(完整)应用随机过程学习总结,推荐文档
应用随机过程总结思想
应用随机过程总结思想随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用，包括金融、通信、生物学等。
随机过程的基本思想是用数学模型描述随机现象的演变规律，并研究其统计特性。
下面，我将对随机过程的应用和思想进行详细的总结。
首先，随机过程在金融领域中有着重要的应用。
金融市场的价格波动是一个典型的随机过程，它受到众多因素的影响，包括政治、经济、社会因素等。
通过建立随机过程模型，我们可以对金融市场的价格走势进行预测和分析，为投资者提供决策依据。
例如，随机过程模型可以用来描述股票价格的随机演化，从而帮助投资者制定合理的买入和卖出策略。
其次，随机过程在通信领域也有着重要的应用。
通信系统中存在着信号的传输和噪声的干扰，而噪声是一个随机过程。
通过对噪声进行建模，我们可以研究和设计有效的信号处理算法，提高通信系统的性能和可靠性。
此外，随机过程还可以用来描述和分析通信信道的特性，为信道编码和调制等技术提供理论基础。
此外，随机过程在生物学中也有广泛的应用。
生物学中很多现象都具有随机性，例如细胞分裂、基因突变等。
通过建立随机过程模型，我们可以研究生物系统的动力学过程，揭示生物系统中的内部机制。
例如，随机过程模型可以用来描述细胞的生长和分裂过程，从而帮助我们理解细胞生物学中的重要问题，如细胞增殖和癌症的发生。
总的来说，随机过程作为一种重要的概率论工具，具有广泛的应用。
它在金融、通信、生物学等各个领域中都能发挥重要的作用。
随机过程的思想是用数学模型描述随机现象的演变规律，并研究其统计特性。
通过建立合理的模型，我们可以研究随机过程的数学性质，从而为实际问题的分析和解决提供理论支持。
在应用随机过程的过程中，我们需要注意以下几个方面。
首先，需要选择合适的随机过程模型。
不同的问题对应着不同的随机过程模型，我们需要根据实际情况选择合适的模型。
其次，需要对模型进行求解和分析。
随机过程模型往往是复杂的，需要运用概率论和数理统计的方法进行求解和分析。
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程知识点总结
知识点总结第1章 概率论基础1.1概论空间随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。
其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果：（1）∈Ω （2）若∈A ，则∈A（3）若∈n A ，，， ,21n =则∈∞= 1n nA那么称为一事件域，也称为σ域.显然，如果是一事件域，那么（1）∈φ（2）若∈B A ,，则∈-B A（3）若∈n A ， ∞==1n n 2,1n A ，则，，定义 1.1.2 设Ω是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数)(⋅P 如果满足：（1）∈∀A 0)(,≥A P ，（2）1)(=ΩP ， （3）若∈n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则∞=∞=∑=11)()(n n n n A P A P那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω),P 为概率空间。
关于事件的概率具有如下性质：（1）;0)(=φP（2）若∈nA ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则ni ni i i A P A P 11)()(==∑=（3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=-（4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则（6）若∈A );(1)(,A P A P -=则（7）若∈n A ,,2,1, =n 则∞=∞=∑≤11)()(n n n i A P A P（8）若∈i A ,,,2,1,n i =则-===∑ ni ni i i A P A P 11)()(∑∑≤<≤≤<<≤--+-+nj i nk j i n n kj ij i A A A P A A A P A A P 11211)()1()()(一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递增的事件列，如果;,2,1,1 =⊂+n A A n n 一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递减的事件列，如果,2,1,1=⊃+n A A n n .定理1.1.1 设 ∈n A ,2,1,=n（1）若 ,2,1,=n A n 是单调递增的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P （2）若 ,2,1,=n A n 是单调递减的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P 定义1.1.3.设,(Ω),P 为一概率空间，∈B A ,.且,0)(>A P 则称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)|(A P ⋅符合定义1.1.2中的三个条件，即 （1）∈∀B , 0)|(≥A B P ；（2）;1)|(=ΩA P （3）设∈n B ,,2,1,,,,2,1, =≠==j j i B B n j i φ则∞=∞=∑=11)|()|(n n n n A B P A B P定理 1.1.2. 设，Ω( ),P 是一概率空间，有： （1）（乘法公式）若∈i A ，,,,2,1n i =且0)(121>-n A A A P ，则)|()()(12121A A P A P A A A P n =(2)（全概率公式）设∈A ,∈iB ,,2,1,0)(, =>i B P i 且∞=⊃=≠=1,,,2,1,,,,i i j i A B j i j i B B φ则∑∞==1)|()()(i i i B A P B P A P（3）（贝叶斯(Bayes)公式）且∈A ∈>i B A P ,0)(,，,,2,1,0)( =>i B P i且 ∞=⊃==1,,,2,1,,i i j i A B j i B B φ则,2,1,)|()()|()()|(1==∑∞=i B A P B P B A P B P A B P j jji i i定义 1.1.4设,(Ω ),P 为一概率空间，,,,2,1,n i F A i =∈如果对于任意的)1(n k k ≤<及任意的,12n i i i k i ≤<<<≤ 有)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =则称n 21,,,A A A 相互独立。
随机应用过程总结
随机应用过程总结概述随机应用过程是指通过使用随机数来进行某种应用程序的设计、开发和测试的过程。
在现代计算机科学中，随机应用过程是一个非常重要的主题，它在各个领域都有广泛的应用，比如密码学、模拟和机器学习等。
本文将对随机应用过程进行总结，包括随机数的基本概念、随机应用过程的意义以及常见的随机化算法等内容。
随机数的基本概念随机数是指在一定范围内按照一定的概率分布所选择出的数值。
在计算机领域中，随机数是由计算机生成的一系列看似无规律的数值。
为了生成随机数，计算机通常会使用一个被称为随机数生成器的程序或硬件设备。
随机数的特点是不可预测性和无重复性，这使得它在各个应用领域都有重要的作用。
随机应用过程的意义随机应用过程在现代计算机科学中具有重要的意义。
首先，随机应用过程可以用来进行模拟实验。
通过生成随机数来模拟某种现实世界的过程，可以得到各种随机事件的概率分布和统计特性，从而帮助研究人员做出科学决策。
其次，随机应用过程在密码学领域也有广泛的应用。
随机数的不可预测性和无重复性使得它成为密码学算法的重要组成部分，用来增强密码的安全性。
此外，随机应用过程还常常用于生成测试数据，以验证和调试应用程序的正确性和稳定性。
常见的随机化算法随机应用过程离不开一些常见的随机化算法。
以下是几种常见的随机化算法：1.线性同余法：线性同余法是一种简单的随机化算法。
它通过不断迭代地使用一个数学公式来生成随机数序列。
然而，这种算法容易出现周期性重复的问题，因此在实际应用中需要进行一些改进。
2.梅森旋转算法：梅森旋转算法是一种比较成熟且广泛使用的随机化算法。
它利用一系列位运算和移位操作来生成高质量的伪随机数。
梅森旋转算法在效率和随机性方面都取得了不错的平衡。
3.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于统计学的随机化算法。
它通过生成大量的随机数来模拟某种复杂的过程，从而得到所关心的量的估计值。
蒙特卡洛方法在计算机图形学、金融学和物理学等领域都有广泛的应用。
随机过程报告
随机过程报告在我们的日常生活和众多科学领域中，随机过程这一概念扮演着极其重要的角色。
它不仅是理论研究的关键领域，也在实际应用中发挥着巨大的作用。
随机过程，简单来说，就是一族随机变量，其取值会随着某些参数（比如时间）的变化而变化。
想象一下，我们在预测天气时，每天的天气状况并不是完全确定的，而是具有一定的随机性。
这种随着时间变化的不确定的天气情况，就可以看作是一个随机过程。
随机过程有着各种各样的类型。
比如，泊松过程就是其中一种常见的类型。
泊松过程通常用于描述在一定时间内某一事件发生的次数。
例如，在一段时间内到达某个服务窗口的顾客数量，或者某一时间段内网站的点击次数等。
另一个重要的随机过程是马尔可夫过程。
马尔可夫过程具有一个非常有趣的特性，那就是“无记忆性”。
这意味着未来的状态只取决于当前的状态，而与过去的历史无关。
就好像一个人在做决策时，只考虑当下的情况，而不受到之前所做决定的影响。
随机过程在通信领域也有着广泛的应用。
在信号传输过程中，由于存在各种干扰和噪声，信号的强度和质量会发生随机变化。
通过对这些随机变化的分析和建模，我们可以更好地设计通信系统，提高信号传输的可靠性和效率。
在金融领域，随机过程同样不可或缺。
股票价格的波动、汇率的变化等都具有随机性。
通过建立合适的随机模型，投资者可以对风险进行评估和管理，制定更合理的投资策略。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解随机过程。
假设我们有一个抽奖游戏，每次抽奖的结果是独立的，可能抽到奖品，也可能抽不到。
我们把每次抽奖看作一个时间点，抽到奖品记为 1，抽不到记为0。
那么随着抽奖次数的增加，这一系列的结果就构成了一个随机过程。
在研究随机过程时，我们会用到一些重要的概念和方法。
期望值和方差是两个常用的统计量，它们可以帮助我们了解随机变量的平均水平和波动程度。
而概率分布函数则描述了随机变量取不同值的概率。
为了更准确地描述和分析随机过程，我们还会使用一些数学工具，如微分方程和随机微分方程。
随机过程课程总结范文
随着科技的飞速发展，随机过程作为一门重要的数学工具，在现代科技诸多领域，如物理、化学、生物、通信、机电、自动化、地震、海洋及经济等学科中均有广泛应用。
本学期，我有幸参加了随机过程这门课程的学习，通过这段时间的学习，我对随机过程有了更为深入的理解和认识，以下是我对这门课程的总结。
首先，随机过程课程为我们系统地介绍了随机过程的基本理论及其应用。
课程内容丰富，涵盖了概率论、数理统计、信号与系统、复变函数、常微分方程等多个领域的知识。
在学习过程中，我们学习了概率论与数理统计的基础知识，了解了随机过程的基本概念、研究方法和应用技巧。
课程中，我们重点学习了泊松过程、高斯过程、马尔可夫过程、平稳过程、正态过程和布朗运动等基本随机过程。
通过对这些典型随机过程的学习，我们掌握了它们的特性、性质以及在实际应用中的体现。
例如，泊松过程在通信、排队论等领域有着广泛的应用；马尔可夫过程在经济学、生物学、社会学等领域有着重要的应用。
其次，随机过程课程强调应用性，着重于揭示随机过程基本概念的来源及背景，典型随机模型的提炼方法、特性刻画、应用背景及发展踪迹。
在课程中，我们学习了随机信号的功率谱分析、以随机信号作为输入的线性系统分析、以及窄带随机信号等应用问题。
这些知识为我们今后在相关领域的工作奠定了基础。
在学习过程中，我深刻体会到随机过程课程具有很强的实践性。
教师通过丰富的实例，引导我们分析实际问题，让我们在实际应用中体会随机过程的价值。
此外，课程还安排了大量的习题和实验，让我们在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
最后，随机过程课程的教学方法值得我们借鉴。
教师注重启发式教学，鼓励我们积极思考、勇于探索。
在教学过程中，教师善于将抽象的理论与实际问题相结合，使我们在理解理论的同时，也能将所学知识应用到实际中。
总之，通过学习随机过程课程，我对随机过程有了更为全面的认识。
这门课程不仅提高了我的数学素养，还让我了解了随机过程在各个领域的应用。
随机过程学习总结
随机过程学习报告通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。
在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。
一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目：设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。
若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。
分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。
解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。
则Y(t)=∑=)(0)n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程，)()(υϕn X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6)()t (υϕY =)1)((t )1(-γϕλX e由特征函数的唯一性可知，Y(t)不是泊松过程。
应用随机过程 综述
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计（论文）课程名称：应用随机过程设计题目：综述院系：电子与信息工程学院班级：09硕通信一班设计者：学号：指导教师：田波平设计时间：2009-11至2009-12哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学课程设计任务书特征函数在随机过程研究中的作用与意义1.特征函数的定义在介绍特征函数在随机过程研究中的作用和意义之前，首先介绍一下特征函数的定义。
特征函数是一个统计平均值，它是由随机变量X 组成的新的随机变量j X e ω的数学期望，记为：()()j X E e ωωΦ=（1）当X 为连续随机变量时，则X 的特征函数可表示成()()i Xi x Eef x e dx ωωω∞-∞Φ==⎰（2）其中()f x 为X 的概率密度函数。
对于随机过程的特征函数的定义与随机变量的特征函数的定义一致。
对任意时刻t ,随机过程的一维特征函数为：()(,)[](,)i X t i x X t E ef x t e dx ωωω∞-∞Φ==⎰（3）2.特征函数的性质以下本文不加证明的给出特征函数的几个性质：(1) |()|(0)1ωΦ≤Φ=；(2) 共轭对称性()()ωωΦ-=Φ；(3) 特征函数()ωΦ在区间(,)-∞∞上一致连续；(4) 设随机变量Y aX b =+，其中,a b 是常数，则()()ib Y X e a ωωωΦ=Φ；其中(),()X Y ωωΦΦ分别表示随机变量,X Y 的特征函数。
上式对于随机过程同样适用。
(5) 设随机变量,X Y 相互独立，又Z X Y =+，则()()()Z X Y ωωωΦ=ΦΦ；此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。
3.特征函数在随机过程研究中的作用与意义由于特征函数在随机过程中和随机变量中的定义是一致的，仅是将X 变为X (t ),将概率密度函数也做相应的变化即可。
随机过程课程期末论文总结
随机过程课程期末论文总结随机过程是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机现象的演变规律。
随机过程理论广泛应用于信号处理、金融工程、电气工程等领域，并在实践中取得了很多重要的成果。
本期末论文将对随机过程的基本概念、性质、应用以及未来发展进行总结和展望。
一、随机过程的基本概念和性质1. 随机过程的定义及基本性质随机过程是一组随机变量的集合，其演变满足一定的随机性和连续性条件。
随机过程可以用概率分布、自相关函数和谱函数等来描述其随机性和统计特性。
其基本性质包括平稳性、马尔可夫性、连续性等。
2. 常见的随机过程模型常见的随机过程模型包括白噪声过程、马尔可夫过程、泊松过程、高斯过程等。
每种模型适用于不同的应用场景，有些模型可以用于描述连续时间下的随机过程，有些则适用于离散时间下的随机过程。
二、随机过程的应用1. 信号处理中的应用随机过程在信号处理领域有着广泛的应用。
通过对信号的随机过程分析，可以研究信号的平均功率、自相关函数、谱函数等统计特性，从而实现信号识别、滤波、压缩等技术。
2. 金融工程中的应用随机过程在金融工程中的应用主要用于描述金融资产价格、利率等随机变量的演变规律，从而进行金融风险的度量和管理。
基于随机过程的衍生品定价模型和风险度量模型是金融工程中的重要研究内容。
3. 电气工程中的应用随机过程在电气工程中的应用主要体现在电力系统的输电过程中。
通过对输电线路上的随机过程分析，可以对线路的带宽容量、干扰噪声等进行优化和改进，提高电力传输的效率和可靠性。
三、随机过程的发展趋势1. 随机过程在人工智能领域的应用随机过程可以用于描述许多自然或人造系统中的状态演变，而人工智能系统的学习和决策往往依赖于对状态的模型化和预测。
因此，随机过程的理论和方法在人工智能领域有着潜在的应用前景。
2. 非平稳随机过程的研究传统的随机过程理论通常假设随机现象具有平稳性质，即在整个时间域上具有相同的统计特性。
然而，许多现实中的随机现象往往是非平稳的。
随机过程个人总结
随机过程个人总结随机过程是一个数学模型，用来描述随机现象的演化规律。
它在许多领域中都有广泛应用，在概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有重要的地位。
1. 定义和特征：随机过程是一族随机变量的集合，表示随机现象在不同时间发生的情况。
每个随机变量表示某个时刻或某个时间段内的随机事件的结果。
它具有两个维度：时间和状态。
2. 分类：根据状态空间的特征，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程的状态空间是离散的，而连续随机过程的状态空间是连续的。
根据时间的连续性，可以将连续随机过程分为时齐随机过程和时变随机过程。
时齐随机过程的统计特性不随时间变化，而时变随机过程的统计特性与时间有关。
3. 状态转移概率：随机过程的核心是状态转移概率，描述了随机过程在不同状态之间进行转移的概率。
状态转移概率可以用转移矩阵或转移函数表示，它描述了随机过程的演化规律。
4. 随机过程的性质：随机过程有许多重要的性质，包括平稳性、独立性、马尔可夫性、鞅性等。
这些性质可以帮助我们分析和理解随机过程的行为。
5. 应用：随机过程在概率论、统计学和工程学中有广泛的应用。
在概率论中，随机过程用于描述随机事件的演化过程。
在统计学中，随机过程用于建立模型和进行统计推断。
在工程学中，随机过程用于分析和设计系统，例如通信系统、控制系统和金融系统等。
总之，随机过程是一个重要的数学工具，可以帮助我们建立数学模型，描述和分析随机现象的演化过程。
它在各个领域中都有广泛应用，并且具有丰富的理论基础和实际应用价值。
大学应用随机过程完整版
k
概率空间
0 P ( A)
k A
e
λ
λ λ λ e 1; k ! kΩ k!
k
k
3) 设 Ai F , ( i 1,2, ), Ai A j , ( i j ),
k λ λ 有 P Ai e k! i 1 k Ai
概率空间
1) P(φ)=0; 2)有限可加性: 若
Ai F , i 1,2, , n; Ai A j , ( i j )
则
n P Ai i 1
P ( A );
i 1 i
n
推论1: P ( A ) P ( A ) 1;
推论2 (单调性):若 B A ，则
概率空间
Ex.1 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件. 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为
Ak { k }
样本空间为
( k 1,2, , n )
Ω {1,2, , n}
构造如下事件: Ak , s Ak As k , s 1,2, , n , Ai , k , s Ai Ak As i , k , s 1,2, , n ………
i 1 i 1
i 1
i 1
概率空间
4.对差运算封闭,即若 A F, B F,则 A B F.
A B A B F
二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义(概率)：设(Ω, F )是一可测空间,对A F 定义在F上的实值集函数P(A), 满足 1) 非负性：对 A F, 0 P ( A) 1; 2) 规范性:P(Ω) = 1;
应用随机过程学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除应用随机过程学习心得篇一：随机过程知识点总结第一章：考试范围1.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布x~n(0,1)的矩母函数.3、计算标准正态分布x~n(0,1)的特征函数.第二章：1.随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2.宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3.独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件1、设随机过程Z(t)?x?Yt，t??.若已知二维随机变量(x,Y)的协方差矩阵为??12??，求Z(t)的协方差函数.?22?2、设有随机过程{x(t),t?T}和常数a，Y(t)?x(t?a)?x(t)，t?T，计算Y(t)的自相关函数（用Rx(s,t)表示）.3、设x(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，其中Z1,Z2~n(0,?2)是独立同分布的随机变量，?为实数，证明x(t)是宽平稳过程.4、设有随机过程Z(t)?xsint?Ycost，其中x和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明Z(t)是宽平稳过程.第三章：1.泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算2.与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3.复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设{n(t),t?0}是参数??3的poisson过程，计算：(1).p{n(1)?3}；(2).p{n(1)?1,n(3)?3}；(3).p{n(1)?2n(1)?1}.2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数.假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1)．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；(2).在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程，已知商店9：00开门，试求：(1).在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2).若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
概率统计与随机过程 知识点总结--最终版
《概率统计与随机过程》知识总结第1章 随机事件及其概率一、随机事件与样本空间 1、随机试验我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验， （1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；（2）多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知； （3）随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。
随机试验一般用大写字母E 表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。
2、样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S ，样本空间中的元素，即E 的每个基本结果，称为样本点。
3、随机事件称随机试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件。
随机事件通常利用大写字母A 、B 、C 等来表示。
在一次试验中，当且仅当这一子集（事件）中的某个样本点出现时，称这一事件发生。
特别地，将只含有一个样本点的事件称为基本事件；样本空间S 包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S 为必然事件；事件∅（S ∅⊂）不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称∅为不可能事件。
4、随机事件间的关系及运算（1）包含关系：若B A ⊂，则称事件A 包含事件B ，也称事件B 含在事件A 中，它表示：若事件B 发生必导致事件A 发生。
（2）相等关系：若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记为A B =。
（3）事件的和：称事件{|A B x x A ⋃=∈或}x B ∈为事件A 与事件B 的和事件。
事件A B ⋃发生意味着事件A 发生或事件B 发生，即事件A 与事件B 至少有一件发生。
类似地，称1n i i A =⋃为n 个事件12n A A A ⋯、、、的和事件，称1i i A ∞=⋃为可列个事件12 A A ⋯、、的和事件。
（4）事件的积：称事件{|A B x x A ⋂=∈且}x B ∈为事件A 与事件B 的积事件。
事件A B ⋂发生意味着事件A 发生且事件B 发生，即事件A 与事件B 都发生。
应用随机过程报告
马尔可夫链的研究及其在证券价格预测上的应用12121177 洪星12121395 赫威12121236 张前飞12121648 崔政一. 引文马尔可夫链是一种时间离散、状态离散的随机过程，是预测问题中常用的一种数学模型。
我们在对实际问题的研究中经常会遇到随时间变化而持续变化的各种过程，其中一部分的变化过程与过去有着紧密的联系，比如人口增长问题，稳定的人口增长必定会由一段时间前的人口结构情况所影响；而另一部分的变化过程则与过去并没有联系，下一步的变化只与现在的变化有关联，比如分子的无规则运动就是马尔可夫过程的连续化下的情况。
而在证券市场中，由于政策以及各种信息的干扰，往往两个相同的政策在不同时间出台后的效果并不一样，甚至可能完全相反，这取决于当前情况下的各种因素。
因此，对于股票价格的预测符合马尔科夫过程的情况。
二. 正文(一) 马尔可夫过程的基本原理按照系统的发展，时间可离散化为n=0,1,2,3…i,…，对每个系统的状态可以用随即变量来表示，并且对应一定的概率，称之为状态概率。
当系统由某一个阶段的状态转移到下一个阶段的状态时，在这个转移过程中，存在着转移的概率，称之为转移概率。
如果转移概率只与目前相邻两状态的变化有关，即下阶段的状态只与现在状态有关，而与过去无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移系统过程，成为马尔可夫过程。
设{X n,n=0,1,2,3……}是一个状态空间为离散，参数为非负的随机过程，那么{X n}满足P{X(n+1)=j|X0=i0,X1=i1,…,X n−1=i n−1,X n=i}=P{X(n+1)=j|X n=i}就称{X n}为马尔可夫链。
有限维马尔可夫链的概率可以用下列算式描述：P{X0=i0,X1=i1,…,X n−1=i n−1,X n=i n}=P{X(n+1)=j|X(0)=i0,X(1)=i1,…,X(n−1)=i n−1} P{X(0)=i0,X(1) =i1,…,X(n−1)=i n−1}=P X n=j X n−1=i n−1…P{X(1)=i1|X0=i0}P{X0=i0}为详细描述马尔可夫链的概率分布，可以用初始概率P{X0=i0}和条件概率P X n=j X n−1=i来表示。
应用随机过程期末总结
应用随机过程期末总结随机过程是概率论的一个重要分支，主要研究随机变量的规律性和演化规律。
应用随机过程是将随机过程的模型与实际问题相结合，通过建立数学模型和分析求解的方式，研究真实世界中的随机现象和现象演化规律。
本文将对应用随机过程的相关内容进行总结和归纳。
一、随机过程的基本概念和性质随机过程是一类函数族，它的每一个函数都是随机变量，且这些随机变量之间相互依赖。
随机过程可以用集合函数、分布函数、概率密度函数和特征函数等来描述。
随机过程的性质主要包括平稳性、独立性、连续性和马尔可夫性。
其中，平稳性是指随机过程的统计规律不随时间变化而变化；独立性是指随机变量之间相互独立；连续性是指随机过程的样本函数是连续函数；马尔可夫性是指过程的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
二、随机过程的分类随机过程可以分为离散时间过程和连续时间过程两种类型。
离散时间过程是在离散时间点上对随机变量的观测结果进行描述的；连续时间过程是在连续时间上对随机变量的观测结果进行描述的。
离散时间过程主要包括马尔可夫链和泊松过程。
马尔可夫链是一类具有马尔可夫性的离散时间过程，其中状态空间是有限或可列的；泊松过程是一类具有独立增量和无记忆性质的离散时间过程，广泛应用于生物学、通信网络和金融等领域。
连续时间过程主要包括布朗运动和随机微分方程。
布朗运动是一类具有无记忆性、连续性和高斯性质的连续时间过程，广泛应用于金融工程、物理学和生物学等领域；随机微分方程是描述随机过程演化规律的一种数学工具，广泛应用于自然科学和工程技术中。
三、应用随机过程的数学模型应用随机过程主要通过建立数学模型来描述和分析真实世界中的随机现象。
常用的数学模型包括马尔可夫过程、排队论、随机网络和信号处理等。
马尔可夫过程是一类具有马尔可夫性质的随机过程，广泛应用于工程技术和经济管理等领域。
排队论是研究顾客到达和被服务时间的随机过程，广泛应用于交通运输、通信网络和生产管理等领域。
应用随机过程知识点
应用随机过程知识点引言随机过程是概率论中一个重要的概念，它描述了随机事件随时间的演变规律。
应用随机过程的知识点在各个领域都有着广泛的应用，例如金融、电信、物流等。
本文将介绍应用随机过程的几个重要知识点，并逐步展开思路，帮助读者理解和应用这些知识点。
1. 马尔科夫链马尔科夫链是一个离散状态随机过程，其特点是未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这个特性使得马尔科夫链成为许多实际问题的建模工具。
下面我们通过一个简单的例子来说明。
假设有一个赌徒每天可以处于三种状态之一：破产、中等偏下和富有。
假设他的状态在每一天有以下转移概率： - 从破产到中等偏下的概率为0.6，到富有的概率为0.4； - 从中等偏下到破产的概率为0.3，到富有的概率为0.2； - 从富有到破产的概率为0.1，到中等偏下的概率为0.4。
我们可以用一个马尔科夫链来描述这个赌徒的状态转移过程。
首先，我们定义一个状态空间：S = {破产，中等偏下，富有}。
然后，我们可以构建一个状态转移矩阵，记为P，其中P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
根据上述例子，我们可以得到如下状态转移矩阵：P = [[0,6 0.3 0.1][0.4 0 0.4][0.4 0.2 0]]通过这个状态转移矩阵，我们可以计算赌徒在未来几天内处于各个状态的概率分布。
这个例子简单地展示了马尔科夫链的应用，它可以帮助我们理解系统的演化规律，并对未来的状态进行预测。
2. 泊松过程泊松过程是一个连续时间的随机过程，它描述了某个事件在一段时间内发生的次数，满足以下几个特性： - 事件在任意时间间隔上的发生次数是独立的； - 事件在不重叠的时间间隔上的发生次数是互不影响的； - 在一个很小的时间间隔内事件的发生概率是与时间间隔的长度成正比的。
泊松过程在实际应用中经常用于模拟和分析各种事件的到达过程，例如电话呼叫、网络流量等。
下面我们通过一个简单的例子来说明泊松过程的应用。
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第一章随机变量基础1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。
这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
2 全概率公式的含义？答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。
3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。
概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。
4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。
5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。
6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。
因此，描述或刻画一个随机变量时，还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。
应用随机过程读书札记
《应用随机过程》读书札记目录一、内容概览 (2)1.1 书籍简介 (2)1.2 读书目的与意义 (3)二、随机过程基本概念 (4)2.1 随机过程定义 (5)2.2 随机过程的分类 (6)2.3 随机过程的基本特性 (7)三、随机过程理论框架 (8)3.1 随机过程的数学描述 (10)3.2 随机过程的概率分布 (12)3.3 随机过程的统计特性 (13)四、应用随机过程的实例分析 (15)4.1 排队理论 (16)4.2 通信系统中的应用 (17)4.3 金融市场的随机过程 (19)4.4 生物医学领域的随机过程 (21)五、随机过程的时间序列分析 (22)5.1 时间序列的基本概念 (23)5.2 时间序列的模型分析 (25)5.3 时间序列的预测与滤波技术 (26)六、随机过程在信号处理中的应用 (28)6.1 信号检测理论中的随机过程概念 (29)6.2 随机过程在通信信号处理中的应用实践探索及问题应对思考30一、内容概览《应用随机过程》一书系统地介绍了随机过程的基本理论、方法和应用，涵盖了随机过程的基本概念、性质、模型以及分析方法等多个方面。
本书首先介绍了随机过程的基本概念，包括随机过程的概念、分类和参数表示等。
详细阐述了随机过程的性质和基本定理，如随机过程的平稳性、独立性、马尔可夫性等。
本书重点讲解了各种常见的随机过程模型，如泊松过程、维纳过程、指数过程、负指数过程等，并探讨了它们的性质和适用场景。
本书还介绍了随机过程的分析方法，包括随机过程的遍历性、收敛性等，并给出了相关的证明和评注。
在本书的作者还展望了随机过程在实际应用中的前景，包括金融工程、物理学、生物学、通信工程等领域中随机过程的应用案例。
通过阅读本书，读者可以更好地理解和应用随机过程的理论和方法，为实际问题的解决提供有力的支持。
1.1 书籍简介《应用随机过程》是一本关于随机过程理论及其在实际问题中的应用的经典教材。
本书由美国著名数学家、教育家、概率论和统计学家乔治伯努利(George B. Numerov)和美国著名物理学家、工程师约翰韦斯利克拉克(John Wesley Clark)共同编写。
应用随机过程讲义汇总
应用随机过程讲义汇总随机过程是概率论中非常重要的一个分支，也是应用广泛的一个数学工具。
随机过程可以理解为随机变量在一些时间区间内的演化过程，它描述了随机现象随时间的变化规律。
随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程又可以分为离散参数随机过程和连续参数随机过程。
离散参数随机过程中，时间是离散的，状态空间也是离散的，比如投掷硬币的结果可以看作一个离散参数随机过程。
连续参数随机过程中，时间是连续的，状态空间可以是离散的或者连续的，比如一个时刻的温度可以看作一个连续参数随机过程。
随机过程有多种模型，其中最简单的是马尔可夫过程。
马尔可夫过程是指随机过程中，下一时刻的状态只依赖于当前的状态，与过去的状态无关。
马尔可夫过程的一个典型应用是随机游走模型，比如一维随机游走。
在一维随机游走中，每一步都向左或者向右移动一个单位，每一步的概率是相同的。
可以证明在一维随机游走中，如果步长的期望是0，那么在趋于无穷的步数中，游走的位置将趋于正态分布。
在实际应用中，随机过程可以用于建立模型并进行预测。
例如，在金融领域中，布朗运动是一种用于预测股票价格变化的随机过程模型。
布朗运动具有随机性和连续性的特点，可以描述价格在时间上的波动。
通过对历史价格数据进行分析，可以拟合出布朗运动的参数，并用于未来价格的预测。
随机过程也可以用于优化问题的建模。
例如，在生产线上，由于各种因素的随机变化，生产速度可能会有一定的波动。
如果想要最大化生产线的效率，可以将生产速度建模为一个随机过程，并使用最优化方法找到最佳的生产策略。
除了上述的应用，随机过程还被广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统、生物学、物理学等领域。
随机过程不仅可以用于描述随机现象，还可以进行建模和预测，为实际问题的解决提供了有效的数学工具。
综上所述，随机过程作为概率论的一个重要分支，在实际应用中具有广泛的应用前景。
通过对不同类型的随机过程及其模型的学习和理解，可以更好地应用随机过程解决实际问题。
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应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。
1、概率空间方面，主要掌握sigma 代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。
符号解释： sup 表示上确界， inf 表示下确界。
本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。
其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的 N 阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。
3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。
条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。
因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由 Kolmogorov 定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。
同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。
1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1) 和 X(t2) 的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t) 的协方差函数 r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。
因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。
2、独立增量过程：若 X[Tn] – X[T(n-1)] 对任意 n 均相互独立，则称 X(t) 是独立增量过程。
若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
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应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。
1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。
符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。
本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。
其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。
3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。
条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。
因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。
同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。
1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。
因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。
2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。
若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
3、随机过程的分类不是绝对的。
例如，泊松过程既具有独立增量又有平稳增量，既是连续时间的马尔科夫链，又是一类特殊的更新过程。
参数为lambda 的泊松过程减去其均值函数同时还是一个鞅。
三、泊松过程计数过程｛N(t), t>=0｝是参数为λ的泊松过程（λ> 0），具有平稳独立增量性。
而其任意时间长度t发生的次数服从均值为λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。
1、与泊松过程有关的若干分布：Xn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，定义Tn表示第n次事件发生的时刻，规定T0= 0。
其中，Xn服从参数为λ的指数分布，且相互独立。
泊松过程在任何时候都是重新开始。
Tn服从参数为n和λ的Γ分布四、更新过程更新过程{N(t),t>=0}中Xn仍保持独立同分布性，但分布任意，不再局限于指数分布。
更新过程中事件发生一次叫做一次更新，此时Xn就是第n-1次和第n次更新相距的时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数。
由强大数定理可知，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生。
因此，有限长时间内最多只能发生有限次更新。
1、更新函数：更新理论中大部分内容都是有关E[N(t)]的性质。
以M(t)记为E[N(t)]，称为更新函数。
此时，M(t)是关于t的函数而不是随机变量。
2、更新方程：若H(t)，F(t)为已知，且当t<0时，H(t)与F(t)均为0，同时当H(t)在任何区间上有界时，称具有如下形式的方程K(t) = H(t) + intergral(K(t-s)*dF(s))的方程称为更新方程。
当H(t)为有界函数时，更新方程存在唯一的有限区间内的有界的解K(t) = H(t) + intergral(H(t-s)*dM(s))。
3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、关键更新定理。
其中Blackwell定理指出，在远离原点的某长度为a的区间内，更新次数的期望是a/u，u = E(Xn)。
同时，Smith关键更新定理与Blackwell定理等价。
五、马尔科夫链马尔科夫链中的转移概率为条件概率，同时给定过去的状态X0，…，Xn-1和现在的状态Xn，将来的状态Xn+1的条件分布与过去的状态独立，只依赖于现在的状态。
其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}为马尔科夫链的一步转移概率，它代表处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率。
当转移概率Pij只与状态i，j有关而与n无关时，称为时齐马尔科夫链，同时当状态有限时，称为有限链。
转移概率矩阵中概率非负，同时随机矩阵中每一行的元素和为1。
记Pij(n)为n步转移概率，它指系统从状态i经过n步后转移到状态j的概率，而对中间n-1步转移经过的状态无要求。
对n步转移概率和转移矩阵，有C-K方程公式。
1. 状态的分类和性质：如果状态i经过n步转移后到达j的概率大于0，称状态i可达状态j。
若同时状态j可达状态i，则称i与j互通，两两互通的状态有传递性。
我们将互通的各个状态归为一类，自己和自己互通，当一个马尔科夫链中只有一类时称为不可约类，否则则是可约类。
如果状态i可以经过n步回到i状态，则将所有n的最大公约数记为状态i的周期，即d(i)，如果d>1，则称i是周期的，如果d=1则为非周期，空集时为无穷大。
同属于一类的两状态周期相同。
记状态i出发经n步后首次到达j的概率为Fij(n)，则所有可能n的概率Fij(n)加起来的和记为Fij。
若Fij=1，i为常返状态，Fij< 1，i为非常返状态或瞬时状态。
对于常返状态i，记Ui为从i第一次回到i的期望步长，若Ui有限，称i为正常返状态，若趋于无穷大，则为零常返状态。
若正常返状态i同时还是非周期的，则称之为遍历状态。
若遍历状态且Fii(1)=1，则称为吸收状态，此时Ui=1。
对于同属于一类的状态i，j，他们同为常返状态或非常返状态，并且当他们是常返状态时，又同为正常返状态或零常返状态。
状态i至j的n步转移概率与首达概率间存在一定关系。
同时若i与j互通且i为常返状态，则Fji = 1。
2. 极限定理及平稳分布：马尔科夫链的极限情况即状态i经过无穷多步转移后到达i的概率是多少。
有结论，若状态i是周期为d的常返状态，则Pii(nd) = d/Ui，即经过无穷多步后回到i的概率为常数，上述定理对Pij也有效。
同时，不可约的有限马尔科夫链是正常返的。
若对于马尔科夫链Pj = P(Xn = j) = sum(Pi*Pij)，则概率分布Pj为平稳分布。
因为此时，对于任意Xn均有相同的分布。
同时，对于遍历的马尔科夫链，极限分布就是平稳分布并且还是唯一的平稳分布。
极限分布即为很长时间后，无论最开始状态如何，最终达到某一状态的概率。
若对于遍历的马尔科夫链，该概率是稳定的趋于常数。
3. 连续时间马尔科夫链、Kolmogorov微分方程六、鞅鞅的定义是从条件期望出发，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略依赖于前面的赌博结果，赌博是“公平的”。
因此，任何赌博者都不可能通过改变赌博策略将公平的赌博变成有利于的赌博。
如果将“鞅”描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了“有利”赌博与“不利”赌博。
随机过程｛Sn, n>=0｝称为Fn=sigma{X0,X1,…,Xn}适应的，如果对任意n>=0，Sn是Fn可测的，即Sn可以表示为X0,X1,X2,…,Xn的函数1. 鞅的停时定理：任意随机函数T是关于{Xn，n>=0}的停时，即{T=n}应由n时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况，同时T必须是一个停时。
同时，{T<=n}和{T>=n}也由n时刻及其之前的信息完全确定。
若T和S是两个停时，则 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停时。
则在一直Fn完全信息的前提下，有界停时的期望赌本与初始赌本相同。
特别的，当完全信息未知时，有界停时的期望赌本与初始赌本的期望相同。
2. 鞅的一致可积性：如果对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意A，当P(A)<δ时，有E(|Xn|Ia) <ε对任意n成立。
一致可积条件一般较难验证，因此存在两个一致可积的充分条件。
3. 鞅的收敛定理：在很一般的情况下，鞅｛Mn｝会收敛到一个随机变量。
即对于｛Mn, n>=0｝是关于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常数C有限，使得E(|Mn|)<C对任意n成立，则当n趋近于无穷大时，｛Mn｝收敛到一个随机变量Mx。
只有当 Mn一致可积时，才有E(Mx)=E(M0)。
4. 连续鞅：停时定理，收敛定理。
七、布朗运动若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平稳独立增量，对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0, t)称之为标准布朗运动。
布朗运动的二次变差[B,B](t) = t。
布朗运动是满足以下三点性质的随即过程，即对于B(t)-B(s) ~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布。
当s=0时，B(t)-B(0)~N(0,t)。
并且，对任意0& lt;=s<t，B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u)，0<=u<=s。
同时，B(t)(t>=0)是t的连续函数。
由于布朗运动在有限维分布是空间平移不变的空间齐次性，只需研究始于0的布朗运动即可。
1. 高斯过程：有限维分布是多元正态分布的随机过程。
布朗运动是一种特殊的高斯过程，即B(t)的任何有限维分布都是正态的。
2. ｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2 - t｝是鞅：即如果连续鞅｛X(t)｝使得｛X(t)^2 - t｝也是鞅，则｛X(t)｝是布朗运动。
3. 布朗运动｛B(t)｝具有马尔科夫性，容易得到B(t+s)在给定条件Ft=sigma(B(0),B(1),…,B(t))下的分布与在给定条件 B(t)下的分布是一致的。
同时由布朗运动具有时齐性，即分布不随时间的平移而变化可知，布朗运动的所有有限维分布都是时齐的。
4. 布朗运动的最大值变量及反正弦率：即求始于y点的布朗运动在区间(a,b)中至少有一个零点的概率为布朗运动的反正弦率。
5. 几何布朗运动X(t) = exp｛B(t)｝为几何布朗运动。
在金融市场中，人们经常假定股票价格是按照几何布朗运动而发生变化。
八、随机积分1. 布朗运动的积分，Ito积分过程，Ito公式，随机微分方程2. Black-Scholes模型。