2017上海高考数学试题(Word版含解析)

2017年上海市高考数学试卷
2017.6
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =
2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =
3. 不等式
1
1x x
->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足3
0z z
+
=，则||z = 6. 设双曲线
22
2
19x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =
7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为
8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1
()y f x -=，若31,0
()(),0
x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为
奇函数，则1()2f x -=的解为
9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x
=-；③ 3
y x =；④ 1
2y x =. 从中任选2个，则事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2
n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于
任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()
lg()
b b b b b b b b =
11. 设1a 、2a ∈R ，且1211
22sin 2sin(2)
αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点
P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点
分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50
234
x y x y +=⎧⎨
+=⎩的系数行列式D 为（ ）
A. 0543
B. 1024
C. 1523
D. 6054
14. 在数列{}n a 中，1
()2
n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞
（ ）
A. 等于12-
B. 等于0
C. 等于1
2
D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. 0a ≥
B. 0b ≤
C. 0c =
D. 20a b c -+=
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:
1364x y C +=和22
2:19
y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且
}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）
A. 2个
B. 4个
C. 8个
D. 无穷个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.
（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.
18. 已知函数221
()cos sin 2
f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.
19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），
其中4
515,13
10470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩
，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于
上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.
（1）若P 在第一象限，且||OP =
P 的坐标；
（2）设83(,)55
P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.
21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有
12()()f x f x ≤.
（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；
（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；
（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.
2017年上海市高考数学试卷
2017.6
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =
【解析】{3,4}A
B =
2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =
3. 不等式
1
1x x ->的解集为 【解析】11
1100x x x
->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞
4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393
r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足3
0z z
+
=，则||z =
【解析】2
3||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22
2
19x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =
【解析】226||11a PF =⇒=
7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-
8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1
()y f x -=，若31,0
()(),0
x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为
奇函数，则1()2f x -=的解为
【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-
9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x
=-；③ 3
y x =；④ 1
2y x =. 从中任选2个，则事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为
24213
C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2
n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于
任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则
149161234lg()
lg()
b b b b b b b b =
【解析】222149161491612341234lg()
()2lg()
n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=
11. 设1a 、2a ∈R ，且1211
22sin 2sin(2)
αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于
【解析】
111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴1211
12sin 2sin(2)
αα==++，
即12sin sin(2)1αα==-，∴122
k π
απ=-
+，24
k π
απ=-
+，12min |10|4
π
παα--=
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点
P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点
分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩
的系数行列式D 为（ ）
A.
0543 B. 1024 C. 1523 D. 60
54
【解析】C
14. 在数列{}n a 中，1
()2
n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞
（ ）
A. 等于12-
B. 等于0
C. 等于1
2
D. 不存在 【解析】B
15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2
n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，
使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. 0a ≥
B. 0b ≤
C. 0c =
D. 20a b c -+= 【解析】A
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:
1364x y C +=和22
2:19
y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且
}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）
A. 2个
B. 4个
C. 8个
D. 无穷个 【解析】D
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.
（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=
（2）tan
θ=
= 18. 已知函数221
()cos sin 2
f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.
【解析】（1）1()cos22f x x =+
，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2
ππ （2）1cos223
A A π
=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-=
=⇒=⋅⋅或3c =，
根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），
其中4
515,13
10470,4
n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量2
4(46)8800n S n =--+（单位：辆）.
设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大
12341234(42050)38(647)42
()()[965]8782
22
a a a a
b b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+
-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于
上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.
（1）若P 在第一象限，且||OP =
P 的坐标；
（2）设83(,)55
P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.
【解析】（1）联立2
2:14
x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833
(,1)(,)055555
MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =
8283864629
(,)(,)0555********
PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=
（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03
(,0)8
M x ，∵4PQ PM =，
∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴0
0133(,
)4
2
y C x --，代入并联立椭圆方程，
解得09x =，019y =-，∴1
()3
Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =
+
21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有
12()()f x f x ≤.
（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；
（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；
（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。