研究生数值分析试卷上课讲义
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研究生数值分析试卷
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法
k k x x cos 3
2
41+=+
(1) 证明对R x ∈∀0,均有*lim x x k k =∞
→,其中*x 为方程的根.
(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.
二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++=-+.
022,1,122321
321321x x x x x x x x x
三、（8分）若矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都
是非病态的。（范数用∞⋅）
四、（15
求)(
x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为
已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
[
]
dx x b ax b a I 2
1
1
2
),(⎰--+=
取得最小值。
七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式：
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(,
1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式
⎰
-+≈1
1
2211)()()(x f A x f A dx x f
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
⎰=2
11
dx e I x
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)()
,(y x y y x f dx dy
的单步法：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
++==++=+)
,()
,()2
121(1
21211
hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法；
（2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++=-+.
022,1,122321
321321x x x x x x x x x 二、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法
k k x x cos 3
2
41+=+
(1) 证明对R x ∈∀0,均有*lim x x k k =∞
→,其中*x 为方程的根.
(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.
三、（8分）若矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都
是非病态的。（范数用∞⋅）
四、（15
求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为
已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
[
]
dx x b ax b a I 2
1
1
2
),(⎰--+=
取得最小值。
七、（14分）对于求积公式：⎰∑=≈b
a
n
k k k x f A dx x f x 1
)()()(ρ,其中：)(x ρ是区间
),(b a 上的权函数。
（1） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （2） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明
∑⎰==n
k b
a
k dx x A 1
)(ρ
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)()
,(y x y y x f dx dy
的单步法：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
++==++=+)
,()
,()2
121(1
21211
hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （3） 验证它是二阶方法； （4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）