法 ‘nearest’ 最近邻点插值； 都要求x是单调的，并且xi不 ‘linear’分段线性插值； ‘spline’ 三次样条插值； 能够超过x的范围； ‘cubic’ 三次多项式插值； (2)interp1()并没有提供 缺省时 分段线性插值． 插值函数的表达式。
X Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1200 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980
用MATLAB作散点数据的插值计算
插值函数griddata格式为:
cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）
被插值点 的函数值 插值 节点 被插值点
插值方法
要求cx取行向量， cy取为列向量．
‘nearest’最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法 缺省时, 双线性插值
数学建模讲座(五)插值和拟合
Lagrange插值法的缺点 插值法的缺点
多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 数也会升高，可能造成插值函数的收敛性和 稳定性变差。如龙格（Runge）现象。 在[-1,1]上用n+1个等距节点作插值多项式 Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2) 在对应节点的值相等，当n增大时，插值多项 式在区间的中间部分趋于y(x)，但对于满足条 件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋于y(x)在对应 点的值，产生了Runge现象。 现象。 现象
三次样条
即 Si(x)=aix3+bix2+cix+di i=0,1,…,n xi-1≤x ≤xi （4n个变量） 需要4n个方程 (n+1个方程） S(xi) = yi i=0,1,…,n Si(xi)= Si+1(xi) i=1,…,n-1 在xi连续 (n-1个方程） Si/(xi)= Si+1/(xi) i=1,…,n-1 在xi连续(n-1个方程） Si//(xi)= Si+1 //(xi) i=1,…,n-1 在xi连续(n-1个方程） 再加两个条件 S//(x0)= S //(xn)=0 自然边界条件（2个方程） 可以证明：满足上述 个线性方程组有唯一解 满足上述4n个线性方程组有唯一解 满足上述 个线性方程组有唯一解。
n I (x) = ∑ y l (x) n ii i =0
可以证明：In(x) →f(x)
1.3 三次样条
设在区间[a,b]上，已给n+1个互不相同的节点 a=x0<x1<…<xn=b 而函数y = f(x)在这些节点的值f(xi)=yi,i=0,1,…,n.如 果分段函数S(x)满足下列条件，就称S(x)为f(x)在点x0， x1，…，xn的三次样条插值函数. （1） S(x)在子区间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次数 为3的多项式； （2）S(xi) = yi; （3） S(x)在区间[a,b]上有连续的二阶导数。
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
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可以用范德蒙行列式和克莱姆法 则证明(习题集第一章最后一题)： 在x0, x1, …, xn处取值y0, y1, …, yn 的多项式存在且唯一，即插值问题的 解唯一存在。 常 用 的 插 值 方 法 有 Lagrange 插 值法和Newton插值法。
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2015/8/18 39
2. 二维插值 二维插值命令是interp2, 基本格 式为zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'method')。 二维插值命令的使用较复杂。 x,y,z 为插值点， z 可以理解为被 插值函数在(x,y)处的值；xi,yi为被插 值点 , zi 为输出的插值结果，可理解 为插值函数在(xi,yi)处的值；x,y为向
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例2的程序较复杂，说明如下: (1) 程序依次用 Lagrange 、分段 线性和三次样条三种插值方法进行了 计算，其中 Lagrange 高次插值明显 出现了Runge现象； (2) 因为 Matlab没有 Lagrange高 次插值功能，所以程序中单独编写了 高次插值函数lagrange，然后调用；
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上机过程中穿插介绍。 几乎所有的数学方法最终都要用 数学软件和程序实现，所以上机练习 也是比较重要的培训内容。 上机训练的主要目的和内容是通 过练习，掌握实现各类数学方法的数 学软件和程序。 上机所用数学软件和程序主要由
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教师提供，学生只要会用即可。 但需要提醒同学们注意的是，现 成的软件和程序不可能解决建模中的 所有问题。通过上机训练，掌握一些 基本编程和计算技能 ( 如用 Matlab 做 数据处理、画图 , 用 Maple 做简单的 解析计算 ) ，对于参加建模竞赛是绝 对必要的。
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上机操作与练习
众所周知，在建模竞赛中，能否 熟练使用相关数学软件是能否取得好 成绩的关键之一。因此，数学软件的 培训应该是建模培训的重要内容。 建模中常用的数学软件有Matlab, SPSS, Lingo, Maple等。 由于培训时间有限，在课堂上只 能重点介绍SPSS，而Matlab等只能在
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(3) 程序涉及到了数组、循环和 条件语句、子函数的定义与调用以及 一些绘图命令(subplot,grid,title)等。 请大家通过上机理解、掌握上述 命令，特别是函数的定义及调用。 Matlab 中提供了专门用于样条 函数插值及相关计算的工具箱 Spline Toolbox，有兴趣的同学可以查阅。
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培训内容覆盖了数学建模中大部 分常用的数学方法。通过刻苦钻研， 努力学习，掌握了上述方法后，必将 大大提高应用数学知识和计算机解决 实际问题的综合能力，也一定会在全 国建模大赛中取得较好成绩。
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培训方式 由于培训内容众多且有相当难度 , 而培训时间又较短，所以如果学生不 事先认真预习相关内容，那么在课堂 上不可能完全听懂老师所讲内容，大 部分学生会云山雾罩，一头雾水，从 而使得培训效果大打折扣。 综上，强烈建议学生课前认真、
2014数学建模培训
培训内容与方式
培训内容 1. 插值与拟合； 2. 灰色系统； 3. 层次分析法； 4. 模糊综合评价； 5. 均值比较与方差分析； 6. 相关分析与回归分析； 7. 时间序列分析(一)；
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8. 时间序列分析(二) ； 9. 综合预测实例； 10. 主成分分析与因子分析； 11. 聚类分析与判别分析； 12. 综合评价实例； 13. 数学建模论文的写作与编辑； 14. 图论模型及其Matlab程序； 15. 数学规划与Lingo。
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plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r'); grid;
title('lagrange'); subplot(3,1,2); plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r'); grid; title('piecewise linear'); subplot(3,1,3); plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r');
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上述程序较复杂，说明如下： (1) interp2中的xi为行向量, 而yi' 为列向量, 其实xi和yi行列不同即可。 (2) plot3(空间曲线), mesh(空间曲 面), surf (空间曲面), contour(等高线) 是 三 维 作 图 中 的 常 用 命 令 。 mesh 和 surf 的区别是： mesh 画的是曲面网格 图，而surf画的是曲面表面图。
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第1讲 插值与拟合
一、引 言
插值与拟合是数学建模中的一种 基本的数据分析手段，被公认为建模 中的常用算法之一。 本讲第一部分首先介绍了插值问 题、插值原理、高次插值的 Runge现 象，然后讲解了 Matlab 中的一维和 二维插值命令。 第二部分首先介绍了拟合问题、
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zi=interp2(x,y,temps,xi,yi','cubic'); figure(2); mesh(xi,yi,zi); figure(3); contour(xi,yi,zi,20,'r'); [i,j]=find(zi==min(min(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmin=zi(i,j) [i,j]=find(zi==max(max(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmax=zi(i,j)
X Y 0 0 3 1.2 5 1.7 7 2.0 9 2.1 11 2.0 12 1.8 13 1.2 14 1.0 15 1.6
y 机翼下 轮廓线
x
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例3 测得平板表面3*5网格点处的 温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面的温度分布曲面 z=f(x,y) 的图形及等温线，并求出温度最高和 最低点。
2015/8/18 区间(域)内若干点处的值, 求函数在 该区间 ( 域 ) 内其它点处的值”，这种 问题适宜用插值方法解决。 一维插值问题可描述为：已知函 数在x0, x1, …, xn处的值y0, y1,…, yn， 求简单函数 p(x)，使 p(xi) = yi。 通常取 p(x)为多项式。
p10 ( x )
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1 f ( x) 2 1 25 x
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因此，在实际中不应使用七次以 上的插值。 避免Runge现象的常用方法是： 将插值区间分成若干小区间，在小区 间内用低次(二次，三次)插值，即分 段低次插值，如样条函数插值。
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样条插值结果
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1. 一维插值 一维插值命令是interp1, 其基本 格式为yi= interp1(x,y,xi, 'method')。 x,y为插值点，xi,yi为被插值点和 插值结果， x,y 和 xi,yi 通常为向量； 'method' 表示插值方法： 'nearest'— 最邻近插值， 'linear'— 线性插值， 'spline'—三次样条插值，'cubic'—立
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grid; title('spline'); function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;
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for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
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请理解掌握程序中的每个语句， 并改变插值方法，观察图形变化。
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例2Matlab程序 function plane x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); subplot(3,1,1);
拟合原理与步骤, 然后介绍了Matlab 和Origin的拟合计算。 本讲首先要理解插值问题和拟合 问题的特点，其次要了解插值和拟合 的原理与方法，特别要熟练掌握利用 Matlab和Origin等软件进行插值和拟 合的相关命令和技能，此外还要掌握 Matlab编程的基本知识与技能。
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三、Matlab插值
Maple和Matlab都可以进行插值 计算，Maple的一维插值计算较为便 捷，而 Matlab 的二维插值功能较强 , 还能进行散乱点插值。 本节主要介绍 Matlab 的一维和 二维插值命令，大家务必要通过上机 操作熟悉这些命令，同时还要初步掌 握Matlab的基础知识与技能。
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量，xi,yi为向量或矩阵，而z和zi则为 矩阵。 'method'表示插值方法： 'neares t'— 最邻近插值 , 'linear'— 双线性插 值, 'spline'—双三次样条插值，'cubi c'—双立方插值，黙认双线性插值。