数字运算——容斥原理
容斥原理的基本应用
容斥原理的基本应用什么是容斥原理容斥原理，又称为容错原理、排容原理，是组合数学中一种常用的计数原理。
容斥原理用于解决计数问题，特别是解决两个或多个集合的并、交、差等计数问题。
它通过将复杂的集合拆分成简单的部分，并根据不同情况逐步计算得到最终的结果。
容斥原理有助于简化计数问题的解决过程，使得问题的求解更加简洁明了。
容斥原理的应用场景容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域有广泛的应用。
它可以解决一些复杂的计数问题，包括排列组合问题、概率计算问题、鸽巢原理问题等。
容斥原理在解决这些问题时，可以极大地简化计算的复杂度，提高解题效率。
以下是容斥原理的基本应用场景：1.列表中元素的多重选择问题2.集合的并、交、差运算问题3.满足多个条件的计数问题4.重复计算问题容斥原理的基本原理容斥原理的基本原理可以通过一个简单的示例来说明。
假设有A、B两个集合，记其元素个数分别为|A|和|B|。
那么A和B的并集的元素个数可以通过以下公式计算得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∩B|表示A和B集合的交集中的元素个数。
上述公式中的两次求并集都将交集的元素计算了两次，所以需要将交集的元素个数减去一次，以避免重复计算。
这就是容斥原理的基本思想。
容斥原理的基本应用举例列表中元素的多重选择问题假设有一个列表，其中有苹果、橙子、香蕉、草莓这四种水果。
现在需要从这个列表中选择1种、2种、3种甚至全部4种水果的可能性有多少种？根据容斥原理，我们可以通过以下步骤进行计算：1.计算只选择1种水果的情况，共有4种可能性。
2.计算只选择2种水果的情况，共有C(4,2) = 6种可能性。
3.计算只选择3种水果的情况，共有C(4,3) = 4种可能性。
4.计算选择全部4种水果的情况，共有1种可能性。
根据容斥原理，计算总的可能性的公式为：总可能性 = 只选择1种水果的数量 - 只选择2种水果的数量 + 只选择3种水果的数量 - 选择全部4种水果的数量带入上述计算结果，得到总可能性为4 - 6 + 4 - 1 = 1种。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。
它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。
在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。
下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。
1. 两个集合的容斥原理公式。
对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。
2. 三个集合的容斥原理公式。
对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。
在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。
3. n个集合的容斥原理公式。
对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。
在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。
4. 容斥原理的应用举例。
下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。
数字运算——容斥原理
20=124=50-x
答案为A选项
若问题之近视不超重，或只超重不近视的，则不可解
容斥原理
【例2】（天津2013-12）有70 名学生参加数学、语文考 试，数学考试得60 分以上的有56 人，语文考试得60 分 以上的有62 人，都不及格的有4 人，则两门考试都得60 分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
数字运算——容斥原理
2015038
容斥原理
“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思 路来解答。
对于“两集合容斥原理”：
1. 如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目② 满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、 B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的 标准公式作答；
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
100=x+y+z
120=x+2y+3z (120=50+40+30)
题干求的是 y+z，通过判断得出答案B选项
判断1：消z，得出方程180=2x+y，则x<=90，当x为90最 大值时，y=0，则100=x+y+z的等式中y+z为10；
判断2：消x，得方程20=y+2z，则y+z=20-z，求y+z最小值， 则要求z最大，根据20=y+2z，z最大为10；
答案为B选项
容斥原理
【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活 动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数 与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报 名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问 未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？ A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
初中数学重点梳理：容斥原理
容斥原理知识定位在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。
它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A个，属于集合B 的东西有B个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个，则有：B A =A +B -BA 。
知识梳理知识梳理1.容斥原理容斥原理可以用一个直观的图形来解释。
如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -BA 。
容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。
例题精讲【试题来源】【题目】在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？ 【答案】67【解析】根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
A BAB在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。
【答案】1633【解析】1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
容斥原理
容斥原理红孩儿专题前言本讲主要把参与计数的对象进行分类，一般的笔者把只表述一项或三项内容的对象称为奇数项，把表述两项内容的对象称为偶数项，容斥原理的数量关系是：计数总和=奇数项之和－偶数项之和。
判断奇数项、偶数项与总和的方法如下：比如：有30人参加数学兴趣小组，这30人表述的是一项（参加数学兴趣小组），它是奇数项，又比如：有12人既参加数学兴趣小组又参加语文兴趣小组，12人表述的是两项，它是偶数项。
当然像“三项都参加了的有4人”就属于奇数项。
而计数的总和专指最少参与了其中一项的数量。
比如“三项都不参加的有2人”就不属于计数总和，如果班上有48人，就要用48－2=46人当成总和。
解容斥原理的题目时，经常要借助画图加强理解。
例题精讲例1：某班同学45参加语、数考试，其中26人语文得优，32人数学得优，4人两科都没有得优。
问：有多少人两科都得了优？分析与解：题中“26人”和“32人”都属于奇数项，45－4=41人是计数总和，问题求的是偶数项（两科）。
根据数量关系可得：（26+32）－两科都得优的人数=41；两科都得优的人数是：58 －41=17。
解：（26+32）－（45－4）=17人。
答：有17人两科都得了优。
例2：某班有50人，其中有26人喜欢游泳，38人喜欢打乒乓球，问两项都喜欢的最少有多少人？分析与解：因为50人不一定都喜欢游泳和打乒乓球中的一项，所以不能把50当作计数总和。
解：设两项都喜欢的有人，两项都不喜欢的有y人。
（26+38）－ = 50 －y，解得：= 14+y ；要使最小，则y=0，这时=14。
答：两项都喜欢的最少有14人。
例3：1到300这300个自然数中，是2或5或3的倍数的数有多少个？分析与解：根据容斥原理的数量关系，可知在这300个自然数中2的倍数，3的倍数，5的倍数和2、3、5的公倍数是奇数项；2、3的公倍数，2、5的公倍数，3、5的公倍数是偶数项，问题求的是计数总和。
2的倍数有：[ ] =150个；3的倍数有：[ ] =100个；5的倍数有：[ ] =60个；2、3的公倍数有：[]=50个；2、5的公倍数有：[ ]=30个；3、5的公倍数有：[ ]=20个2、3、5的公倍数有：[ ]=10个。
第十二讲-容斥原理
第十二讲容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
容斥原理知识点
容斥原理知识点
容斥原理是一种计数方法，主要用于解决重叠问题。
其基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
例如，有3个集合A、B和C，它们的并集是{1,2,3,4,5}，而集合A是{1,2,3}、集合B是{3,4}、集合C是{4,5}。
虽然数字3在两个集合中出现，但在求并集时只计算一次；数字4在集合B和集合C中出现，但在求并集时也只计算一次。
这样，求出的并集既无遗漏又无重复。
以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学老师获取更准确的信息。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
容斥原理的三大公式
容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是概率论和组合数学中常用的一种技巧，用于解决计数问题。
它通过对各种情况的交集和并集进行适当的计算，避免了重复计数或漏计的问题。
容斥原理的三大公式是指在应用容斥原理时常用的三个公式：
1.二项式容斥原理：
对于给定的事件A和B，二项式容斥原理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示，两个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集概率。
2.三个事件的容斥原理：
对于给定的事件A、B和C，三个事件的容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式表示，三个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们的三个事件的交集概率。
3.n个事件的容斥原理：
对于给定的n个事件Ai（1≤i≤n），n个事件的容斥原理可以表示为：
P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)。
这个公式表示，n个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们三个事件的交集概率之和，依此类推，最后加上或减去n 个事件的交集概率。
这些容斥原理的公式可以帮助我们在计算概率或解决组合数学问题时进行正确的计数，避免了重复计数或漏计的错误。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式容斥原理在概率论和组合数学中被广泛应用，是一种用于计算交集的公式。
它的核心思想是通过减去所有可能的重叠部分来计算集合的总数，从而得到最终的结果。
容斥原理的正确应用能够避免重复计数，使问题的解决更加简洁和准确。
要理解容斥原理，首先需要了解集合的概念。
集合是由一些元素组成的整体，而容斥原理的目的就是计算多个集合的交集的元素个数。
假设有两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，那么根据容斥原理，A与B的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数再减去A与B的交集元素个数。
使用数学符号来表示，即|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
这个公式可以扩展到多个集合的情况。
假设有三个集合A、B和C，它们的交集表示为A∩B∩C，那么根据容斥原理，A、B和C的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数加上C的元素个数，再减去A与B的交集元素个数，减去A与C的交集元素个数，减去B与C的交集元素个数，最后再加上A、B和C的交集元素个数。
使用数学符号表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C|。
通过依次减去和加上各个集合的交集元素个数，我们可以计算任意多个集合的并集元素个数。
容斥原理的应用不仅限于计算集合的元素个数，还可以用于计算集合的概率。
假设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么根据容斥原理，A或B发生的概率等于A发生的概率加上B发生的概率减去A与B同时发生的概率。
使用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
同样地，容斥原理可以推广到多个事件的情况。
通过理解容斥原理，我们能够更加灵活地解决各种与集合有关的问题。
它可以帮助我们避免重复计数，减少工作量，提高计算的准确性。
在实际应用中，容斥原理被广泛运用于概率计算、组合数学、统计学等领域，并在解决集合问题中起到了重要的指导作用。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。
容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。
下面将详细介绍容斥原理及其应用。
一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。
二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。
可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。
具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。
2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。
加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。
3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。
三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
容斥原理集合公式card
容斥原理集合公式card在我们日常生活和工作中，数学原理的应用无处不在。
本文将介绍一个有趣的数学原理——容斥原理，以及与之相关的集合公式card。
通过实例演示与应用，帮助你更好地理解和运用这一原理，提升解决实际问题的能力。
一、容斥原理简介容斥原理，又称容斥公式，是一种计算两个或多个集合交集、并集、补集的方法。
它是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出的。
容斥原理的核心思想是：两个集合的并集减去交集，等于两个集合的并集的card（集合基数）。
用数学公式表示为：A ∪B = A + B - A ∩ B其中，A、B为两个集合。
二、容斥原理应用场景1.计算集合交集、并集、补集：通过容斥原理，我们可以方便地计算出多个集合的交集、并集、补集，无需一一求解。
2.计数问题：在计数问题时，容斥原理可以帮助我们快速求解。
例如，计算一个班级中男生和女生的总人数，已知男生人数为a，女生人数为b，班级总人数为c，我们可以用容斥原理求解：男生和女生的并集= 男生人数+ 女生人数- 男生与女生的交集3.组合问题：在组合问题中，容斥原理也有广泛应用。
例如，从n个人中选出m个人组成一个团队，不考虑顺序。
我们可以用容斥原理计算组合数：C(n, m) = ∑[C(n-1, k) * C(m, k)]（k从0到m）其中，C(n, k)表示从n个人中选出k个人的组合数。
三、集合公式card介绍card表示集合的基数，即集合中元素的个数。
在日常生活中，我们经常需要计算集合的card，以便了解集合的大小。
例如，有以下三个集合：A = {1, 2, 3}B = {2, 3, 4}C = {3, 4, 5}我们可以计算出这三个集合的card：card(A) = 3card(B) = 3card(C) = 3四、实例演示与应用1.计算两个集合的交集、并集、补集。
集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}根据容斥原理，我们可以计算出：A ∪B = A + B - A ∩ B = {1, 2, 3, 4}A ∩B = {2, 3}2.计算组合数。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。
容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。
下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。
假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。
我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。
首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。
根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。
容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。
下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。
例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。
首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。
根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法，常常用于解决包含排列组合的问题。
容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来求解包含多个集合的问题。
在实际问题中，容斥原理有着广泛的应用，特别是在概率统计、组合数学、计算机算法等领域。
首先，我们来了解一下容斥原理的基本概念。
假设有n个集合A1、A2、……、An，我们希望求解这些集合的并集的元素个数。
容斥原理告诉我们，这个并集的元素个数可以通过如下的公式来计算：|A1 ∪ A2 ∪……∪ An| = Σ|Ai| Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| …… + (-1)^(n-1) |A1 ∩ A2 ∩……∩ An|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，Σ表示求和运算。
公式右边的第一项是将所有集合的元素个数相加，第二项是将两两集合的交集的元素个数相减，第三项是将三个集合的交集的元素个数相加，以此类推。
最后一项是将所有集合的交集的元素个数相加，并且交替加减。
通过这个公式，我们可以清晰地看到容斥原理的核心思想，通过交替相加和相减集合的交集元素个数，来排除重复计数，最终得到并集的元素个数。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合包含了所有小于100的正整数中能被2、3或5整除的数，我们希望求解这个集合中元素的个数。
首先，我们分别求解能被2、3和5整除的数的个数，分别记为A2、A3和A5。
然后，我们求解能同时被2和3、2和5、3和5以及2、3和5整除的数的个数，分别记为A2∩3、A2∩5、A3∩5和A2∩3∩5。
最后，根据容斥原理的公式，我们可以得到集合中元素的个数：|A2 ∪ A3 ∪ A5| = |A2| + |A3| + |A5| |A2 ∩ A3| |A2 ∩ A5| |A3 ∩ A5| + |A2 ∩ A3 ∩ A5|。
通过具体的计算，我们可以得到最终的结果。
这个例子清晰地展现了容斥原理在实际问题中的应用，通过排除重复计数，我们可以准确地求解集合的并集元素个数。
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【例3】（北京2少一个。只去了A的游客和没去A 的游客数量 相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3 倍。则 只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ） A. 2/3 B. ¾ C. 4/5 D. 5/6
280=60+170+150-22-60-35+x， x=17，C选项
容斥原理——三集合标准型
【例6】（2012 年421 联考－54）某公司招聘员工，按规 定每人至多可投考两个职位，结果共42 人报名，甲、乙、 丙三个职位报名人数分别是22 人、16 人、25 人，其中 同时报甲、乙职位的人数为8 人，同时报甲、丙职位的 人数为6 人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7 人 B. 8 人 C. 5 人 D. 6 人
AUB=A+B-AnB=总-外
2. 如果题目涉及“只满足条件A的数目”或者“只满足 条件B的数目”，那么标准公式无法解答，一般选用“两 集合图示标数”来完成答题。
容斥原理
对于“三集合容斥原理”： 1. 关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足条
件A、B的数目②满足条件B、C的数目③满足条件C、A的 数目，一般选用“三集合标准型”的标准公式作答； 2. 如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”，一般选用 “三集合图示标数”来作答；
51
2
六
日
总数为10个人，未报名人数为2，答案为2/5，C选项
容斥原理——三集合标准型
特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况， 也等于总数减去三个条件都不满足的情况。 【例5】（安徽2011-15）如图所示：A、B、C 分别是面
积为60、170、150 的三张不同形状的卡片，它们部分重 叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A 与 B、B 与C、C 与A 重叠部分的面积分别是22、60、35。问 阴影部分的面积是多少？（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 三集合容斥原理公式：
42=22+16+25-8-6-x+0
x= 7
容斥原理——三集合图示标数型
【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27 人，其 中只能教英语的有8 人，只能教日语的有6 人，能教英、 日语的有5 人，能教法、日语的有3 人，能教英、法语的 有4人，三种都能教的有2 人，则只能教法语的有多少人 （） A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人
将题干数据带入到核心公式中：
20=124=50-x
答案为A选项
若问题之近视不超重，或只超重不近视的，则不可解
容斥原理
【例2】（天津2013-12）有70 名学生参加数学、语文考 试，数学考试得60 分以上的有56 人，语文考试得60 分 以上的有62 人，都不及格的有4 人，则两门考试都得60 分以上的有多少人？（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
核心公式：56+62-x=70-4
数学及格+语文及格-语文数学都及格=总数-不及格
X=52
容斥原理——两集合图示标数型
核心公式 涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只 满足某1 个条件”的数目，那么我们无法通过标准的两 集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用简洁 的“文氏图”标1.5数得到1所求结1.5果。
答案为B选项
容斥原理
【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活 动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数 与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报 名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问 未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？ A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
3. 如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个 条件的数目”，只给了我们一个总数而不是分项的数字， 一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。
容斥原理两集合标准型
核心公式： 满足条件A的个数+满足条件B 的个数-两者都满足的个数 =总个数-两者都不满足的个数
【例1】（浙江2013-54）某班对50 名学生进行体检，有 20 人近视，12 人超重，4 人既近视又超重，该班有多少 人既不近视又不超重？( ) A. 22 人 B. 24 人 C. 26 人 D. 28 人
55=x+y+6 94=x+2y+18 得出y=27，则x=22
容斥原理——三集合整体重复型
【例9】（北京2014-80）某旅行团共有48 名游客，都报名 参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点 的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个 景点A CB的人数的4 倍。则需要为这些游客购买多少张景点 门票？ A. 48 B. 72 C. 78 D. 84
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
100=x+y+z
120=x+2y+3z (120=50+40+30)
题干求的是 y+z，通过判断得出答案B选项
判断1：消z，得出方程180=2x+y，则x<=90，当x为90最 大值时，y=0，则100=x+y+z的等式中y+z为10；
判断2：消x，得方程20=y+2z，则y+z=20-z，求y+z最小值， 则要求z最大，根据20=y+2z，z最大为10；
数字运算——容斥原理
2015038
容斥原理
“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思 路来解答。
对于“两集合容斥原理”：
1. 如果题目涉及的是这样五个量①满足条件A的数目② 满足条件B的数目③同时满足条件A和B的数目④条件A、 B都不满足的数目⑤总数，那么选用“两集合标准型”的 标准公式作答；
当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利 用图示配合，标数解答。
1. 特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；
2. 特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；
3. 标数时，注意由中间向外围标记。
容斥原理——三集合整体重复型
【例8】（陕西2013-78）五年级一班共有55 个学生，在暑 假期间都参加了特长培训班，35 人参加书法班，28 人参加 美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参 加的有6 人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22
W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z；
根据题干条件：x=y+z=4z，求A+B+C
y=3z，x=4z，代入上式得出z=6，则x=24，y=18
答案为？
容斥原理——三集合整体重复型
【例10】（春季联考2013-42）有100 人参加运动会的三个 比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50 人， 未参加跳高的有60 人，未参加赛跑的有70 人。问至少有多 少人参加了不止一个项目？（ ）