数值分析第二章学习小结

第2章线性方程组的解法

--------学习小结

一、本章学习体会

本章主要学习的是线性方程组的解法。而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。

高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。

直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y 两个方程，以求X得解向量。这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。

迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。

二、本章知识梳理

针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。

我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。

Gauss消去法

Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。

顺序Gauss消去法

消元过程：对于K=1,2,3…,n-1执行

(1)如果,则算法失效，停止计算；否则转（2）

(2)对于计算

回代过程：

综上：顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的。

列主元Gauss消去法

1.消元过程

对于K=1,2,3…,n-1执行

（1）选行号，使得

（2）交换与以及与所含的数值。

（3）对于计算

回代过程：

经验证，列主元Gauss消元法有很好的数值稳定性。

直接三角分解法

三角分解法的思想：系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。

杜利特尔)分解

L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵

定理：矩阵A=有唯一的能进行Doolittle(杜利特尔)分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0

（1）A的Doolitte分解的计算公式

对于k=1,2,…,n计算

解的计算公式：

（2）选主元的Doolitte分解法：

定理：若矩阵A非奇异，则存在置换矩阵Q，使得QA可做Doolitte分解，QA=LU，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。

只有矩阵A非奇异，则通过对A 做适当的行变换就可以进行Doolitte分解，而不必要求A的前n-1个顺序主子式不为0.

进行选主元的Doolitte分解法具体算法如下：

1）做分解QA=LU

对于K=1,2，…，n 执行

2）计算中间量

选行号i k,使得

,令M k=i l

若i k=k,则转下一步，否则交换与(t=1,2,…k-1)、与(t=k,k+1,…n)以及与所含的数值，转下一步

计算

3）求Qb

对于K=1,2，…，n-1 执行

t=M k

交换b k与b t所含的数值

4）求解Ly=Qb和Ux=y

克劳特)分解

L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵

推论：矩阵A=有唯一的能进行Crout(克劳特)分解

分解的充分必要条件是：A的前n-1个顺序主子式不等于0

A的Crout(克劳特)分解的计算公式

对于k=1,2,…n计算

解的计算公式：

三角分解法解带状线性方程组

定理：（1）A=是上半带宽为s，下半带宽为r的带状矩阵

（2）A的前n-1个顺序主子式均不为零

则A有唯一的Doolitte分解A=LU，其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵，U是上半带宽为s的上三角矩阵。

（1）作分解A=LU

对于k=1,2,…,n计算

（2）求解Ly=b,Ux=y

迭代法

迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。 迭代法的一般形式及其收敛性 （1）一般形式： ,2,1,0,)()

1(=+=+k d X G X

k k

G 为迭代矩阵

（2）向量顺序的收敛：（1）按坐标收敛；（2）按范数收敛。 （3）矩阵序列的收敛 （4）迭代公式的收敛性

1.向量序列的收敛（极限） （1）定义：设向量 ,2,1,0,),,,()()(2)(1)

(==k x x x X

T k n k k k 若n

i x x i k i

k ,,2,1,lim *

)

( ==∞

→（按坐标收敛），则称序列{})

(k X

收敛于X *

，记为*)

(lim X X

k k =∞

→.

⇔=∞

→*)(lim X X k k *

)

(lim i k i

k x x =∞

→⇔0lim *)(=-∞

→X X k k

（2）向量序列收敛的充要条件

*)(lim X X k k =∞

→0lim *)(=-⇔∞

→X X k k

（3）矩阵序列的极限

,n m k C A ⨯∈],[)(k ij k a A =若,,,2,1,,,2,1,lim )

(n j m i a a ij k ij

k ===∞

→则称][ij a A =为矩阵

序列}{k A 的极限，记作：A A k k =∞

→lim

迭代收敛的条件 （1）谱半径

（2）迭代收敛的充要条件 （3）迭代收敛的充分条件