2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．

考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．

专题：三角函数的求值．

分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．

解答：解：y=1﹣2cos2（2x）

=﹣[2cos2（2x）﹣1]

=﹣cos4x，

∴函数的最小正周期为T==

故答案为：

点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．

解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，

则（z+）•=

=（1+2i）（1﹣2i）+1

=1﹣4i2+1

=2+4

=6．

故答案为：6

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．

3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求

出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程

解答：

解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），

又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，

故得p=4，

∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．

故答案为：x=﹣2

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．

4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．

考点：分段函数的应用；真题集萃．

专题：分类讨论；函数的性质及应用．

分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．

解答：解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；

当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；

当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；

∴a≤2，

故答案为：（﹣∞，2]．

点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．

5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．

考点：基本不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：

由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．

解答：解：∵xy=1，

∴y=

∴x2+2y2=x2+≥2=2，

当且仅当x2=，即x=±时取等号，

故答案为：2

点评：本题考查基本不等式，属基础题．

6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：空间位置关系与距离．

分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．

解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴==3，

即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：

则cosθ==，

∴θ=arccos，

故答案为：arccos

点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．

7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：计算题；坐标系和参数方程．

分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．

解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，

∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．

故答案为：．

点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．

8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．

考点：极限及其运算．

专题：等差数列与等比数列．

分析：

由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．

解答：解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，

a1=（a3+a4+…a n）

=（﹣a1﹣a1q）

=，

∴q2+q﹣1=0，

解得q=或q=（舍）．

故答案为：．

点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．

9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．

考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．

解答：

解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，