比例的性质

比例的性质
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比例的性质
或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢我想没有。

来吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。

什么是比
比：两个数相除又叫做两个数的比
比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。

比只有两个项：比的前项和后项。

比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。

知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质
一、合比性质
1、合比性质的用途
合比性质是数学计算中常用的性质之一，属于中的三大性质之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。

主要运用于等计算。

2、合比性质的表达
文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。

字母：已知，且有
，如果，则有。

3、推导过程
4、典型例题
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF
分析：
欲证：DC·DF=BD·CF
即证：DC/CF=BD/DF
即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF
若连结AF，则AF=DF
故即证：AF/CF=BF/AF
只需证△FAB∽△FCA
证明：
连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴AF=DF
∴∠FDA=∠FAD
又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD
∴∠B=∠CAF
∴△FAB∽△FCA。

二、分比性质
1、表达
文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

字母：已知，且有，如果，则有。

2、推导过程
三、合分比性质
1、表述
文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

字母：已知，且有，如果，则有。

2、推导过程
令
则
四、等比性质
1、表达
文字：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等
字母：已知，且有，如果，则有。

2、推导过程
证法一
令，则
证法二
由合比性质
即
3、推论
已知，且有，如果
，则有
五、更比性质
1、表达
文字：把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例.
字母：如果a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d≠0）
2、推导过程
a/b=c/d 等号两边同乘bd 得 ad=cb 同除dc 得 a/c=b/d
六、外项的积等于内项的积
1、表达
文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

字母：如果（，，，都不等于零），那么＝
．
2、推导过程
用去乘的两边，得·bd＝·，所以＝
．
3、深层推导
如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数可以组成比例，用式子表示就是：如果＝，那么（、都不等于零）．这是因为用去除 d＝两边，得，所以．如果、也不等于零，那么，我们还可以分别用、、去除＝两边，得到另外不同的三个比例，．如果把上述四式等号的左右两边对调，那么又可以得到另外的四个比例：．
这就是说，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数就可以组成八个比例．这八个比例的形式不同，也就是各个数在比例中的位置不同．
根据比例的性质还可以得出：已知比例中的任意三项，就可以求出另外一项．例如，由4∶5＝8∶，得4＝5×8，＝10．求比例中的未知项，叫做解比例．。