新人教B版必修2高中数学课堂设计1.2.3空间中的垂直关系(1)直线与平面垂直学案

1.2.3 空间中的垂直关系(1)——直线与平面垂直

自主学习

学习目标

1．掌握直线与平面垂直的定义．

2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题．

自学导引

1．如果直线l与平面α内的________________________，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作________，直线l叫做____________________，平面α叫做________________，它们的唯一公共点叫做________．垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离．

2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条________直线垂直，则这条直线与这个平面________．

3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么________________________．

4．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________．

5．垂直于同一条直线的两个平面________．

对点讲练

知识点一线面垂直的判定

例1如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.

点评(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．

(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直

于平面内的所有直线，是直线垂直平面的必要条件．作为直线与平面垂直的判定并不实用．

变式训练1

如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD.

知识点二证明线线垂直

例2

如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在

的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.

求证：AE⊥SB，AG⊥SD.

点评本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．

变式训练2

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B

的中点．

求证：CF⊥AE.

知识点三直线与平面垂直的性质定理的应用

例3

已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.

求证：AB∥c.

点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．

变式训练3

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1.

1．直线与平面垂直的判定方法：(1)定义，(2)判定定理．由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性．判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直．(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平

面．这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法．证明时常用的转化

关系：线线垂直判定定理

定义线面垂直．

2．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.

课时作业

一、选择题

1．下列命题中正确的个数是( )

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )

A．垂直且相交B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交D．不垂直也不相交

3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成

一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48 4．如果直线l 与平面α不垂直，那么在平面α内( ) A ．不存在与l 垂直的直线 B ．存在一条与l 垂直的直线 C ．存在无数条与l 垂直的直线 D ．任意一条直线都与l 垂直

5．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )

① ⎭

⎪⎬⎪

⎫m∥n m⊥αα； ②

⎭

⎪⎬⎪

⎫m⊥αn⊥α； ③

⎭

⎪⎬

⎪

⎫m⊥αn∥α ④

⎭

⎪⎬

⎪

⎫m∥αm⊥n α.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题

6．点P 为△ABC 所在面外一点，若PA ＝PB ＝PC ，且PO⊥面ABC ，则O 为△ABC 的________心．

7．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，点P 与AB 、AC 、BC 的距离相等，且点P 在△ABC 上的射影O 在△ABC 内，则O 一定是△ABC 的________心．