数学建模 插值与拟合
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培训内容覆盖了数学建模中大部 分常用的数学方法。通过刻苦钻研， 努力学习，掌握了上述方法后，必将 大大提高应用数学知识和计算机解决 实际问题的综合能力，也一定会在全 国建模大赛中取得较好成绩。
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培训方式 由于培训内容众多且有相当难度 , 而培训时间又较短，所以如果学生不 事先认真预习相关内容，那么在课堂 上不可能完全听懂老师所讲内容，大 部分学生会云山雾罩，一头雾水，从 而使得培训效果大打折扣。 综上，强烈建议学生课前认真、
2. 高次插值的Runge现象 在研究插值问题的初期，所有人 都想当然地认为插值多项式的次数越 高，插值精度越高。 Runge 通过对一个例子的研究发 现，上述结论仅仅在插值多项式的次 数不超过七时成立；插值多项式的次 数超过七时，插值多项式会出现严重
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的振荡现象，称之为Runge现象。
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grid; title('spline'); function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;
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for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
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三、Matlab插值
Maple和Matlab都可以进行插值 计算，Maple的一维插值计算较为便 捷，而 Matlab 的二维插值功能较强 , 还能进行散乱点插值。 本节主要介绍 Matlab 的一维和 二维插值命令，大家务必要通过上机 操作熟悉这些命令，同时还要初步掌 握Matlab的基础知识与技能。
拟合原理与步骤, 然后介绍了Matlab 和Origin的拟合计算。 本讲首先要理解插值问题和拟合 问题的特点，其次要了解插值和拟合 的原理与方法，特别要熟练掌握利用 Matlab和Origin等软件进行插值和拟 合的相关命令和技能，此外还要掌握 Matlab编程的基本知识与技能。
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2. 二维插值 二维插值命令是interp2, 基本格 式为zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'method')。 二维插值命令的使用较复杂。 x,y,z 为插值点， z 可以理解为被 插值函数在(x,y)处的值；xi,yi为被插 值点 , zi 为输出的插值结果，可理解 为插值函数在(xi,yi)处的值；x,y为向
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请理解掌握程序中的每个语句， 并改变插值方法，观察图形变化。
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例2Matlab程序 function plane x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); subplot(3,1,1);
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上机操作与练习
众所周知，在建模竞赛中，能否 熟练使用相关数学软件是能否取得好 成绩的关键之一。因此，数学软件的 培训应该是建模培训的重要内容。 建模中常用的数学软件有Matlab, SPSS, Lingo, Maple等。 由于培训时间有限，在课堂上只 能重点介绍SPSS，而Matlab等只能在
二、插 值
1. 插值问题 例1 在一天24小时内，从零点开 始每间隔 2 小时测得的环境温度数据 分别为 12，9，9，10，18 ，24，28， 27，25，20，18，15，13， 推测中午 1 点温度，并做出 24 小时温 度变化曲线图。
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例 2 已知飞机下轮廓线上数据如 下，画出飞机下轮廓线。
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量，xi,yi为向量或矩阵，而z和zi则为 矩阵。 'method'表示插值方法： 'neares t'— 最邻近插值 , 'linear'— 双线性插 值, 'spline'—双三次样条插值，'cubi c'—双立方插值，黙认双线性插值。
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例3Matlab程序 x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; figure(1); mesh(x,y,temps); xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3;
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plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r'); grid;
title('lagrange'); subplot(3,1,2); plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r'); grid; title('piecewise linear'); subplot(3,1,3); plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r');
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上机过程中穿插介绍。 几乎所有的数学方法最终都要用 数学软件和程序实现，所以上机练习 也是比较重要的培训内容。 上机训练的主要目的和内容是通 过练习，掌握实现各类数学方法的数 学软件和程序。 上机所用数学软件和程序主要由
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教师提供，学生只要会用即可。 但需要提醒同学们注意的是，现 成的软件和程序不可能解决建模中的 所有问题。通过上机训练，掌握一些 基本编程和计算技能 ( 如用 Matlab 做 数据处理、画图 , 用 Maple 做简单的 解析计算 ) ，对于参加建模竞赛是绝 对必要的。
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上机前，培训老师会布置上机练 习，提供相关软件或程序，讲解关键 步骤和程序语句。上机过程中，辅导 老师负责解答学生的疑难问题。 题外话 特别要提醒大家的是，国赛完全 不同于网络挑战赛，题目的难度和开 放性适中，有答题要点、参考方法，
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甚至有参考答案；初评评委大部分由 指导教师担任，评阅结果通常比较合 理、靠谱。那种连基本建模方法都不 懂竟然也能获大奖的现象在国赛中几 乎是不可能发生的，全国一等奖的论 文必须模型、方法合理，结果基本可 信、正确，写作清晰、规范。 一句话，建模不能全靠忽悠。
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zi=interp2(x,y,temps,xi,yi','cubic'); figure(2); mesh(xi,yi,zi); figure(3); contour(xi,yi,zi,20,'r'); [i,j]=find(zi==min(min(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmin=zi(i,j) [i,j]=find(zi==max(max(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmax=zi(i,j)
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第1讲 插值与拟合
一、引 言
插值与拟合是数学建模中的一种 基本的数据分析手段，被公认为建模 中的常用算法之一。 本讲第一部分首先介绍了插值问 题、插值原理、高次插值的 Runge现 象，然后讲解了 Matlab 中的一维和 二维插值命令。 第二部分首先介绍了拟合问题、
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可以用范德蒙行列式和克莱姆法 则证明(习题集第一章最后一题)： 在x0, x1, …, xn处取值y0, y1, …, yn 的多项式存在且唯一，即插值问题的 解唯一存在。 常 用 的 插 值 方 法 有 Lagrange 插 值法和Newton插值法。
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2014数学建模培训
培训内容与方式
培训内容 1. 插值与拟合； 2. 灰色系统； 3. 层次分析法； 4. 模糊综合评价； 5. 均值比较与方差分析； 6. 相关分析与回归分析； 7. 时间序列分析(一)；
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来自百度文库
8. 时间序列分析(二) ； 9. 综合预测实例； 10. 主成分分析与因子分析； 11. 聚类分析与判别分析； 12. 综合评价实例； 13. 数学建模论文的写作与编辑； 14. 图论模型及其Matlab程序； 15. 数学规划与Lingo。
p10 ( x )
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1 f ( x) 2 1 25 x
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因此，在实际中不应使用七次以 上的插值。 避免Runge现象的常用方法是： 将插值区间分成若干小区间，在小区 间内用低次(二次，三次)插值，即分 段低次插值，如样条函数插值。
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样条插值结果
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例2的程序较复杂，说明如下: (1) 程序依次用 Lagrange 、分段 线性和三次样条三种插值方法进行了 计算，其中 Lagrange 高次插值明显 出现了Runge现象； (2) 因为 Matlab没有 Lagrange高 次插值功能，所以程序中单独编写了 高次插值函数lagrange，然后调用；
X Y 0 0 3 1.2 5 1.7 7 2.0 9 2.1 11 2.0 12 1.8 13 1.2 14 1.0 15 1.6
y 机翼下 轮廓线
x
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例3 测得平板表面3*5网格点处的 温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面的温度分布曲面 z=f(x,y) 的图形及等温线，并求出温度最高和 最低点。
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(3) 程序涉及到了数组、循环和 条件语句、子函数的定义与调用以及 一些绘图命令(subplot,grid,title)等。 请大家通过上机理解、掌握上述 命令，特别是函数的定义及调用。 Matlab 中提供了专门用于样条 函数插值及相关计算的工具箱 Spline Toolbox，有兴趣的同学可以查阅。
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上述程序较复杂，说明如下： (1) interp2中的xi为行向量, 而yi' 为列向量, 其实xi和yi行列不同即可。 (2) plot3(空间曲线), mesh(空间曲 面), surf (空间曲面), contour(等高线) 是 三 维 作 图 中 的 常 用 命 令 。 mesh 和 surf 的区别是： mesh 画的是曲面网格 图，而surf画的是曲面表面图。
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上述问题可归结为“已知函数在 某区间(域)内若干点处的值, 求函数在 该区间 ( 域 ) 内其它点处的值”，这种 问题适宜用插值方法解决。 一维插值问题可描述为：已知函 数在x0, x1, …, xn处的值y0, y1,…, yn， 求简单函数 p(x)，使 p(xi) = yi。 通常取 p(x)为多项式。
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1. 一维插值 一维插值命令是interp1, 其基本 格式为yi= interp1(x,y,xi, 'method')。 x,y为插值点，xi,yi为被插值点和 插值结果， x,y 和 xi,yi 通常为向量； 'method' 表示插值方法： 'nearest'— 最邻近插值， 'linear'— 线性插值， 'spline'—三次样条插值，'cubic'—立
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方插值，缺省为线性插值。
例1Matlab程序 x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 1 8 15 13]; x1=13; y1=interp1(x,y,x1,'spline') xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y, '*',xi,yi)
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反复研读授课 PPT 和其它相关资料， 然后带着疑问和兴趣再听老师讲解， 这样才能保证培训效果。 培训PPT及软件、程序下载邮箱: austmathmodeling@163.com MM: matlabmaple 培训以讲解为主，学生如有疑问, 可在下午上机辅导时向老师咨询。
培训内容覆盖了数学建模中大部 分常用的数学方法。通过刻苦钻研， 努力学习，掌握了上述方法后，必将 大大提高应用数学知识和计算机解决 实际问题的综合能力，也一定会在全 国建模大赛中取得较好成绩。
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培训方式 由于培训内容众多且有相当难度 , 而培训时间又较短，所以如果学生不 事先认真预习相关内容，那么在课堂 上不可能完全听懂老师所讲内容，大 部分学生会云山雾罩，一头雾水，从 而使得培训效果大打折扣。 综上，强烈建议学生课前认真、
2. 高次插值的Runge现象 在研究插值问题的初期，所有人 都想当然地认为插值多项式的次数越 高，插值精度越高。 Runge 通过对一个例子的研究发 现，上述结论仅仅在插值多项式的次 数不超过七时成立；插值多项式的次 数超过七时，插值多项式会出现严重
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的振荡现象，称之为Runge现象。
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grid; title('spline'); function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;
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for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
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三、Matlab插值
Maple和Matlab都可以进行插值 计算，Maple的一维插值计算较为便 捷，而 Matlab 的二维插值功能较强 , 还能进行散乱点插值。 本节主要介绍 Matlab 的一维和 二维插值命令，大家务必要通过上机 操作熟悉这些命令，同时还要初步掌 握Matlab的基础知识与技能。
拟合原理与步骤, 然后介绍了Matlab 和Origin的拟合计算。 本讲首先要理解插值问题和拟合 问题的特点，其次要了解插值和拟合 的原理与方法，特别要熟练掌握利用 Matlab和Origin等软件进行插值和拟 合的相关命令和技能，此外还要掌握 Matlab编程的基本知识与技能。
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2. 二维插值 二维插值命令是interp2, 基本格 式为zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'method')。 二维插值命令的使用较复杂。 x,y,z 为插值点， z 可以理解为被 插值函数在(x,y)处的值；xi,yi为被插 值点 , zi 为输出的插值结果，可理解 为插值函数在(xi,yi)处的值；x,y为向
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请理解掌握程序中的每个语句， 并改变插值方法，观察图形变化。
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例2Matlab程序 function plane x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); subplot(3,1,1);
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上机操作与练习
众所周知，在建模竞赛中，能否 熟练使用相关数学软件是能否取得好 成绩的关键之一。因此，数学软件的 培训应该是建模培训的重要内容。 建模中常用的数学软件有Matlab, SPSS, Lingo, Maple等。 由于培训时间有限，在课堂上只 能重点介绍SPSS，而Matlab等只能在
二、插 值
1. 插值问题 例1 在一天24小时内，从零点开 始每间隔 2 小时测得的环境温度数据 分别为 12，9，9，10，18 ，24，28， 27，25，20，18，15，13， 推测中午 1 点温度，并做出 24 小时温 度变化曲线图。
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例 2 已知飞机下轮廓线上数据如 下，画出飞机下轮廓线。
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量，xi,yi为向量或矩阵，而z和zi则为 矩阵。 'method'表示插值方法： 'neares t'— 最邻近插值 , 'linear'— 双线性插 值, 'spline'—双三次样条插值，'cubi c'—双立方插值，黙认双线性插值。
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例3Matlab程序 x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; figure(1); mesh(x,y,temps); xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3;
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plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r'); grid;
title('lagrange'); subplot(3,1,2); plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r'); grid; title('piecewise linear'); subplot(3,1,3); plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r');
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上机过程中穿插介绍。 几乎所有的数学方法最终都要用 数学软件和程序实现，所以上机练习 也是比较重要的培训内容。 上机训练的主要目的和内容是通 过练习，掌握实现各类数学方法的数 学软件和程序。 上机所用数学软件和程序主要由
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教师提供，学生只要会用即可。 但需要提醒同学们注意的是，现 成的软件和程序不可能解决建模中的 所有问题。通过上机训练，掌握一些 基本编程和计算技能 ( 如用 Matlab 做 数据处理、画图 , 用 Maple 做简单的 解析计算 ) ，对于参加建模竞赛是绝 对必要的。
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上机前，培训老师会布置上机练 习，提供相关软件或程序，讲解关键 步骤和程序语句。上机过程中，辅导 老师负责解答学生的疑难问题。 题外话 特别要提醒大家的是，国赛完全 不同于网络挑战赛，题目的难度和开 放性适中，有答题要点、参考方法，
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甚至有参考答案；初评评委大部分由 指导教师担任，评阅结果通常比较合 理、靠谱。那种连基本建模方法都不 懂竟然也能获大奖的现象在国赛中几 乎是不可能发生的，全国一等奖的论 文必须模型、方法合理，结果基本可 信、正确，写作清晰、规范。 一句话，建模不能全靠忽悠。
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zi=interp2(x,y,temps,xi,yi','cubic'); figure(2); mesh(xi,yi,zi); figure(3); contour(xi,yi,zi,20,'r'); [i,j]=find(zi==min(min(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmin=zi(i,j) [i,j]=find(zi==max(max(zi))); x=xi(j),y=yi(i),zmax=zi(i,j)
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第1讲 插值与拟合
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插值与拟合是数学建模中的一种 基本的数据分析手段，被公认为建模 中的常用算法之一。 本讲第一部分首先介绍了插值问 题、插值原理、高次插值的 Runge现 象，然后讲解了 Matlab 中的一维和 二维插值命令。 第二部分首先介绍了拟合问题、
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可以用范德蒙行列式和克莱姆法 则证明(习题集第一章最后一题)： 在x0, x1, …, xn处取值y0, y1, …, yn 的多项式存在且唯一，即插值问题的 解唯一存在。 常 用 的 插 值 方 法 有 Lagrange 插 值法和Newton插值法。
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培训内容与方式
培训内容 1. 插值与拟合； 2. 灰色系统； 3. 层次分析法； 4. 模糊综合评价； 5. 均值比较与方差分析； 6. 相关分析与回归分析； 7. 时间序列分析(一)；
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8. 时间序列分析(二) ； 9. 综合预测实例； 10. 主成分分析与因子分析； 11. 聚类分析与判别分析； 12. 综合评价实例； 13. 数学建模论文的写作与编辑； 14. 图论模型及其Matlab程序； 15. 数学规划与Lingo。
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1 f ( x) 2 1 25 x
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因此，在实际中不应使用七次以 上的插值。 避免Runge现象的常用方法是： 将插值区间分成若干小区间，在小区 间内用低次(二次，三次)插值，即分 段低次插值，如样条函数插值。
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样条插值结果
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例2的程序较复杂，说明如下: (1) 程序依次用 Lagrange 、分段 线性和三次样条三种插值方法进行了 计算，其中 Lagrange 高次插值明显 出现了Runge现象； (2) 因为 Matlab没有 Lagrange高 次插值功能，所以程序中单独编写了 高次插值函数lagrange，然后调用；
X Y 0 0 3 1.2 5 1.7 7 2.0 9 2.1 11 2.0 12 1.8 13 1.2 14 1.0 15 1.6
y 机翼下 轮廓线
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例3 测得平板表面3*5网格点处的 温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面的温度分布曲面 z=f(x,y) 的图形及等温线，并求出温度最高和 最低点。
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(3) 程序涉及到了数组、循环和 条件语句、子函数的定义与调用以及 一些绘图命令(subplot,grid,title)等。 请大家通过上机理解、掌握上述 命令，特别是函数的定义及调用。 Matlab 中提供了专门用于样条 函数插值及相关计算的工具箱 Spline Toolbox，有兴趣的同学可以查阅。
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上述程序较复杂，说明如下： (1) interp2中的xi为行向量, 而yi' 为列向量, 其实xi和yi行列不同即可。 (2) plot3(空间曲线), mesh(空间曲 面), surf (空间曲面), contour(等高线) 是 三 维 作 图 中 的 常 用 命 令 。 mesh 和 surf 的区别是： mesh 画的是曲面网格 图，而surf画的是曲面表面图。
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上述问题可归结为“已知函数在 某区间(域)内若干点处的值, 求函数在 该区间 ( 域 ) 内其它点处的值”，这种 问题适宜用插值方法解决。 一维插值问题可描述为：已知函 数在x0, x1, …, xn处的值y0, y1,…, yn， 求简单函数 p(x)，使 p(xi) = yi。 通常取 p(x)为多项式。
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1. 一维插值 一维插值命令是interp1, 其基本 格式为yi= interp1(x,y,xi, 'method')。 x,y为插值点，xi,yi为被插值点和 插值结果， x,y 和 xi,yi 通常为向量； 'method' 表示插值方法： 'nearest'— 最邻近插值， 'linear'— 线性插值， 'spline'—三次样条插值，'cubic'—立
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方插值，缺省为线性插值。
例1Matlab程序 x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 1 8 15 13]; x1=13; y1=interp1(x,y,x1,'spline') xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y, '*',xi,yi)
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反复研读授课 PPT 和其它相关资料， 然后带着疑问和兴趣再听老师讲解， 这样才能保证培训效果。 培训PPT及软件、程序下载邮箱: austmathmodeling@163.com MM: matlabmaple 培训以讲解为主，学生如有疑问, 可在下午上机辅导时向老师咨询。