第15章《轴对称图形和等腰三角形》期末总复习资料.doc
第15章轴对称与等腰三角形期末复习PPT课件(沪科版)
线段垂直平分线与角平分线
复习要点 1.线段的垂直平分线的定义 经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫
做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线. 2.线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等. 3.线段垂直平分线的判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上.
G分别在AB、AC上，且EH=FG，连接PH，PG.
求证：PH=PG.
GC
要证：PH=PG △PHE≌△PGF
F P
PE=PF
A
E HB
PE⊥AB，FF⊥AC 点P是∠BAC平分线上一点
例2.如图，点P是∠BAC平分线上一点，
PE⊥AB，FF⊥AC，垂足分别为点E，F．点H，
G分别在AB、AC上，且EH=FG，连接PH，PG.
若∠ AOB=30°，DC=5cm，则OE= 10 cm .
B C
D
O
E
A
9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线
与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则
∠B的度数为 65°或25°． ∠AED＝40°
A
∠EAB＝50°
50° D
40° E
E ∠B＝25° A
B
C
∠B＝65°
B
C
D
10.如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
D
E
C D
C
B
A
A
B
F
F
6.如图，在△ABC中， ∠A=33°， ∠C=68°，
AB的垂直平分线DE交AC于点E， 则∠1= 35°.
A
第15章《轴对称图形和等腰三角形》期末总复习资料
第15章《轴对称图形和等腰三角形》期末总复习资料本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。
3、对称轴都是直线4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。
二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。
就能得到线段相等。
4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点P（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点P（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等的重要依据。
性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。
（二）等腰三角形判定：、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。
七、角的平分线、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。
第15章《轴对称图形和等腰三角形》期末总复习资料
第15章《轴对称图形和等腰三角形》期末总复习资料轴对称图形在平面几何中，轴对称图形是指镜像对称的图形，在平面上围绕轴旋转180度后，图形和原来的图形完全重合，如镜面所反射出的影像。
轴对称图形的特点有： - 对称轴：轴对称图形有一个或多个对称轴，对称轴是图形中把图形分为两个相等部分的轴线。
- 对称点：轴对称图形上的每个点都有一个相应的对称点，对称点是图形中与原点相对应的点。
常见的轴对称图形有：正方形、长方形、圆形等。
等腰三角形在三角形中，如果三条边中有两边的边长相等，则该三角形为等腰三角形。
等腰三角形的特点有： - 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（底边上的两个角）相等。
- 底边中点：等腰三角形的底边中点是对称轴上的一个点。
等腰三角形的性质有： - 等腰三角形的顶角（等腰线所对的角）是一个锐角或钝角。
- 等腰三角形的高（从顶角到底边的垂线段）是底边的中点。
- 等腰直角三角形的两直角边相等。
练习题1.画出以下图形的对称轴，并标出对称点：–正方形–长方形–五边形2.判断以下说法的正误，并在错的地方改正：–等腰三角形有两个对称点。
–等腰三角形的底边是对称轴上的一个点。
–等腿三角形的两个底角相等。
3.说明以下命题是否正确，如果不正确，给出正确的命题：–等腰三角形的顶角一定是锐角。
–等腰三角形的高是底边的中点。
解答1.对称轴和对称点如下所示：–正方形：对称轴有4条，分别是通过正方形中心和正方形的对角线上的两条线。
对称点是对称轴上的点。
–长方形：对称轴有2条，分别是通过长方形中心的两条线。
对称点是对称轴上的点。
–五边形：对称轴有5条，分别是通过五边形中心和五边形的对角线上的3条线。
对称点是对称轴上的点。
2.改正以下说法：–等腰三角形有一个对称点。
–等腰三角形的底边是对称轴上的一条线段。
–等腿三角形的两个底角是相等的。
3.正确的命题如下：–等腰三角形的顶角可以是锐角或钝角。
–等腰三角形的高是底边的中点。
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选一．选择题（共35小题）1．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°2．（2019秋•义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（）A．a22020B．a22019C．4040a D．4038a3．（2019秋•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2018秋•义安区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是14cm，则BC的长是（）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm5．（2018秋•宣城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．（2018秋•怀宁县期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A ．80°B ．90°C ．110°D ．120°7．（2018秋•瑶海区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．BC ＝BEB ．EC ＝BE C ．BC ＝ECD ．AE ＝EC8．（2018秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（ ）A ．6和8B ．7和7C ．6和8或7和7D ．3和119．（2018秋•宣城期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，下列结论中不正确的是（ ）A ．D 是BC 中点B ．AD 平分∠BACC ．AB ＝2BD D ．∠B ＝∠C10．（2018秋•庐江县期末）如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）A ．四处B ．三处C ．两处D ．一处11．（2019秋•宿松县校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE +OF 的值为（ ）A ．5B ．7.5C ．9D ．1012．（2019秋•宿松县校级期末）已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程a −32+a 8=1的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．7或813．（2019秋•宿松县校级期末）如图所示的平面直角坐标系中，点A 坐标为（4，2），点B 坐标为（1，﹣3），在y 轴上有一点P 使P A +PB 的值最小，则点P 坐标为（ ）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）14．（2020春•当涂县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足√a−6+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（）A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．以c为底边的等腰三角形15．（2020春•蜀山区期末）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（）A．c=√3b B．c＝2a C．b2＝3a2D．a2+b2＝c216．（2020春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°17．（2019秋•石台县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1218．（2019秋•当涂县期末）已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为8，则其它两边的长度分别是（）A．3和11 B．7和7C．6和8或7和7 D．3和11或7和719．（2019秋•宣城期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.520．（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm21．（2019秋•濉溪县期末）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．322．（2019秋•无为县期末）长方形按如图所示折叠，点D折叠到点D′的位置，已知∠D′FC＝60°，则∠EFD等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°23．（2019秋•潜山市期末）一个等腰三角形的周长为8，且三条边长均为整数，则腰长为（）A．5 B．4 C．3 D．224．（2019秋•瑶海区期末）如图，在△ABC中，点D、E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD 翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：①∠BAC＝90°，②DE＝EF，③∠B＝2∠C，④AB＝EC，正确的有（）A．①②③④B．③④C．①②④D．①②③25．（2019秋•瑶海区期末）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2019秋•瑶海区期末）如图所示的钢架中，∠A＝18°，P1A＝P1P2，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．∠P5P4B的度数是（）A．80°B．85°C．90°D．100°27．（2019秋•瑶海区期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm28．（2019秋•无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（）个．A．5 B．6 C．7 D．829．（2019秋•义安区期末）若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A．16 B．23 C．16或23 D．1330．（2019秋•芜湖期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．431．（2019秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°32．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN 的周长是7cm，则BC的长为（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm33．（2019秋•蜀山区期末）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm34．（2019秋•长丰县期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处35．（2018秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（）A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能确定2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．【解答】解：∠A ＝180°﹣130°＝50°．当AB ＝AC 时，∠B ＝∠C =12（180°﹣50°）＝65°；当BC ＝BA 时，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA ＝CB 时，∠A ＝∠B ＝50°．∠B 的度数为50°或65°或80°，故选：D ．2．【解答】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O =12α，同理∠A 3B 3O =12∠A 2B 2O =122α， ∠A 4B 4O =123α， ∴∠A n B n O =12a −1α， ∴∠A 2020B 2020O =a 22019， 故选：B ．3．【解答】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M 作MN ′⊥BC 于N ′，∵BD 平分∠ABC ，M ′E ⊥AB 于点E ，M ′N ′⊥BC 于N∴M ′N ′＝M ′E ，∴CE ＝CM ′+M ′E∴当点M 与M ′重合，点N 与N ′重合时，CM +MN 的最小值．∵三角形ABC 的面积为8，AB ＝4，∴12×4•CE ＝8，∴CE ＝4．即CM +MN 的最小值为4．故选：B ．4．【解答】解：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，∴AD ＝BD ，∵AB ＝AC ＝8cm ，△DBC 的周长是14cm ，∴BC +CD +BD ＝BC +CD +AD ＝BC +AC ＝14cm ，∴BC ＝6cm ．故选：B ．5．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝40°，∠ADC ＝90°，又∵AD ＝AE ，∴∠ADE =12（180°﹣∠CAD ）＝70°，∴∠CDE ＝90°﹣70°＝20°，故选：B ．6．【解答】解：如图，作出P 点关于OM 、ON 的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2交OM ，ON 于A 、B 两点，此时△P AB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1P A+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：A．8．【解答】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．9．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB＝2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．10．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．11．【解答】解：连接AO，如图，∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC=12AB•OE+12AC•OF＝15，∴12AB （OE +OF ）＝15，∴OE +OF ＝5．故选：A ． 12．【解答】解：a −32+a8=1，4（x ﹣3）+x ＝8，4x ﹣12+x ＝8，4x +x ＝8+12，5x ＝20，x ＝4，当等腰三角形的腰为4，底边为3时，这个三角形的周长＝4+4+3＝11，当等腰三角形的腰为3，底边为4时，这个三角形的周长＝4+3+3＝10．所以这个三角形的周长是10或11．故选：C ．13．【解答】解：如图所示：作B 点关于y 轴对称点B ′点，连接AB ′，交y 轴于点P ，则此时AP +PB ＝AP +PB ′＝AB ′的值最小，∵点B 坐标为（1，﹣3），∴B ′（﹣1，﹣3），∴B ′C ＝AC ＝5，∴∠AB ′C ＝45°，∴PD ＝B ′D ＝1，∵OD ＝|﹣3|＝3，∴OP ＝2，∴P （0，﹣2），故选：D ．14．【解答】解：由题意得，a ﹣6＝0，b ﹣8＝0，c ﹣10＝0，解得a ＝6，b ＝8，c ＝10，∵62+82＝100＝102，∴a 2+b 2＝c 2，∴∠ACB ＝90°，故选：C ．15．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∵BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， ∴a 2+b 2＝c 2，c ＝2a ，a a =tan60°=√3，a a =sin60°=√32， ∴b =√3a ，c =2√33b故B、C、D均正确，A错误．故选：A．16．【解答】解：∵△PDC为等边三角形；∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，∵AB＝BC＝CD，∴AB＝CP，∵∠BCD＝80°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，∵∠ABC＝160°，∴∠ABC+∠BCP＝180°，∴PC∥AB，∵AB＝CP，∴四边形ABCP为平行四边形，∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，∴∠PDA＝∠P AD=180°−aaaa2=20°，∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，故选：C．17．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8．故选：B．18．【解答】解：当腰为8时，另一腰也为8，则底为22﹣2×8＝6，∵6+8＝14＞8，∴三边能构成三角形．当底为8时，腰为（22﹣8）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．19．【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为12×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．20．【解答】解：∵当腰是4cm时，则另两边是4cm，6cm；当底边是4cm时，另两边长是5cm，5cm．∴该等腰三角形的腰长为4cm或5cm．故选：C．21．【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC=13×12＝4，故选：C．22．【解答】解：根据翻折不变性得∠EFD＝∠EFD′，∵∠D′FC＝60°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，∴2∠EFD＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝60°．故选：D．23．【解答】解：设腰长为x，则底边为8﹣2x．∵8﹣2x﹣x＜x＜8﹣2x+x，∴2＜x＜4，∵三边长均为整数，∴x可取的值为：3．故选：C．24．【解答】解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，∴AB＝EC，∴④正确；∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，∴∠B＝2∠C，故③正确；故选：B．25．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．26．【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠A＝18°，∴∠P3P5P4＝72°，∴∠P5P4B＝90°．故选：C．27．【解答】解：∵DE垂直平分边AC，AE＝4cm，∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC，∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC＝8cm．故选：D．28．【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：C．29．【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是3和10，∴应分为两种情况：①3为底，10为腰，则3+10+10＝23；②10为底，3腰，而3+3＜10，应舍去，∴三角形的周长是23．故选：B．30．【解答】解：过P点作PF⊥OD，∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠POE＝75°，∵DP∥OA，∴∠DPO＝∠POE＝75°，∴∠DOP＝∠DPO﹣75°，∴DP＝OD＝4，∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵PF⊥OD，∴∠PFD＝90°，∴PF=12DP＝2，∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，∴PE＝PF＝2，故选：A．31．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED=180°−aaaa2=75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故选：D．32．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故选：C．33．【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17cm；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm．故选：B．34．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．35．【解答】解：AD＝CE，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠DFE＝120°，∴∠EFC＝60°，∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，∴∠BDC＝∠AEB，∴∠ADE＝∠BEC，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE．故选：C．。
第15章轴对称图形与等腰三角形复习PPT课件
E D
B
C
7、如图，P、Q是△ABC边上的两点， BP=PQ=QC=AP=AQ，
求∠BAC的度数。A
B
P
Q
C
8、 如图, ∠ABC、∠ACB的平分线相 交于F,过F作DE//BC交AB于D,交AC于E, 若AB=9cm, AC=8cm,则△ADE的周长是 多少?
A
D FE
B
C
9、某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如 图）。现在要从煤气主管道的一个地方建立一 个接口，同时向这两个小区供气.请问,这个接
. 口应建在哪，才能使得所用管道最短? B 小区 . A小区
煤气主管
）
道）
A
B
C
D
15.4角平分线的性质与判定: 1、性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、判定定理： 到角两边距离相等的点在角的平分线上。
1、如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线交 AC于P,一个同学马上就得到PA=PC,你觉 得对吗?
A
E
P
B
FC
2、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
A DC
2、“有一个等腰三角形的两条边长 分别是4cm和8cm，则周长为 20cm
3、若等腰三角形的一个角为400， 则另外两个角的度数为 700,700 或 400，1000
4、已知，如图: AB=AC AD=DC=BC 则∠A= 360
A
D
B
C
5、已知，如图AB=AB=CD AD=BD 则∠BAC= 1080
• 这条直线叫做对称轴。
知识回顾： 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
第15章轴对称与等腰三角形期末复习PPT课件(沪科版)(1)
(1)请在图中画出轴x、y轴， 并标出原点O.
(2)画出△ABC关于直线 m 对称的△A1B1C1.
(3)若点P(a，b)在△ABC内，
C A
B
m y C1
A1
B1
O
x
其关于直线m的对称点为P1，
则点P1的坐标是 (－a－4，b.)
A．
B．
C． D．
2.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( C ) .
A．
B．
C．
D．
3. 下列图形中是轴对称图形的是( D ).
①
②
③
④
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
4.下列“制止行人通行，注意危险，制止非机动车通行，
限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是( B ).
A.
B.
C.
D.
(2)画出△ABC关于 y轴对称的△A2B2C2 ，并写出
△A2B2C2三个顶点的坐标.
y
解：(2)
A2
A
A2(－2，4)，
4
A1
B2(－1，1) C2(－3，0)
C2－3
B2 B O－ B12
3 Cx C1
20.如图，在正方形网格中，△ABC是格点三角形，
点B的坐标为(－5，1)，点C的坐标为(－4，5).
4.如果把两个成轴对称的图形看作一个整体，那么 它就是一个轴对称图形.
4.已知点关于x 轴或 y 轴的对称点的规律
关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标为(_x__，_－__y_)； 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标为( －___x ，_y__)．
《轴对称图形与等腰三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《轴对称图形与等腰三角形》全章复习与巩固（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3. 了解垂直平分线、角平分线的概念，掌握其性质定理及应用.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】1.轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：要点诠释：①轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.3.轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.3. 对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、线段垂直平分线、角平分线的性质定理1线段的垂直平分线性质定理定理1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等定理2：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上2.角平分线的性质定理定理1 角平分线上的点到角两边的距离相等定理2 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？图1【答案与解析】该算式的情况是：120＋85＝205【总结升华】从镜子里看物体——左右相反举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.【答案】B ；提示：从水中看物体——上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B•是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．【答案与解析】解：作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，则点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置，A•球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP 转化成了线段GP ，通过找A 点的对称点，从而确定点P 的位置. 举一反三：【变式】已知∠MON 内有一点P ，P 关于OM ，ON 的对称点分别是1P 和2P ，12P P 分别交OM,ON 与点A 、B ，已知12P P ＝15，则△PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24【答案】A ；提示：根据轴对称的性质，11,PA P A PB PB ==，△PAB 的周长等于12P P .类型二、等腰三角形的性质与判定3、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD＝∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．【答案与解析】解：△AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD与△BCE中，∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，∴△BAD≌△BCE，∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形．【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．举一反三：【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．【变式2】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对【答案】C；提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．类型三、等边三角形的性质与判定【高清课堂：389303 等边三角形：例4】4、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD ＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠DCA＝12×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．类型四、含有30°角的直角三角形5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，求AB的长．【思路点拨】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC 的数量关系．【答案与解析】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形．含30°的直角三角形中，斜边等于30°角的对边的2倍.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=30°，求△ABC的面积．【答案】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，∵∠A=30°，∴BD=12×AB=12×8=4，∴△ABC的面积是1 2×AC×BD=12×8×4=16（cm2）.答：△ABC的面积是16cm2．类型五、线段垂直平分线性质定理及应用6、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三：【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）Ａ．ED=CDＢ．∠DAC=∠BＣ．∠C＞2∠BＤ．∠B+∠ADE=90°【答案】Ｄ；类型六、角平分线性质定理及应用7、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．【思路点拨】作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，∴OD=OE=OF．【答案与解析】证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，∵BM为△ABC的角平分线，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．同理可证：OF=OE．∴OD=OE=OF．即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．正确作出辅助线是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．③②D．③④【答案】Ｃ；。
沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习与提升(习题课件)
八年级 数学 上册 沪科版
(1)解：∠ABE＝∠ACD. AB＝AC，
理由：在△ABE 和△ACD 中，∵∠A＝∠A， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE＝∠ACD.
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八年级 数学 上册 沪科版
(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，又∵AB＝AC， ∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
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八年级 数学 上册 沪科版
考点 4：含 30 度角的直角三角形 15．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m， 为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使 斜面与水平地面的夹角不大于 30°，则这块木板的长度至少为 ( A ) A．3 m B．2.5 m C．2.6 m D．0.75 m
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证明：连接 AP， 在△CAP 与△BAP 中，
CA＝BA，
∴AP＝AP， CP＝BP，
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP＝∠BAP， 又∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE＝PD.
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考点 3：等腰(边)三角形的性质与判定 11．(瑞安期中)在△ABC 中，若∠A＝15°，∠B＝150°，则△ABC 是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
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14．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE，CD，交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.
沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料
一对一辅导教案教学过程知识点一：轴对称（一）轴对称图形和轴对称1、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相巫合，这个图形就叫做轴对 称图形，这条点线就是它的对称轴。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
例 如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴.其它如等边三角形、矩 形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形.如图1.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形觅合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也町以说这两 个图形关于这条直线成轴对称。
如上右图。
（2）成轴对称的两个图形的性质：① 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；② 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴足任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③ 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.学生姓名 性别 年级初二学科数学授课教师上课时间年 月曰寒假一对一课程 课时：课时教学课题轴对称知识点的回顾巩固复习 1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。
教学目标2、 掌握轴对称的性质和判定，以及运用。
3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。
教学重点与难点熟练学:握轴对称的相关性质运用和技巧3、轴对称图形与轴对称的区别和联系（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指只有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。
（2）联系：如果把•个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.（二）线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这*线段两个端点的距离相等。
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第15章《轴对称图形和等腰三角形》期末总复习资料本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。
3、对称轴都是直线4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。
二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。
就能得到线段相等。
4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等的重要依据。
性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。
（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。
七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。
4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。
就能得到线段相等。
本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。
3、对称轴都是直线4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。
二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。
就能得到线段相等。
4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等的重要依据。
性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。
（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。
七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。
4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。
就能得到线段相等。
本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。
3、对称轴都是直线4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。
二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。
就能得到线段相等。
4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等的重要依据。
性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。
（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。
七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。
4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。
就能得到线段相等。
本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。
3、对称轴都是直线4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。
二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。
就能得到线段相等。
4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等的重要依据。
性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。
（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。
七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。
4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。
就能得到线段相等。
本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。
3、对称轴都是直线4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。
二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。
就能得到线段相等。
4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等的重要依据。
性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。
（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。
七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。
4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。
就能得到线段相等。
本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。