初中数学一元二次方程复习专题

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一元二次方程专题复习

韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则

12b x x a +=-，12c

x x a

⋅=

适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根

的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）222

121212()2x x x x x x +=+-⋅

（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；

12x x -=

（3）①方程有两正根，则1212

00x x x x ∆≥⎧⎪

+>⎨⎪⋅>⎩；

②方程有两负根，则1212

000x x x x ∆≥⎧⎪

+<⎨⎪⋅>⎩ ；

③方程有一正一负两根，则120

x x ∆>⎧⎨

⋅<⎩；

④方程一根大于1，另一根小于1，则12

(1)(1)0x x ∆>⎧⎨

--<⎩

（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。 4．用配方法解一元二次方程的配方步骤： 例：用配方法解2

4610x x -+= 第一步，将二次项系数化为1：231

024

x x -+=，

（两边同除以4） 第二步，移项： 231

24

x x -

=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313

()()2444

x x -+=-+ 第四步，完全平方：2

35()4

16

x -=

第五步，直接开平方：344x -

=±，即

:1344x =++

,2344

x =-+ 一元二次方程的定义与解法

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➢ 【要点、考点聚焦】

1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式

20(0)ax bx c a ++=≠；

2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要） ➢ 【课前热身】

1.当a =____________时，方程2

310ax x ++=是一元二次方程.

2. 已知1x =是方程2

20x ax ++=的一个根，则方程的另一根为__________. 3.一元二次方程(1)x x x -=的解是_____________.

4. 若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠，且0a b c ++=，则方程

必有一根为____________.

5. 用配方法解方程2

420x x -+=,则下列配方正确的是( )

A.2

(2)2x -= B.2

(2)2x += C.2

(2)2x -=- D.2

(2)6x -= ➢ 【典型例题解析】

1、关于x 的一元二次方程2

(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围. 2、已知：关于x 的方程2

2

6350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。

3、用配方法解方程:2

210x x --=

【考点训练】

1、关于x 的一元二次方程2

2

(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A. 1B.1- C.1或1- D.

12

2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）

A. 直接开平方法

B. 配方法

C. 因式分解法

D. 公式

法

3、若0a b c -+=，则一元二次方程2

0ax bx c ++=有一根是（ ） A.

2

B.

1

C.

0 D. －1

4、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.

5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.

一元二次方程根的判别式

➢ 【要点、考点聚焦】

1.一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠根的情况与∆的关系；

2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围． ➢ 【课前热身】

1.若关于x 的一元二次方程2

210x x -+=有实数根，则m 的取值范围是

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( )

A.1m <

B. 1m <且0m ≠

C.m ≤1

D. m ≤1且0m ≠ 2. 一元二次方程2

210x x --=的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D. 没有实数根

3.已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=.请你为m 选取一个合适的整数，当m =____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；

4.若关于x 的方程227

(21)04

x k x k +-+-=有两个相等的实数根，求k 的取值范围

➢ 【典型考题】

1.已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.

2.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程

222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.

【课时训练】 1、一元二次方程

的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

2、已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值

范围是（ ） A.

1

m >- B.

2

m <- C.

m ≥0 D.0m <

3、一元二次方程2

(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________.

4、求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。 课后练习 一、填空题

1、关于x 的方程2(3)320m x x --=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ____ .

2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .

3、方程2

310x x -+=的根的情况是____________________.

4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.

5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，

方程(2)50x +*=的解为_________________.

6、如果关于x 的一元二次方程2

210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。