数域的判定

题目：数域的判定

研究问题：数域

方法：定义法

例题：

例1.证明两个数域之交是一个数域

设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0,

则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域.

例2.证明两个数域“之并”未必是数域.

如：

A={x|x=a+b√2,a,b∈Q}

B={x|x=a+b√3,a,b∈Q}

看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域

例3.判断下列说法是否正确。

（1）自然数集N及整数集Z都不是数域。

解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。

（2）奇数集不是数域。

解：对的

例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。

方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.

用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式. 由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.

依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.

而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.

且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.

因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.

多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),

于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.

所以f(x)不可约.

例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵

由已知,存在可逆矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE

所以 A = Q(aE)Q^-1 = aQQ^-1 = aE

例6.设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵

由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）

又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为λ-a

故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)

故存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,a,...,a)=aE（此也为定理）

故A=PaEP^(-1)=aE

例7.设 A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 A^T相似

设x1 x2 .xn 为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1,x2,...,xn] 其是可逆的

则有 X^(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)

又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)

故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX

进而有 (XX')A'(XX')^(-1)=A

故有A和A' 相似

例8.设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵T使得T^-1AT为上三角矩阵.

证明：

设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似, 即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,

J1 λi 1

J2 λi

J= .Ji=.1

Jn 为Jordan标准型,而λi ,i=1,2,...,s

由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.

又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有

P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)

由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.

证毕.

例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，A与B是V的线性变换，B可对角化，A B-BA=A,证：存在正整数m，使得A的m次幂是零变换

证明：对B的任何一个特征向量X, 设BX = λX, 即X是B的属于特征值λ的特征向量. 由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX, 故λAX-BAX = AX, B(AX) = (λ-1)AX.

若AX非零, 则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.

重复上述过程, 若A²X非零, 则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.

依此类推, 直至第n次: 若(A^n)X非零, 则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量. 但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值λ, λ-1,..., λ-n.

所以对某个k ≤ n, 有(A^k)X = 0, 从而也有(A^n)X = 0.

由B可对角化, 其特征向量构成V的一组基.

A^n在V的一组基上都取0, 所以A^n = 0.

例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：

①A可逆则A无0特征值；

②A可逆，则A－1与A有相同的特征向量，若λ0为A的特征值，则λ0-1为A-－1的特征值

证明：（1）用反证法。若λ＝0是特征值，ξ是对应的特征向量，那么：

Aξ＝λξ＝0

于是，一方面：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)[0]=0

另一方面：A^(-1)[Aξ]=[A^(-1)A]ξ=ξ≠0

这就得出矛盾。因此，A可逆则A无0特征值。

（2）设ξ是λ0对应的特征向量，那么： Aξ＝λ0ξ

两边作用A^(-1)得：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)λ0ξ

λ0A^(-1)ξ=ξ

A^(-1)ξ=(1/λ0)ξ

即：λ0-1为A-－1的特征值

注意事项及反思：数域是高等代数中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、欧式空间、双线性函数等都是在一定数域的基础上建立起来的，所以做题时一定要注意是哪种数域。