《菱形的性质与判定》典型例题(优选.)

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《菱形的性质与判定》典型例题

例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且a

⊥,，求：

DE=

AB

AB

（1）ABC

∠的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2已知：如图，在菱形ABCD中，AB

CE⊥于AD

E⊥

,于F．

CF

求证：.

AE=

AF

例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，

=

∠18

D，︒

BAE，求CEF

∠的度数.

∠

︒

=

=

EAF

∠60

例 4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD=．

DF

求证：GH垂直平分CF．

例5 如图，ABCD中，AB

AD2=，E、F在直线CD上，且=．

DE=

CF

CD

求证：AF

BE⊥．

例6 如图，在Rt△ABC中， 90

∠ACB，E为AB的中点，四边形

=

BCDE是平行四边形．

求证：AC与DE互相垂直平分

参考答案

例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2

1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =

E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =

∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．

∴.120260︒=⨯︒=∠ABC

（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2

12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2

3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2

3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．

例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不

难证明DCF

≅

∆，从而可以证得本题的结论．

BCE∆

证明∵四边形ABCD是菱形，∴D

∠

=

=,，且

BC∠

CD

B

BEC，∴DCF

BCE∆

≅

DFC

∆，∴DF

︒

=

∠

=

∠90

BE=，

AD

，

AB=

∴DF

=

-，

AB-

AD

BE

∴.

AF

AE=

例3 解答：连结AC.

∵四边形ABCD为菱形，

∴︒

CD

BC

=

=.

AB=

D

B，AD

=

∠

∠60

=

∴ABC

∆为等边三角形.

∆与CDA

∴︒

,BAC

ACD

AC

=60

B

AB

∠

∠

=

=

∠

=

∵︒

EAF，

=

∠60

∴CAF

∠

=

BAE∠

∴ACF

∆

ABE∆

≅

AE=

∴AF

∵︒

EAF，

∠60

=

∴EAF

∆为等边三角形.

∴︒=∠60AEF

∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，

∴CEF ∠+︒=︒+︒601860

∴︒=∠18CEF

说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆

例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．

证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形

∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =

∴四边形BGDH 是平行四边形

∵DF AD =，∴BC DF =

在△DFH 和△BCH 中

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH

∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =

∵四边形BGDH 是平行四边形

∴四边形BGDH 是菱形