空间曲面与空间曲线资料

S
y
N(x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方程等价于：
x R sin cos
y
R
si n
si n
z R cos
0 2
0
x
z
N M（x,y,z）
R
y
Qθ
P
为球心在原点、半径为R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程
x x(u, v) 可表示为： y y(u, v)
z z(u, v)
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的 母线.
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
曲面的参数方程：
当球心在原点O(0, 0, 0)时,球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
例 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以角
速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴 的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点 M
构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
x
y
那么, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的一般方程, 而 曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
例如：2x+3y 4z19=0. ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹．
例：求三维空间中球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球 面的方程.
z
解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即
x
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
练习：曲线C是一圆心在(0, 0,1)、半径为1的圆，圆C所在 的平面与z轴垂直，求它的一般方程和参数方程。
z
O
y
x2 y2 z2 2
x
z 1
参考P27，例2
空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足
o
y
x2 y2 z2 1
例
方程
1
表示什么样的曲线？
z 2
旋转面的方程
曲线
C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
y1 x2 y2
P M
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
.
x
旋转面的方程
曲线
C
f ( y, z) 0
4、直线的两点式方程
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
5、两直线的夹角 （两直线的夹角公式）
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
6、直线与平面的夹角 （直线与平面的夹角公式）
sin
•
x A M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
z
O
y
x
例 方程
x 1
y
1
表示什么样的曲线？
解 交线如图:
z
1
o
1
y
x
z a2 x2 y2
例
方程组
(
x
a 2
)2
y2
a2 表示怎样的曲线？ 4
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2
称此方程为球面的标准方程.
x
M
R M0
y
特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
z a2 x2 y2 上半球面
练习: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面?
6.6 空间曲面与空间曲线
空间直线的方程
1、空间直线的一般方程
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
2、空间直线的对称式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
x
z 1
2
L
o
y
z
sL
M
M0
o
y
3、直线的参数方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
定义: 若空间中的曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如
下关系: (1) S上任一点的坐标满
z F (x, y, z) = 0
足方程F (x, y, z) =0;
S
(2) 不在S上点的坐标都不
o
满足方程F (x, y, z) =0;
o
y
x
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
三、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
旋转面的方程
曲线
C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
C
o
y
旋转面的方程
曲线
C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
.
C
o
y
x