2008级研究生数值分析试题

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2008年数四考研数学真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分）设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．（20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。

北京理工大学2008级数值分析试题及答案

课程编号：12000044 北京理工大学2009-2010学年第二学期2008级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级学号姓名成绩注意：① 答题方式为闭卷。

② 可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、填空题（每空2分，共30分）1. 设函数f (x )区间[a ，b]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0, 当时，用双点弦截法产生的解序列收敛到方程f (x )=0的根。

2. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为。

3. 已知a =3.201，b =0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a ⨯b 有位有效数字，a +b 有位有效数字。

4. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是。

5. 设有矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4032A ，则‖A ‖1＝_______。

6. 要使...472135.420=的近似值的相对误差小于0.2%，至少要取位有效数字。

7. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是。

8. 已知n=3时的牛顿-科特斯系数,83,81)3(1)3(0==C C 则=)4(2C ，=)3(3C 。

9. 三次样条函数是在各个子区间上的次多项式。

10. 用松弛法 (9.0=ω)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225322321321x x x x x x x x x 的迭代公式是。

11. 用牛顿下山法求解方程033=-x x 根的迭代公式是，下山条件是。

二、选择填空（每题2分，共10分）1. 已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。

文档：数值分析试题A08.1

中国石油大学（北京）2007--2008学年第一学期研究生期末考试题库A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空3分，共24分)(1) 设1222A ⎡⎤-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则A 的奇异值为。

(2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有位有效数字。

(3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。

(4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,,,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数，则20(2)()nkk k xl x =+=∑ 。

(5) 插值型求积公式22=≈∑⎰()()nk k k x f x dx A f x 的求积系数之和0nk k A ==∑ 。

其中2x 为权函数，1≥n 。

（6）已知(3,4),(0,1)TTx y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。

H= 。

(7) 数值求积公式112()((0)(322f x dx f f f -⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰的代数精度为___。

(8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是。

（输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:nif x (i)<S ，S=x (i);else,continue;end end S二、(12分) （1）证明对任何初值 0x R ∈，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)k k x x k +=+= 所产生的序列{}0k k x ∞=都收敛于方程1232cos 0x x -+=的根。

（2）证明它具有线性收敛性。

三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分4x e dx ⎰的近似值；（2）若用复化辛浦生公式计算积分4x e dx ⎰，问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、（12分）已知数据表 2102230.510.5i iix y w --（1）构造关于点集和权的正交函数组01{(),()}x x ϕϕ；（2）利用01{(),()}x x ϕϕ拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2δ。

2008年南开大学数学分析考研试题及解答

南开大学2008年数学分析考研试题.一．计算题1．求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+。

2．求和()()∑∞=-+-1121n n n n 。

3．已知()()()1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4．设2ln 261txdt e π=-⎰，则x =？5．设区域()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求Dx y dxdy -⎰⎰。

二．设61-≥x 61+=+n n x x ，(1,2,)n = ，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。

三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，使得()0=ξf .四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分()af x dx +∞⎰收敛，求证()0lim =+∞→x f x 。

五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤，其中10<<m ，任取实数0a ，1ln ()n n a f a -=，(1,2,)n = ，证明级数11||n n n a a ∞-=-∑收敛。

六．证明函数项级数()1nxn f x ne∞-==∑，（1）在()+∞,0上收敛，但不一致收敛；（2）和函数()x f 在()+∞,0上任意次可导。

七．作变换xy u =，x v =，w xz y =-，将方程2222z z yyyx∂∂+=∂∂变换为w 关于自变量(),u v 方程。

八．求由曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分的体积之比。

九、设()f x 是(0,)+∞上具有二阶连续导数的正函数，且()0f x '≤，(0,)x ∈+∞，()f x ''在(0,)+∞上有界，则lim ()0x f x →+∞'=。

东北大学数值分析 08数值分析(研)答案

0 1
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、（12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T

2008年华南理工数学分析考研试题及解答

例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f yx y -≥-，对于任意,nx y R∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的. 证明显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解方法一显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅，于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的，综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤，即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的例3、判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明因为(),f x y 在D 上连续，设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =，于是有()000f x y x ∂=∂，()000fx y y∂=∂，这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim 0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。

2008考研数一真题答案及详细解析

nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时，几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开，得矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此

[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc

[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

1 为了使计算y=11+的乘除法运算次数尽量地少，应将该表达式改为_____．2 求方程x-f(x)=0根的牛顿迭代格式是_____3 设A=则‖A‖∞=_______4 解方程组的Jacobi迭代格式为______5 设f(x)=8x4+3x3-98x+1,则差商f[2，4，8，16，32]=______6 记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n，则计算I(f)=的复化Simpson公式为______，代数精度为______7 用简单迭代法求非线性方程x-lnx=2在(2，+∞)内的根，要求精确至6位有效数字，并说明所用迭代格式为什么是收敛的．8 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性．9 1)给定如下数据表：求f(x)的2次插值多项式L(x)；2)利用如下数据表：求f(x)的3次插值多项式H(x)．10 求a，b，使得达到最小，并求出此最小值．11 求系数A1，A2，A3，使得求积公式≈A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(2/3)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数．12 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b-a)／n，x i=a十ih，0≤i≤n．1)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[f(x i+1,y i+1)+f(x i,y i)](A)2)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[3f(x i，y i)-f(x i-1，y i-1)]；(B)3)指出以上两个求解公式各是儿阶公式，并从局部截断误差的大小、显隐格式及单多步公式几方面作一个简单的比较．。

西交大2008年数学分析考研试题

看到千鹤的遗w，四只眼睛的眼睛闪现在他胸前的剑伤中。在仔细检查了千鹤的身体之后，他消除了他内心的怀疑和不满。成千上万的起重机确实因血液和血液的减少而死亡，他们仍然可以看到南方和北方的旧油。这种险恶的事情真的只出现在故事书中，他真的有更多的心。对不起，王皓是一个臭男孩。唯一剩下的王皓似乎是钱合力的唯一后裔。有一个王小姐，一个侧面奔跑的少年和皇家僵尸。由于这个想法，四眼的领导者不如原来的主人。经过短暂的道教仪式向千鹤道场致敬，他们两人与王皓联手开始清理整个营地被王朔打破的尸体。王宇在丛林环境中点燃柴火和烈火的顾忌在两者眼里都不是。在所有的尸体都集中在一个空地上之后，蠕虫的四只眼睛用篝火解决了这个问题。茅山的许多祖先在河流和湖泊方面都有很多经验，这种场景有长期的解决方案。 “史博，主人，主人和兄弟兄弟们，我明天会来聚会。我会请石博和师傅帮我把今晚的皇家僵尸放在剑下，以为我哥哥和我会复仇“。皇家僵尸被我的主人和我的兄弟打破了，尸体被排出了50％。只要没有很多血液或亲戚来支持血液恢复它，我可以保证它不会生活在黎明。头顶的皇家僵尸在黎明前发现了足够的血液，或吸收了亲人的鲜血。我们的主人和妻子过去经常在皖南地区与僵尸打交道，但他们从来没有见过这么难的僵尸。同时插入四把木剑。它不能杀死它的身体！如果你让它从受伤中恢复过来，那么逃避，躲避和恢复，恐怕世界上会有更多的伤害！刚才Shibo说，乌兹别克斯坦逃到了Shibo，这震惊了你。他是一个忠诚的人。据推测，七十一个王子也必须在你家里。
这个圈子人口稀少，有七十一个王子被这种血液所吸引。皇家僵尸必须追逐他们的脚步去Shibo。还请高博师傅帮助我。 “对于王皓的话，四只眼睛和一个休息的主人都听了。两江湖的僵尸习惯不明确。即使王皓不说他们原先想到的第一个说服王皓明天回来。成千上万的起重机都是灰烬。毕竟，此刻，他们两个的学徒和镣铐很可能与皇家僵尸发生了巨大的碰撞。此刻的时间更加激烈。木屋，后院的竹林，微风吹过，一道阴影闪过，竹子摇曳的声音为安静的夜晚敲响了一夜！

2008级研究生数值分析试题A卷答案

12008级研究生数值分析试题A 卷答案一、单选题（3*5=10分）1、A ；2、B ；3、C ；4、B ；5、C 二、填空题（3*5=10分）1、2124x -；2、100300115/31100200125/321002/3001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3、0<w<2；4、2阶，1阶；5、10.123三、（10分）解：设010,1x x == ，由2点3次Hermite 插值公式可得，1333()[()()()()]j j j j j H x H x x H x x αβ='=+∑=22100(12)()(1)()101010x x x x ----+---- 8分 =232x x - 2分四、（10分）解：{1,}spanx φ=，()f x Cosx =，设所求最佳平方逼近为：*101()P x a a x =+则法方程为：00001101001111(,)(,)(,)(,)(,)(,)a a f a a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧⎨+=⎩ 即201230112828242a a a a πππππ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ 8分01011.5708 1.233711.2337 1.29190.5708a a a a +=⎧⎨+=⎩解得： 8分 011.1585,0.6644a a ==-于是，*1() 1.15850.6644P x x =- 2分五、（10分）解：1()1k k A x dx n π-==+⎰，取n=2,0123A A A π===5分令33()430T x x x =-=，则高斯点0120,22x x x =-==于是1[((0)3f f f π-≈++⎰5分六、（10分）解：设A=111213212223313233100100100u u u l u u ll u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=100123010050111002⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5分2由Ly=b,求y={1,0,-2},由Ux=y 求x={4,0,-1} 5分七、解答下列各题（3*10=30分） 1、解：Jacobi 迭代计算格式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()312111;5510111;51020121);333k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩101/51/5()1/501/101/32/30J B D L U -⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 5分 113/15J B =，于是，1()1J G B ρ<<，即迭代收敛。

08年华南理工数学分析考研试题及解答

2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。

(完整版)辽工大2008年数值分析试题

（2008级）数值分析试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 计算()432-=f ，取7.13≈，利用下列等式计算，结果最好的是（）。

（A ）()4321+（B ）()2347-（C ）35697-（D ）356971+2. 设()132++=x x x f ，则[]=35.0,3.0,2.0,1.0f （）。

（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）33. 选择常数a ，使ax x x -≤≤310max 达到极小，所用的逼近为（），可以选择的逼近多项式为（）。

（A ）最佳平方逼近（B ）最佳一致逼近（C ）Legendre 多项式（D ）Chebyshev 多项式4.如果()0>''x f ，用梯形公式()⎰=b adx x f I 计算所得结果记为，则有（）。

（A ）T I >（B ）T I <（C ）T I =（D ）不能确定5. 用复化辛普森公式计算积分⎰=1dx e I x ，若使截断误差不超过51021-⨯，则区间[]2,1至少应分（）等分。

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46. 线性方程组的迭代公式f Bx x k k +=+1收敛的充要条件为（）。

（A ）11<B（B ）1<∞B（C ）1)(<B ρ（D ）以上都对7. 求方程a x =2正根的迭代公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+k k k x a x x 211，收敛阶为（）。

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）非线性收敛8. 对于常微分方程的一阶初值问题，若数值方法的局部截断误差为()31h O T n =+，则（）。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若x 的相对误差为ε，则3x 的相对误差为（）。

2. 若()()()x bg x af x F +=，则[]=Λn x x x F ,,,10（）。

西安石油大学研究生数值分析08 09年试题

c1 b2 a3
c2 b3
c3 a n 1
bn 1 an
= c n 1 bn
2

。
二、（此题10分）长方体的长宽高大约为50cm，20cm和10cm，长度测量误差限满足什么条件时，其表面积不超过1cm ? 三、（此题10分）设线性方程组AX=b的系数矩阵和常数列向量为
八、（10分）对初值问题
y / f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
假设 y n 2 y ( x n 2 ), y n 1 y ( x n 1 ), y n y ( x n ) ，用线性多步法求得局部截断误差为 O（ h ）的计算公式为
4
y n 1 y n h[af ( x n , y n )
2 1 1 1 A 1 2 1 ， b 1 1 1 2 1
分别讨论解此方程组的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法的收敛性。四、（10分）证明：方程 x ln x 4 0 在区间[1,2]内有惟一的根 x ，用迭代法求 x ，

=（
）。）。 )。
4. 方程f(x)=0的隔跟区间[a,b]满足（
5. k阶差商与向前差分的关系为f[ x 0 , x1 ,..., x k ]=(
6. 用最小二乘法求解矛盾线性方程组AX=b时，归结为求解法方程组。由矛盾方程组AX= b得到的法方程组为（）。 7. 龙贝格求积公式中的 Rn 与 C n 及 C 2 n 的关系为 Rn =（）。）。）。
2
（取 x 0 1.5 ，精确到3为有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。五、（10分）设 xi （i=0,1,2,…,n）为互异节点，试证明拉格朗日插值基函数 l i ( x) 具有以下性质

2008研究生数值分析试题及答案-石家庄铁道大学

姓名学号评分时间120分钟2008级硕士研究生数值分析考试试卷参考答案及评分标准2008 年— 2009 年度第 I 学期任课教师王亚红一.(1-7题 2分/空;8-9题 3分/空)1. 5，4，4；2. -2；3. -3，充分4. 幂法5.222hh --+…6. 8/3，8/3，-4/3 7. 08. )(2111=++++++=n n n n n n y x y x hy y ;9.,)1(22-x 二1.(14分).解:LU A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==102021111121------------------------9分解Ly=b 得y=（1，-2，2），解Ux=y 得x=（-1，1，2）--------------------------14分 2.(6分) Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+++)(1)1(3)(1)1(2)(2)1(1121k k k k k k x x x x x x , ,2,1,0=k -----------------------------3分 Gauss-Seideli 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+++++)1(1)1(3)1(1)1(2)(2)1(1121k k k k k k x x x x x x , ,2,1,0=k---------------------------------6分 3.(4分) Jacobi 迭代法的迭代矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=001001020B计算其谱半径为12>,所以, Jacobi 迭代法不收敛.三.1.(6分)差商表解1．+------=)41)(21)(01()4)(2)(0()(3x x x x L )42)(12)(02()4)(1)(0(8------x x x+)24)(14)(04()2)(1)(0(64------x x x -------------------------------------------------------6分--------------------------------------------7分33)3)(2)(0(1)2)(0(3)0(10)(x x x x x x x x N =---⋅+--⋅+-⋅+= -----10分3.（8分）解: 根据最小二乘法,求a,b ,使∑=+-=312))((),(i i iax b yb a I 最小,有00=∂∂=∂∂aI b I 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑====i i i i i i i i i i x y a x b x y a x b )()()(4302303030 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2737321774a b , ------------------------------6分得8.10,6.16-≈≈b a所以,拟和曲线8.106.16-=x y -------------------------------8分四.证明：1.******132)2sin()2sin(232cos cos 32)cos 324(cos 324x x x x x x x x x x x x n n n n n n -≤-+=-=--+=-+ --------------------------6分 2. ,1,0,sin 23cos 23121=--+--=+n x x x x x nnn n n ----------------10分3.(*)的迭代函数x x cos 324)(+=ϕ,0)(*≠'x ϕ,所以,(*)线性收敛; 牛顿法的迭代函数0)(,0)(,sin 23cos 2312)(**≠''='++-+=x x xxx x x ϕϕϕ,所以,牛顿法二阶收敛. ------------------------------14分五.证明: 222)()()(vuvv tr u uv vu tr A A tr AT T T T F====分3------------------------------------6分。

2008年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷A

2008年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷A(总分：26.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.为了提高数值计算精度，当正数z______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.设x为x *的近似值，则x的相对误差的______倍．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.已知cond(A) ∞ =_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：9)解析：5.设线性方程组Ax=b的系数矩阵Gauss-Seidel迭代法求解收敛的充分必要条件是a满足______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：a＞3或a＜-5)解析：6.设f(x)=3x 4 +8x 3 -98x+1，则差商f[2，4，8，16，32]=_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3)解析：7.记h=(b-a)／n，x i =a+ih，0≤i≤n．计算T n (f)=______，代数精度等于______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.用Newton迭代法求非线性方程x-lnx=2在(2，+∞)内的根，要求精确至6位有效数，并说明所用迭代格式为什么是收敛的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：记f(x)=x-lnx-2，则f"(x)=1- ．当x＞2时，f"(x)＞0．又f(3)=3—ln3—2=1-ln3＜0，f(4)=2-ln4＞0，故方程f(x)=0在(2，+∞)内有唯一解x *，且x *∈[3，4]．Newton迭代格式为k=0，1，2，…，取x 0=3．5得x 1=3．153868，x 2=3．146198，x 3=3．146193，x 4<)解析：9.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：得x 3 =-3，x 2 =5，x 1 =6．)解析：三、综合题(总题数：4，分数：8.00)10.写出Jacobi迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：1)Jacobi迭代格式为2)Jacobi迭代矩阵J的特征方程为有故从而Jacobi迭代格式发散．)解析：11.给定如下数据表：求一个不超过4次的多项式H(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由Herrnite插值多项式得H(x)=f(-1)+f[-1，-1](x+1)+f[-1，-1，0)(x+1) 2+f[-1，-1，0，2](x+1) 2(x-0)+f[-1，-1，0，2，2](x+1) 2(x-0)(x-2)，建立差商表如下：H(x)=10+(x+1)+3(x+1)2 - (x+1) 2(x+1) 2 x(x-2)．)解析：12.试用simpson（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令a=2，b=3，f(x)=e x，得所求近似值具有3位有效数字．)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试分析求解公式的局部截断误差，并指出它是一个几阶的公式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：所给求解公式是一个2阶公式．注所给求解公式是一个2阶公式．)解析：。

河海大学硕士数值分析试卷08~09

1. 填空(10分,每空2分)1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式20002001-改写为 .2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 .3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .2. 选择题(10分,每题2分)(1)设有求方程1=xxe 根的迭代公式kx k ex -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式A. 发散B. 敛散不定C. 收敛D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰可由 A. 分段线性插值导出 B. 抛物插值导出 C. 线性插值导出 D. 分段抛物型插值导出(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）A. 无限制B. 对称C. 可逆D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？A. 提高精度B. 便于计算C. 提高精度和便于计算D. 稳定性需要 (5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为 A. )()()(x f x f x x '-=ϕ B. )()()(x f x f m x x '-=ϕ C. )()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使)]()0([)]()0([2)(0h f f a h f f hdx x f h'-'++≈⎰的代数精度尽量高。

试指出最高代数精度，并估计误差。

合工大2008数值分析试卷

Numerical AnalysisAnswers to Test A (2008)1. Fill in the following blanks.(1) Let 3.14159x *=, then the number 3.141x = approximate x * with 3 significant digits. (Solution. 13.1410.3141101x m ==⨯⇒=,20.059102 3.x x m l l *--=⨯⇒-=-⇒=)(2) Suppose2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.Then 2||||A = 3 .(()max i iA ρλ= and i λ is an eigenvalue of A for each i.2A=where T ()max iiA A ρλ= and i λ is an eigenvalue of T A A for each i. )(3) Let ()26f x x =-, the sequence generated by Newton ’s method for finding the root of equation ()0f x = is ()1n n p g p -==1132n n p p --+.(211111111()63()22n n n n n n n n n f p p p p p p f p p p ---------=-=-=+')(4) A natural cubic spline S on [0,2] is defined by30231()12,if 01,()()2(1)(1)(1),if1 2.S x x x x S x S x b x c x x x ⎧=+-≤<⎪=⎨=+-+-+-≤≤⎪⎩then b = -1 and c = -3 .(5) The function ()xf x e = is approximated on the interval [1,1]- by the secondMaclaurin (麦克劳林) polynomial 22()12xP x x =++. Then the linear polynomial1()P x that best uniformly approximates （最佳一致逼近）2()P x on [1,1]- is 54x +.(Solution. Since 22()12xP x x =++, the linear polynomial 1()P x that bestuniformly approximates 2()P x on [1,1]- is1222221()()()151(21).222!4P x P x a T x x x x x =-⎛⎫=++--=+ ⎪⨯⎝⎭01()1,(),T x T x x ==2210()2()()212 1.T x x T x T x x x x =⋅-=⋅-=-)2. Suppose 00,0,a x >>show the sequence()21233k k k k x x a x x a++=+converges to of order 3.Proof Let22(3)()3x x a g x x a+=+, for any 0(0,)x ∈+∞.It is easy to prove that ()()()0,0,g x g x C >∈+∞, and223224222222(33)(3)6(3)3()3()1(3)(3)(3)x a x a x x ax x a xg x x a x a x ++-+-'==≤<++.So by the Fixed-point theorem, we know sequence {}k x is convergent.Since 00,x >0k x >, suppose that1lim lim 0k k k k x A x +->∞->∞==>,then for ()21233k k k kx x a x x a++=+, one has 22(3)3A A a A A a+=+,which gives A =And211limlim34k k kk x aax →∞→∞==≠+-,so the sequence 0{}k k x ∞=converges to of order 3.3. Use the following data to construct an interpolating polynomial 3()P x of degree three so that 3()()i i P x f x = for 0,1,2i = and 300()()P x f x ''=.Solution . First compute all the divided differences, and list the divided differences table as follows000()1x f x == 00000()1[,]0x f x f x x === 11010011()2[,]1[,,]1x f x f x x f x x x ==== 221201200122()9[,]7[,,]3[,,,]1x f x f x x f x x x f x x x x =====Applying Newton ’s interpolation formula gives the interpolating polynomial 3()P x as follows22300000010001201223()[][,]()[,,]()[,,,]()()1(1)1.P x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+-+--=++-=+4. The forward-difference formula can be expressed as23000001()[()()]()()(),26h hf x f x h f x f x f x O h h''''''=+---+Use Richardson ’s extrapolation to derive an 3()O h formula for 0().f x ' Solution . We have the ()O h approximation23012()()()()f x M h N h k h k h o h '==+++where001()[()()]N h f x h f x h=+-, 101()2k f x ''=-, 201()6k f x ''=-,(1)Replacing h by 2h in the formula gives that231211()()()224h M h N k h k h o h =+++, (2)Subtracting Eq. (1) from2 time Eq. (2) gives230121()()()2f x N h k h o h '=-+, (3)where1()2()()2hN h N N h =-,Continuing this procedure gives230121()()()28h f x N k h o h '=-+,(4)Subtracting Eq. (3) from 4 time Eq. (4) and dividing by 3 provides an 3()O h formula for 0()f x '()302()()f x N h o h '=+Where()11200004()()2341[2()()](2()())3423281()2()()34231[()12()32()21()].324hN N h N h h h hN N N N h h h N N N h h h f x h f x f x f x h-==---=-+=+-+++-5. Show the quadrature formula()()(11158059fx dx f f f -⎡⎤≈++⎣⎦⎰gives the exact result whenever ()f x is a polynomial of degree 5 or less, and use the above formula to approximate the integral 10sin 1x dxx+⎰.(1) Proof.Since11118()1,()2,[58(0)5(299f x f x dx f f f -==++==⎰,111(),()0,[58(0)5(09f x x f x dx f f f -==++=⎰,12121332(),(),[58(0)5(,3993f x x f x dx f f f -+==++==⎰1311(),()0,[58(0)5(0,9f x x f x dx f f f -==++=⎰141210.36522(),(),[58(0)5(,5995f x x f x dx f f f -⨯⨯==++==⎰1511(),()0,[58(0)5(09f x x f x dx f f f -==++=⎰,so for 2345()1,,,,,f x x x x x x =, it follows111()[58(0)5(9f x dx f f f -=++⎰.But for 6(),f x x =1121()[58(0)5(0.2479f x dx f f f -=≠++=⎰,therefore the formula gives the exact result whenever ()f x is a polynomial of degree 5 or less.(2) Solution Let 12t x +=,then using the quadrature formula we have11101111sinsinsin 122312321sin sin sin12[5850.2842.93t t x dx dt dt t xt --++=⋅=+++≈+⋅+≈⎰⎰⎰6. a) Derive the Runge-Kutta methods of order 2, andb) state the difference between Runge-Kutta methods and multistep methods for the initial problem of ODE (ordinary differential equations). Solution a) Derive the Rung-Kutta methods of order 2. For the initial problem of ODE()(),,,.y f t y a t b y a α'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩,Suppose*11212(,),,(,),(1)i i i p i i p i p i k f t y y y phk k f t y k k k λλ+++==+==-+,where()i i y y t ≈, and ,01i p i t t ph p +=+≤≤.To find the approximation, we set up the following iterative scheme*1*12121(1)(,)(,)i i i i i i i i y y h k k k k k f t y k f t ph w phk λλ+⎧=+⋅⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=++⎩ (1)Since()(,())()(,)(,)()(,)(,)(,),iii t t t t t i i y i i i t i i y i i i i dy t df t y t y t dtdtf t y f t y y t f t y f t y f t y =='''=='=+=+to determine λ,p , we suppose ()i i y y t =,22112(,)(,)(,)(,)()()()().i i i i t i i y i i i i k f t ph y phk f t y ph f t y phk f t y O h y t ph y t O h =++=+⋅++'''=+⋅+ (2)Substituting (2) into (1) gives that2123[(1)()()()()]()()().i i i i i i i i y y h y t y t ph y t O h y h y t ph y t O h λλλλ+''''=+-++⋅+'''=+⋅+⋅+ (3)By Taylor ’s expansion, we have2311()()()()()2i i i i y t y t h y t h y t O h +'''=+⋅++ (4)Comparing Eq. (3) with Eq. (4), to ensure the truncation error is 3()O h , we must set12p λ=.If we choose 11,2p λ==, then the scheme is121211122,(,),(,).i i i i i i y y k k f t w k f t h y hk +⎧=+⎪=⎨⎪=++⎩b) The difference between Rung-Kutta methods and multistep methods are that Rung-Kutta methods use the information on the new nodes inside the interval 1[,]i i t t -, but the multistep use the previous information on the nodes 231,,,i i i m t t t ---- .7. Establish the convergent (收敛的) Jacobi iterative scheme (迭代格式) and Gauss-Seidel iterative scheme for the following linear system123123123321015104521078x x x x x x x x x ++=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩ and explain why these schemes are convergent. Solution Let112321233123:321015:1045:21078E x x x E x x x E x x x ++=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩ (1)Performing the transformation 1312,E E E E ↔↔ gives112321233123:1045,:21078,:321015.E x x x E x x x E x x x ⎧'--+=⎪⎪'+-=⎨⎪'++=⎪⎩(2)which is equivalent to the given linear system.The Jacobi iterative scheme is as follows()(1)(1)123()(1)(1)213()(1)(1)312211,5102174,5105313.1052k k k k k k k k k x x x x x x x x x ------⎧=-+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=--+⎪⎩The Gauss-Seidel iterative scheme:()(1)(1)123()()(1)213()()()312211,5102174,5105313.1052k k k k k k k k k x x x x x x x x x ---⎧=-+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=--+⎪⎩Since the coefficient matrix 104121073210A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭is strictly diagonally dominant, sothe Jacobi and Gauss-Seidel schemes are both convergent.8. Find the linear least squares polynomial approximation to ()1/f x x = on the interval [1, 3].Solution. Suppose that 01()P x a a x =+ is the linear squares polynomial approximation to 1()f x x=on the interval [1,3].To minimize the error33220101111(,)(()())()E a a f x P x dx a a x dx x=-=--⎰⎰,setE a ∂=∂ and1E a ∂=∂, which follows3011301110,24ln 3,264 2.10,3a a x dx a b x a b x a a x dx x ⎧⎛⎫--=+=⎧ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⇒⎨⎨+=⎛⎫⎪⎪--=⎩⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰ Solving the equations for 0a and 1a gives013ln 3122a -=, 133l n 3a =-. So the linear least squares polynomial approximation to 1()f x x=on the interval[1,3]is13ln 312()(33ln 3)2P x x-=+-.。