数字运算——容斥原理
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42=22+16+25-8-6-x+0
x= 7
容斥原理——三集合图示标数型
【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27 人，其 中只能教英语的有8 人，只能教日语的有6 人，能教英、 日语的有5 人，能教法、日语的有3 人，能教英、法语的 有4人，三种都能教的有2 人，则只能教法语的有多少人 （） A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人
W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z；
根据题干条件：x=y+z=4z，求A+B+C
y=3z，x=4z，代入上式得出z=6，则x=24，y=18
答案为？
容斥原理——三集合整体重复型
【例10】（春季联考2013-42）有100 人参加运动会的三个 比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50 人， 未参加跳高的有60 人，未参加赛跑的有70 人。问至少有多 少人参加了不止一个项目？（ ）
数字运算——容斥原理
2015038
容斥原理
“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思 路来解答。
对于“两集合容斥原理”：
1. 如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目② 满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、 B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的 标准公式作答；
当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利 用图示配合，标数解答。
1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；
2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；
3. 标数时，注意由中间向外围标记。
容斥原理——三集合整体重复型
【例8】（陕西2013-78）五年级一班共有55 个学生，在暑 假期间都参加了特长培训班，35 人参加书法班，28 人参加 美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参 加的有6 人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22
55=x+y+6 94=x+2y+18 得出y=27，则x=22
容斥原理——三集合整体重复型
【例9】（北京2014-80）某旅行团共有48 名游客，都报名 参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点 的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个 景点A CB的人数的4 倍。则需要为这些游客购买多少张景点 门票？ A. 48 B. 72 C. 78 D. 84
核心公式：56+62-x=70-4
数学及格+语文及格-语文数学都及格=总数-不及格
X=52
容斥原理——两集合图示标数型
核心公式 涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只 满足某1 个条件”的数目，那么我们无法通过标准的两 集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁 的“文氏图”标1.5数得到1所求结1.5果。
280=60+170+150-22-60-35+x， x=17，C选项
容斥原理——三集合标准型
【例6】（2012 年421 联考－54）某公司招聘员工，按规 定每人至多可投考两个职位，结果共42 人报名，甲、乙、 丙三个职位报名人数分别是22 人、16 人、25 人，其中 同时报甲、乙职位的人数为8 人，同时报甲、丙职位的 人数为6 人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7 人 B. 8 人 C. 5 人 D. 6 人
AUB=A+B-AnB=总-外
2. 如果题目涉及“只满足条件A的数目”或者“只满足 条件B的数目”，那么标准公式无法解答，一般选用“两 集合图示标数”来完成答题。
容斥原理
对于“三集合容斥原理”： 1. 关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足条
件A、B的数目②满足条件B、C的数目③满足条件C、A的 数目，一般选用“三集合标准型”的标准公式作答； 2. 如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”，一般选用 “三集合图示标数”来作答；
51
2
六
日
ຫໍສະໝຸດ Baidu
总数为10个人，未报名人数为2，答案为2/5，C选项
容斥原理——三集合标准型
特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况， 也等于总数减去三个条件都不满足的情况。 【例5】（安徽2011-15）如图所示：A、B、C 分别是面
积为60、170、150 的三张不同形状的卡片，它们部分重 叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A 与 B、B 与C、C 与A 重叠部分的面积分别是22、60、35。问 阴影部分的面积是多少？（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 三集合容斥原理公式：
3. 如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个 条件的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字， 一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。
容斥原理两集合标准型
核心公式： 满足条件A的个数+满足条件B 的个数-两者都满足的个数 =总个数-两者都不满足的个数
【例1】（浙江2013-54）某班对50 名学生进行体检，有 20 人近视，12 人超重，4 人既近视又超重，该班有多少 人既不近视又不超重？( ) A. 22 人 B. 24 人 C. 26 人 D. 28 人
图字示入标 手数。A 的关键是：从最中间“两个B 条件都满足”的数
【例3】（北京2013-73）一批游客中每人都去了A、B 两 个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A 的游客数量 相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3 倍。则 只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ） A. 2/3 B. ¾ C. 4/5 D. 5/6
将题干数据带入到核心公式中：
20=124=50-x
答案为A选项
若问题之近视不超重，或只超重不近视的，则不可解
容斥原理
【例2】（天津2013-12）有70 名学生参加数学、语文考 试，数学考试得60 分以上的有56 人，语文考试得60 分 以上的有62 人，都不及格的有4 人，则两门考试都得60 分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
答案为B选项
容斥原理
【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活 动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数 与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报 名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问 未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？ A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
100=x+y+z
120=x+2y+3z (120=50+40+30)
题干求的是 y+z，通过判断得出答案B选项
判断1：消z，得出方程180=2x+y，则x<=90，当x为90最 大值时，y=0，则100=x+y+z的等式中y+z为10；
判断2：消x，得方程20=y+2z，则y+z=20-z，求y+z最小值， 则要求z最大，根据20=y+2z，z最大为10；
x= 7
容斥原理——三集合图示标数型
【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27 人，其 中只能教英语的有8 人，只能教日语的有6 人，能教英、 日语的有5 人，能教法、日语的有3 人，能教英、法语的 有4人，三种都能教的有2 人，则只能教法语的有多少人 （） A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人
W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z；
根据题干条件：x=y+z=4z，求A+B+C
y=3z，x=4z，代入上式得出z=6，则x=24，y=18
答案为？
容斥原理——三集合整体重复型
【例10】（春季联考2013-42）有100 人参加运动会的三个 比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50 人， 未参加跳高的有60 人，未参加赛跑的有70 人。问至少有多 少人参加了不止一个项目？（ ）
数字运算——容斥原理
2015038
容斥原理
“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思 路来解答。
对于“两集合容斥原理”：
1. 如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目② 满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、 B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的 标准公式作答；
当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利 用图示配合，标数解答。
1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；
2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；
3. 标数时，注意由中间向外围标记。
容斥原理——三集合整体重复型
【例8】（陕西2013-78）五年级一班共有55 个学生，在暑 假期间都参加了特长培训班，35 人参加书法班，28 人参加 美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参 加的有6 人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22
55=x+y+6 94=x+2y+18 得出y=27，则x=22
容斥原理——三集合整体重复型
【例9】（北京2014-80）某旅行团共有48 名游客，都报名 参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点 的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个 景点A CB的人数的4 倍。则需要为这些游客购买多少张景点 门票？ A. 48 B. 72 C. 78 D. 84
核心公式：56+62-x=70-4
数学及格+语文及格-语文数学都及格=总数-不及格
X=52
容斥原理——两集合图示标数型
核心公式 涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只 满足某1 个条件”的数目，那么我们无法通过标准的两 集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁 的“文氏图”标1.5数得到1所求结1.5果。
280=60+170+150-22-60-35+x， x=17，C选项
容斥原理——三集合标准型
【例6】（2012 年421 联考－54）某公司招聘员工，按规 定每人至多可投考两个职位，结果共42 人报名，甲、乙、 丙三个职位报名人数分别是22 人、16 人、25 人，其中 同时报甲、乙职位的人数为8 人，同时报甲、丙职位的 人数为6 人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7 人 B. 8 人 C. 5 人 D. 6 人
AUB=A+B-AnB=总-外
2. 如果题目涉及“只满足条件A的数目”或者“只满足 条件B的数目”，那么标准公式无法解答，一般选用“两 集合图示标数”来完成答题。
容斥原理
对于“三集合容斥原理”： 1. 关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足条
件A、B的数目②满足条件B、C的数目③满足条件C、A的 数目，一般选用“三集合标准型”的标准公式作答； 2. 如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”，一般选用 “三集合图示标数”来作答；
51
2
六
日
ຫໍສະໝຸດ Baidu
总数为10个人，未报名人数为2，答案为2/5，C选项
容斥原理——三集合标准型
特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况， 也等于总数减去三个条件都不满足的情况。 【例5】（安徽2011-15）如图所示：A、B、C 分别是面
积为60、170、150 的三张不同形状的卡片，它们部分重 叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A 与 B、B 与C、C 与A 重叠部分的面积分别是22、60、35。问 阴影部分的面积是多少？（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 三集合容斥原理公式：
3. 如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个 条件的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字， 一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。
容斥原理两集合标准型
核心公式： 满足条件A的个数+满足条件B 的个数-两者都满足的个数 =总个数-两者都不满足的个数
【例1】（浙江2013-54）某班对50 名学生进行体检，有 20 人近视，12 人超重，4 人既近视又超重，该班有多少 人既不近视又不超重？( ) A. 22 人 B. 24 人 C. 26 人 D. 28 人
图字示入标 手数。A 的关键是：从最中间“两个B 条件都满足”的数
【例3】（北京2013-73）一批游客中每人都去了A、B 两 个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A 的游客数量 相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3 倍。则 只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ） A. 2/3 B. ¾ C. 4/5 D. 5/6
将题干数据带入到核心公式中：
20=124=50-x
答案为A选项
若问题之近视不超重，或只超重不近视的，则不可解
容斥原理
【例2】（天津2013-12）有70 名学生参加数学、语文考 试，数学考试得60 分以上的有56 人，语文考试得60 分 以上的有62 人，都不及格的有4 人，则两门考试都得60 分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
答案为B选项
容斥原理
【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活 动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数 与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报 名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问 未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？ A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
100=x+y+z
120=x+2y+3z (120=50+40+30)
题干求的是 y+z，通过判断得出答案B选项
判断1：消z，得出方程180=2x+y，则x<=90，当x为90最 大值时，y=0，则100=x+y+z的等式中y+z为10；
判断2：消x，得方程20=y+2z，则y+z=20-z，求y+z最小值， 则要求z最大，根据20=y+2z，z最大为10；