机械工程测试,信息,信号分析试题及答案解析
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1.求同周期的方波和正弦波的互相关函数
解:因方波和正弦波同周期,故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值,又根据互相关函数定义,将方波前移τ秒后计算:
ωτ
π
ωτπωτπωτπωτπωτππ
ωωωωωωωτττττττττsin 2
sin 421
23cos 12cos 23cos 12cos 21cos cos cos 1sin 1sin 1sin 11)(434344
0434
3440=⨯=
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅+⋅-=
--------⎰⎰⎰T T T T T T T T T T xy t t t T tdt tdt tdt T R
2.已知信号x (t )试求信号x (0.5t ) ,x (2t )的傅里叶变换
⎩⎨
⎧><=1
1,
0,1)(T t T t t x
解:由例可知x (t )的傅里叶变换为
112sin 2)(fT c T f X π=
根据傅里叶变换的比例特性可得 如图2-32所示,由图可看出,时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情
况为我们提高信号分析速度提供了可能。
x(t/2)
t
-T
T
a=0.5
x(t/2)
t
-T/2T/2
a=1.0
x(t/2)
t
-T/4T/4
a=2.0
1
1
1
题图2-17 时间尺度展缩特性示意图
3.所示信号的频谱
)5.2()5.2(2
1
)(21-+-=
t x t x t x 式中x 1(t ), x 2(t )是如图2-31b ),图2-31c )所示矩形脉冲。
解:根据前面例2-15求得x 1(t ), x 2(t )的频谱分别为
f
f f X ππsin )(1=
和
f f f X ππ3sin )(2=
根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得:
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧+=-f f e
f X f
j ππππ3sin sin )(215
图2-31
[]()11114sin 45.02sin 25.01)5.0(fT c T T f c T t x F ππ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=
[]()1111sin 22sin 221)2(fT c T T f c T t x F ππ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=
1
)
(t x )
(1t x t
)
(2t x
4.求指数衰减振荡信号
()t e t x at 0sin ω-=的频谱。
解: )
(2
sin sin 21sin 21)(0000)(000t j t j t j a t j at
e e j
t td e dt e t e X ωωωωωωπωπ
ω-==⋅=
-+-∞--∞⎰⎰
[]
2
2000)()(0)(21
)(1
)(1)2(21)2
(21)(00ωωωπωωωωππωωωωω++=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-++=-=-+-++-∞⎰j a j j a j j a j dt
e e j X t j j a t
j j a
5.求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱
解 在x(t)的一个周期中可表示为
⎩⎨
⎧<<≤=2
1)(11
T t T T t t x
该信号基本周期为T ,基频ω0=2π/T ,对信号进行傅里叶复指数展开。由于x (t )关于t =0对称,我们可以方便地选取-T /2≤t ≤T /2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数c n 当n =0时,常值分量c 0:
T
T dt T a c T T 100211
1==
=⎰-
当n ≠0时,
11
011001
1T T t jn T T t jn n e T
jn dt e T c -----==
⎰ωωω
最后可得
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-j e e T n c t jn t jn n 22
000ωωω
注意上式中的括号中的项即sin (n ω0 T 1)的欧拉公式展开,因此,傅里叶序列系数c n 可表示为
0)(sin 2)sin(210010≠==
n T n c T
T n T n c n ,ωπ
ωω
其幅值谱为:)(sin 211
T n c T
T c o n ω=
,相位谱为:ππϕ-=,,0n 。频谱图如下:
6、为什麽能用自相关分析消去周期信号中的白噪声信号干扰。
周期信号顾名思义,是周期性出现的, 而白噪声是包含了所有的频率,没有周期性. 而求自相关实际上是看信号的不同部分的相似程度,当然得到的结果就只剩下周期性部分. 白噪声得到抑制
7、用波形分析测量信号周期与用自相关分析测量信号周期何种方法更准确。 自相关分析信号周期更准确,因为去掉了相位抖动带来的误差。
t t
n
C T T /211
/T πω
00
ωn
C T T /211
/T πω
00
ωn
ϕπ
π-ω