运动方程、位移、速度、加速度
大学物理-运动学
x
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形 象，有很广泛的应用。
M M0
A
ω
ωt
O
φ x P
X
M
A
P x
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
第五节 抛体运动
第五节
抛体运动
将一质点以仰角θ抛射出 去，其初 速度为 v0，不计 空气阻力，此质点有一垂直 向下的恒加速度 g，研究质 点的运动情况。 解: 设 x 轴平行于水平面，
y 轴垂直向上，质点在 t = 0 时位于原点被抛出。 v0 在X轴和Y轴上的投影分别是 V0x=V0cosθ, V0y=V0sinθ 物体的加速度为: a = g = -g j 在水平方向加速度分量为零，物体作匀速运动，在垂 直方向加速度分量为-g 物体作垂直上抛运动, 因此 Vx=V0cosθ , Vy=V0sinθ - g t
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步
0
A1 A2
相位差的问题 x 1= A cos( t +φ 1 ) ω x 2 = A cos ( t +φ 2 ) ω 若周相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步 若周相差Δ Φ = π 称两振动反相
已知运动方程求位移
已知运动方程求位移要求解运动方程以求得位移，我们首先需要了解什么是运动方程和位移。
运动方程是描述物体在运动过程中位置随时间变化的数学关系式。
它可以是直线运动方程（如匀速直线运动方程或变速直线运动方程），也可以是曲线运动方程（如抛体运动方程或牛顿运动方程等）。
位移是指一个物体从初始位置移动到最终位置的距离和方向。
我们以直线运动为例进行讨论。
直线运动方程可以分为匀速直线运动和变速直线运动。
1.匀速直线运动匀速直线运动是指物体在运动过程中速度保持不变。
设物体的初始位置为x0，速度为v，则运动方程可以表示为：x = x0 + vt其中，x为运动物体在任意时刻的位置，t为时间。
位移的大小等于时间与速度的乘积，而位移的方向与速度的方向一致。
比如，一个人以12m/s的速度向前移动了5秒，我们可以使用上述直线运动方程计算他的位移。
x = x0 + vtx=0+12m/s*5sx=60m所以，这个人的位移是60m，表示他在5秒内向前移动了60米。
2.变速直线运动变速直线运动是指物体在运动过程中速度随时间而变化。
设物体的初始位置为x0，初始速度为v0，加速度为a，则运动方程可以表示为：x = x0 + v0t + (1/2)at^2其中，x为运动物体在任意时刻的位置，t为时间。
位移的大小等于初始速度与时间的乘积加上(1/2)加速度与时间的平方的乘积，位移的方向与速度的方向一致。
比如，一个物体的初始位置为10m，初始速度为3m/s，加速度为2m/s^2，我们可以使用上述直线运动方程计算它的位移。
x = x0 + v0t + (1/2)at^2x=10m+3m/s*t+(1/2)*2m/s^2*t^2如若求解物体在5s内的位移，代入t=5s：x=10m+3m/s*5s+(1/2)*2m/s^2*(5s)^2x=10m+15m+25mx=50m所以，这个物体在5秒内的位移是50m，表示它从初始位置向前移动了50米。
对于其他类型的运动方程，如抛体运动方程或牛顿运动方程等，求解位移的方法与上述方法类似，只是运动方程的形式可能有所不同。
大学物理 第一章(1)
a
v2 R
n0
dv dt
t0
R―曲率半径
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？
如B 点 at 0 , an g ,v B v 0cosθ
RB
v2
B an
(v 0cosθ)2
g
y v
B
思考
· a4 v
· a1
a·2
O
a3
O
x C
上图中分别是什么情形？ a4情形是否存在？
(2)物体各点运动情况相同
本课程力学部分,除刚体外,一般都可视为质点.
2 位置矢量（position vector of a particle）
表征某时刻质点位置的矢量, 简称位矢或矢径
r xi yj zk
r 位矢 的大小:
y
r r x2 y2 z2 r 位矢 的方向余弦:
a
ddtv
20
2
sin2ti
16
2
t 1s
cos 2tj
dt
t 1s
16 2 j (m / s2 )
x 5 sin2t
x2 y2
{
y 4 cos 2t
52 42 1
解题思路：
位移（求矢量差）
1 运动方程 轨道 方程（消去t）
：
an
v2 R
n0
（改变速度方向）
切向加速度(tangential acceleration)
：at
dv dt t0
v
aτ
（改变速度大小）
v2 dv a R n0 dt t0
第2次课质点力学基础0211级
H
v0 sin 0
2 2
R
v0 sin 2 0
2
2g
g
§1.2 位移、速度、加速度
三.加速度(矢量)：速度变化快慢
1.平均加速度与(瞬时)加速度
a v t
a
dv dt
d r
2
dt
2
2.直角坐标系中的加速度
a
dv
dv x dv y dvz i j k dt dt dt dt
例1.某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风
以相同的速率从北偏东30°方向吹来，问人 感到风从哪个方向吹来？ 北 v人地 v地人 解：
v风人 v风地 v地人
v风人
v风地
v风人
v风地 v人地
答：人感到风从北偏西30°方向吹来
例2．一质点沿半径为R的圆周运动，角位 置可用 2 3t 4t 3 表示。求t时刻质 d 点运动的： 2
3.自然坐标系中的加速度 v
a lim
t 0
RA
A
B vA
lim
t 0
t v1
t 0 t t an a an n a
lim
v 2
v 2 vB
dv n R dt a n为法向加速度， a 为切向加速度 v
3 12t
① 角速度和角加速度大小；
dt d
② 法向和切向加速度大小； dt 24t
an v
2
R R( 3 12t )
2
2
2
R
a R 24Rt
例3．一质点沿半径为R=1m的匀加速圆周 运动，由静止开始经3秒速率达到 6 m s。 ①求该时刻质点的加速度和角加速度；
(1)位移、速度、加速度教程
变形及转动显得并不重要)。
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
位移、速度、加速度、运动学的两类基本问题 总结
描述物体运动的步骤
选择合适的参考系，
以方便确定物体的运动性质；
建立恰当的坐标系，
以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型，
y
r
P
P
z r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
分量式
2 运动方程
o
y (t )
x
y
r (t )
z (t )
从中消去参数 t 得轨迹方程
z z (t )
o
x(t )
f ( x, y, z) 0
z
x
位移、速度、加速度、运动学的两类基本问题
位移、速度、加速度、运动学的两类基本问题 3、坐标系(coordinate system)
为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用 一个坐标系。 比如 位置矢量 确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 位置矢量, 简称位矢 r .
y
y
o z k
j、 式中 i 、 k 分别为x、y、z
以突出问题中最基本的运动规律。
位移、速度、加速度、运动学的两类基本问题
二、描述物体运动的物理量 1. 位置矢量(position vector) 确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 位置矢量, 简称位矢 r .
在三维直角坐标中，
P
r
O
Γ
(t )
y
j、 式中 i 、 k 分别为x、y、z
参考系运动方程位移速度加速度
v
ds dt
et
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿
该点曲线的切线方向.
v
dx
i
dy
j
dt dt
v
vxi
vy
j
y v y
v
若质点在三维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
o
v x
x
▲讨论
v 瞬时速率：速度 的大 小称为速率
解 (1) v kx, v dx dt
所以 v dx kx dx kdt
dt
x
两边同时积分:
x dx
t
x
k dt ln kt
x0 x
0
x0
得
x x0ekt
(2) 由 v kx kx0ekt
得
a
dv dt
kx0 ( k )e kt
v l v l v
vR
t R t
a lim v dl v v2 t0 t R dt R
方向： v 的极限方向 指向圆心
v2
B v1
R
l
o
A
相似三角形
v2v v1
2、变速率圆周运动
a lim v lim v2 v1 t0 t t0 t
v0t
H
1
gt 2
2
消去t可得轨迹方程：
O
X
y
H
1 2
g
x2
大学物理-运动学
A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡 位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分 之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： Δ φ = ω Δ t ω=2π/ T Δt=Δφ/ω = (π /6)/(2 π / T) A A/2 π /6 =Δ φ = T/12 O X 答案 （B）
的速率为 –v0
r = r=
1-7 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从 同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行 驶的距离 x （m）与行驶时间 t （s）的函数关系式 ：A为 xA=4t+t2 ，B为 xB =2t2 +2t3 ，试问： （1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？ （2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同 ？ （3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零 ？ 解：（1）时间从 0 到 △t→0 ，x = 0+ △x = v △t xA（ △t ）= vA |t=0 △t = 4 △t xB（ △t ）= vB |t=0 △t = 0 △t = 0 所以，A 车行驶在前面。
1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程 的关系为： v = 1 + S2 （m/s） 试求： 切向加速度 at 用路程 S 来表示的表 达式。 解： a t = dv / dt = 2SdS / dt = 2Sv = 2S（1 + S2 ） （m/s2）
1-16 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m 。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程 和速度。 Y 解：设某一时刻梯子的位置如图 y A 由几何关系得：x2 = L 2 - y2 L 因为 A点匀速下滑，所以 B y = yo -vot = 4 - 2t X O x 2 =L2 - y2 = 52 -（4 - 2t）2 故：x （1）运动方程：x2 = 9 + 16t - 4t2 (m) （2）两边对时间求导：2xdx/dt = 16 - 8t vx = dx/dt =（8 - 4t）/x =（8 - 4t）/（9 + 16t - 4t2）1/2 (m/s)
大学物理1-(1-2)参考系、运动方程、位移、速度加速度
–
8
第多一普编勒：效力应 学
第十五章
(Mechanics)
机械波
“我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因 为哲学的全部责任似乎在于从运动去研究力，然 后从这些力去说明其它现象。”
牛顿《自然哲学的数学原理》
牛顿贡献：力学、热力学、电动力学、色动 力学、光学、光的微粒说、微积分等等
力学---研究物体机械运动的科学。
机械运动---物体相对位置或自身各部份的 相对位置发生变化的运动。
15 – 8 多普勒效应
机械运动的基本运动形式：
第十五章 机械波
1平动--- 物体上任一直线恒保持平行的运动； 2定轴转动---各点绕一固定轴作圆周运动的运动
两个模型：
1 质点---只有质量而无大小形状的理想物体。
2 刚体---具有质量和一定的大小和形状，但不会 发生形变的理想物体，称为刚体。
y(t)
r(t)
o
x(t)
z(t)
x
z
1注5意–：18.
多普勒效应
第十五章
研究质点运动，首先要找到运动方程。
机械波
2. 运动方程实为位置与t的参数方程， 消去t可 得轨迹方程。
例：一质点以v0在离地面H处作平抛运动，求轨迹方程。
Y V0 H
解： x v0t
y H 1 gt2 2
消去t可得轨迹方程：
x
i
y
j
o
r (t)
x
或
v
t vxi
t
vy
t j
平均速度 v 与 r 同方向.
平均速度大小
v (x)2 (y)2 t t
15注–意：8 a）多说普到平勒均效速应度一定要明确是哪第一十段五时章 间机或械波
运动微分方程和运动方程
运动微分方程和运动方程运动微分方程和运动方程是物理学中描述物体运动的重要工具。
它们通过数学模型来描述物体在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化规律，可以帮助我们预测和分析物体的运动状态。
首先，我们来看一下运动微分方程。
运动微分方程是描述物体运动的微分方程，它基于牛顿第二定律和运动学原理，将物体的质量、力和加速度联系起来。
一般来说，物体的运动微分方程可以表示为：F = m * a其中，F表示物体所受的合外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个方程告诉我们，物体所受的合外力与物体的质量和加速度之间存在着一种关系。
接下来，我们来看一下运动方程。
运动方程是描述物体运动的方程，它基于物体的初速度、加速度和时间，将物体的位移与这些因素联系起来。
一般来说，物体的运动方程可以表示为：s = ut + 0.5 * a * t^2其中，s表示物体的位移，u表示物体的初速度，a表示物体的加速度，t表示时间。
这个方程告诉我们，物体的位移与物体的初速度、加速度和时间之间存在着一种关系。
通过运动微分方程和运动方程，我们可以解决许多与物体运动相关的问题。
例如，我们可以通过已知物体的质量和所受力来计算物体的加速度；我们可以通过已知物体的初速度、加速度和时间来计算物体的位移；我们还可以通过已知物体的位移、初速度和时间来计算物体的加速度等等。
在实际应用中，我们常常需要根据具体问题来选择合适的运动微分方程和运动方程。
例如，在自由落体问题中，由于只有重力对物体产生作用，我们可以将合外力F设置为重力mg，然后根据物体的质量m和加速度a来求解物体的运动状态。
在弹簧振子问题中，由于弹簧对物体产生作用，我们需要考虑弹簧力，并根据弹簧力和物体的质量m来求解物体的运动状态。
总之，运动微分方程和运动方程是描述物体运动的重要工具。
它们通过数学模型来描述物体在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化规律，可以帮助我们预测和分析物体的运动状态。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的方程，并结合已知条件来求解问题。
动力学的基本原理与运动方程推导
动力学的基本原理与运动方程推导动力学是物理学中研究物体运动的学科，它的基本原理和运动方程推导是了解和掌握动力学的关键。
本文将介绍动力学的基本原理，并推导出运动方程，以帮助读者更好地理解这一领域的知识。
一、动力学的基本原理动力学的基本原理包括牛顿三定律和能量守恒定律。
1. 牛顿第一定律：物体在没有外力作用下，将保持静止或匀速直线运动。
这意味着物体的速度只有在受到外力作用时才会改变。
2. 牛顿第二定律：物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
数学表达式为F=ma，其中F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
3. 牛顿第三定律：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
这意味着物体之间的相互作用力总是成对出现的。
4. 能量守恒定律：在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
能量可以在不同形式之间相互转化，但总能量保持恒定。
二、运动方程的推导在了解了动力学的基本原理之后，我们可以推导出物体的运动方程。
假设一个物体在一维空间中运动，且只受到一个力的作用。
根据牛顿第二定律，我们知道物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
可以将牛顿第二定律表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
根据运动学的定义，加速度可以表示为速度的变化率。
假设物体的初始速度为v0，加速度为a，时间为t，物体的速度可以表示为：v = v0 + at同样地，速度的变化率就是位移的变化率。
假设物体的初始位移为x0，位移为x，时间为t，物体的位移可以表示为：x = x0 + v0t + 1/2at^2这就是物体的运动方程，它描述了物体在给定时间内的位移。
通过上述推导，我们可以看到物体的运动方程与物体的质量、加速度、速度和位移之间的关系。
在实际应用中，我们可以通过测量物体的运动参数，来计算物体的质量或者力的大小。
三、动力学的应用动力学的原理和运动方程在很多领域都有广泛的应用。
大学物理1-2位矢 位移 速度 加速度
大小
a
ax2
a
2 y
az2
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量的 极限方向。加速度与速度的方向一般不同。
加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动；
加速度与速度的夹角恒等于90，质点做圆周运动。
av大于90，速率减小。
加速度与速度的夹角小于90，速率增大。
加速度
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个
极限值 a lim v dv d 2r t0 t dt dt 2
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
ax
dvx dt
d2x dt 2
;
ay
dvy dt
d2y dt2 ;
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度
dx dt
v
v0
at
两端积分得到运动方程
x
t
x0
x
d
x x0
0 (v0 at) d
v0t
1 2
at 2
t
消去时间，得到 v2 v02 2a(x x0 )
或由 dv a 得 vdv adx 两边积分可得上式
dt
vz
dz dt
瞬时速度的大小: v|v| vx2 vy2 vz2
方向:
当 t 时0位移 的极r 限方向，即该位置的
切线方向，指向质点前进的一侧。
瞬时速率： lim S lim | r | | dr || v |
t0 t t0 t dt
加速度
4. 加速度
加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变
v g v
v g v
v
v
第一章 第2讲匀变速直线运动的规律
命题点一 匀变速直线运动的基本规律及应用
1.基本思路
画过程 ―→ 判断运 ―→ 选取正 ―→ 选 用 公 式 ―→ 解方程并
示意图
动性质
方向
列方程
加以讨论
2.方法与技巧
题目中所涉及的物理量(包括已知量、没有涉及的物
待求量和为解题设定的中间量)
理量
适宜选用公式
v0、v、a、t v0、a、t、x v0、v、a、x v0、v、t、x
三、自由落体运动和竖直上抛运动
1.自由落体运动 (1)条件：物体只受 重力 ，从静止开始下落. (2)基本规律 ①速度公式： v＝gt . ②位移公式： x＝12gt2. ③速度位移关系式： v2＝2g. x
(3)伽利略对自由落体运动的研究 ①伽利略通过 逻辑推理 的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体 下落快”的结论. ②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证 ―→合理外推.这种方法的核心是把实验和 逻辑推理(包括数学演算)结合起来.
所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3，故C正确，A、B、D错误.
二、匀变速直线运动的推论
1.三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝ aT2 . (2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时
刻速度矢量和的 一半 ，还等于中间时刻的瞬时速度.
个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度
恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所
用的时间之比分别是
A.v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
√B.v1∶v2∶v3＝ 3∶ 2∶1
位移,速度,加速度
求：质点的轨迹方程。
1.2 位移 速度和加速度
解：在直角坐标系下，根据质点的运动方程，其
分量式为
x At
y Bt 2
z C
将运动方程中的变量t消去，即得质点的轨 迹方程为
，
y
B A2
，
x2
z C
（x 0）
1.2 位移 速度和加速度
第1.2二位项移 :速度l和im加速度v2 t0 t
大小： lim v2 v lim s v2
t0 t ρ t0 t
et
o A
D v A v2
B
v
C
en
v1
vB
方向：沿曲线A点的法线方向
故，法向加速度为
an
lim v2 t0 t
v2 ρ
en
△AOBv∽2 △ CsAD
vA ρ
物理意义：反映了质点速度方向变化的快慢。
v
vxi
vy
j
vz
k
i
2t
j
根据加速度的定义，其在三个坐标轴上的分量为
ax
dvx dt
0
ay
dvy dt
2
m s2
az
dvz dt
0
质点在任一时刻 t 的加速度为
a
a
x
i
a
y
j
az
k
2
j
1.2 位移 速度和加速度
例1.3 质点以初速度 v0 做匀减速直线运动，已知 加速度的大小为a，求(1)质点经过多长时间静止 下来。 (2) 质点的运动方程。
4 瞬时速率 v
第三节简谐运动的公式描述
第三节简谐运动的公式描述简谐运动是一种特殊的周期性运动，它的公式描述可以使用正弦函数或者余弦函数来表示。
在简谐运动中，物体围绕平衡位置以固定的频率振动，振动的幅度保持不变，且运动轨迹为周期性的。
简谐运动的公式描述有以下几种形式：1. 位移公式：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)代表物体在时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 速度公式：v(t) = -A * ω * sin(ωt + φ)其中，v(t)代表物体在时间t时刻的速度。
3. 加速度公式：a(t) = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，a(t)代表物体在时间t时刻的加速度。
在上述的公式中，振幅A代表物体的最大位移，角频率ω代表单位时间内振动的周期数，初相位φ则决定了物体振动的起始位置。
通过这些公式，我们可以描述简谐运动的各种特性。
首先，振幅A决定了物体在简谐运动中的最大位移。
振幅越大，表示物体振动的幅度越大；振幅越小，表示物体振动的幅度越小。
其次，角频率ω决定了振动的频率，即单位时间内振动的周期数。
角频率越大，表示物体振动的频率越高；角频率越小，表示物体振动的频率越低。
初相位φ则决定了物体振动的起始位置。
当φ为零时，物体在平衡位置开始振动；当φ不为零时，物体将在偏离平衡位置的位置开始振动。
速度公式和加速度公式则描述了物体在简谐运动中的速度和加速度变化情况。
速度公式表明，在简谐运动中，物体的速度是按照正弦函数的形式进行变化的；加速度公式则表明，在简谐运动中，物体的加速度是按照余弦函数的形式进行变化的。
简谐运动的公式描述可以通过实验观察数据和理论推导得到。
在实验中，我们可以测量物体的运动轨迹、位移、速度和加速度，并通过这些数据来计算振幅、角频率和初相位等参数。
而在理论推导中，我们可以通过运动方程以及牛顿第二定律等原理，推导出简谐运动的公式描述。
总之，简谐运动的公式描述为x(t) = A * cos(ωt + φ)，其中x(t)为位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
d2 x dvx ax = 2 = dt dt
d2 y dv y ay = 2 = dt dt
d2 z dvz az = 2 = dt dt
大小为
r 2 2 2 a = ax + ay + az
ay cos β′ = v a az cos γ′ = v a
方向用方向余弦表示为
ax cos α′ = v a
dy vy = dt
r 2 2 2 v = v x +v y +v z
速度的方向用方向余弦表示为
vy vx vz cos α = v , cos β = v , cos γ = v v v v
二、 加速度
v 2 v v v d2 x v d2 y v d2 z v r dr d a = 2 = 2 (xi + yj + zk ) = 2 i + 2 j + 2 k dt dt dt dt dt v v v = axi + ay j + az k
三、运动学中的两类问题
r r v v 1根据运动方程r = r (t ) v = v (t ) ，可确定任 r 或
意时刻的加速度 r r 求导 v v 求导 = v (t ) v r = r (t)
a
r r a = a(t)
v v v 2 例 已知一质点运动方程 r = 2t i + (2 − t )j 求 (1) t =1 s 到 t =2 s 质点的位移
v v t ∫r dv = ∫ 16dt j
v0 0
r v
v v v v -v0 = 16t j
v v v v = 6i +16t j
v dr v =v dt
物理：力学基础知识
刚体上的各点绕某一直线作圆周运动，叫刚体转动。 刚体上的各点绕某一直线作圆周运动， 刚体转动。 刚体上的各点绕某一固定不动的直线作圆周运动， 刚体上的各点绕某一固定不动的直线作圆周运动， 刚体的定轴转动。 叫刚体的定轴转动。
z
一. 转动的运动学
o
称为角坐标，单位： θ 称为角坐标，单位：rad
ω v r P
I = ∫ λr 2 dr
l 2 l − 2
I = ∫ λr dr = λ ∫ r dr
2 2
l 2 l − 2
l 2 l − 2
1 = λ[ r ] l 3 −2
1 l 3 l 3 = λ ( ) − ( − ) 3 2 2
l 3 2
1 2 = ml 12
均匀细长棒， 例 一质量为 m 长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量 . 解 设棒的线密度为 处的质量元 dm = λdr (同学计算 同学计算) 同学计算
外力 系统受力 内力
非保守内力
保守内力
W外 + W非保内 +W保内= ∆ ΣE k W保内= - ∆ ΣEP
机械能
功能原理 W外 + W非保内 = ∆（ΣE k+ Σ EP）
机械能守恒定律
当W外 + W非保内 0
∑E k+ Σ EP=常量 常量
第二节 刚体的转动 Rotation of rigid body
第一章 力学基础
Chapter One The Fundamental Knowledge of Mechanics
y F x
第一节 质点力学 mechanics of point mass
1、位移、速度、加速度 位移、速度、 2、牛顿三定律 3、动量定理 4、动量守恒 5 、功 动能、 6、动能、动能定理 功能原理、 7、功能原理、机械能守恒定律
运动控制系统的基本运动方程
运动控制系统的基本运动方程
运动控制系统的基本运动方程包括位置、速度和加速度的计算公式。
1. 位置方程：
位置 = 初始位置 + 速度 ×时间 + 0.5 ×加速度 ×时间²
其中，初始位置和时间是已知条件，速度和加速度是由控制系统计算得出的。
2. 速度方程：
速度 = 初始速度 + 加速度 ×时间
同样，初始速度和时间是已知条件，加速度是由控制系统计算得出的。
3. 加速度方程：
加速度 = (末速度 - 初始速度) ÷时间
同样，末速度、初始速度和时间是已知条件，加速度是由控制系统计算得出的。
这些基本运动方程可以用于控制机器人在空间内的运动，使其实现精确和稳定的位置、速度和加速度控制。
大学物理第一章 质点运动学
a 常量，v v0 at,
•匀变速直线运动：
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
注意：以上各式仅适用于匀加速情形。
t t
要求 v( y )，可由
dv dv dy dv a v dt dy dt dy
有
积分得
v
dv kv v dy
2
dv kdy v
y dv v ky v0 v k 0 dy ln v0 ky, v v0e
1－3 曲线运动
一．运动的分解
如图，A、B为在同一高度的两个小球。在同一 时刻，使A球自由落体，B球沿水平方向射出，虽然 两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。 说明，B球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运 动，在竖直方向作自由落体运动。
其大小注意a aa a2 x 2 y2 z
dv dv a a dt dt
•描述质点运动的状态参量的特性 状态参量包括
r , v, a
应注意它们的
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
1 gx y xtg 2 2 2 v0 cos 19.6 2 50tg 50tg 19.6(1 tg ) 2 cos
两边一起定积分得
dv dv adt kv dt kdt 2 v
2
v
v0
t dv k dt 2 0 v
v0 v(t ) kv0t 1
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1、第一、二、三、四章：经典力学[第一册]（20学时） 2、第六、七章：热学；[第一册] （16学时） 3、第十五、十六章：机械振动；机械波 [第三册] （14学时）
4、第十七 章：波动光学； [第三册] （16学时）
绪论
对大家提出的学习要求：
力学 第一章质点的运动
1、有针对性的课前预习，
我们现在学习的<<物理学>> , 是十九世纪由西方引入的新学 （西学）之一 。 西方的物理学, 即 Physics. 这个词早先来自希腊文 Physis. 其原意是“自然的科学” ,
即在古代欧洲 , 物理学是自然科学的总称.
但随着自然科学的发展 , 各种独立的学科分别陆续形成 , 如化 学 , 生物学，天文学，地质学及各种工程学科等。
绪论
力学 第一章质点的运动
给开始学习<大学物理>课程的同学们：
“科学是一种方法。它告诉我们：一些事物是怎样被了解的，什
么事情是已知的，现在了解到了什么程度，如何对待疑问和不确定 性，证据服从什么法则；如何思考事物，做出判断，如何区别真伪 和表面现象。 ” —— R.Feynman
“ 我 从 不 迷 信 权 威 ， 但 命 运 捉 弄 了 我 —— 我 自 己 变 成 了 权 威。” —— A.Einstein
矢量代数的基本知识
预备知识
运动方程
力学 第一章质点的运动
例1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为a， 求该质点的运动方程。
x
x0
0t
1 2
at 2
§1-2 位移 速度 加速度
力学 第一章质点的运动
一、位置矢量（position vector of a particle） z
1. 位置矢量(位矢、径矢）的定义
因此后来，物理学成为专门的、 研究物质运动中最普遍、最 基本的运动形式的基本规律的学科。
空间范围：宇宙尺度1026m(20亿光年)到微观粒子尺度10-15m，
时间范围：宇宙年龄1018s(20亿年)到微观粒子最短寿命10-24s。
绪论
物理学是自然科学的基础 它涉及的范围，最初包括:
力学 第一章ห้องสมุดไป่ตู้点的运动
y y ' lim
x xx0 x0
dy dx
x x0
f
'(x0 )
速度
力学 第一章质点的运动
三1 平、平均均速速速度度率：（： velocitsrty）－描述质点运动快慢rz(t及) 方P1向ΔSr
P2
t
r(t+Δ t )
2、认真的听讲(适当做笔记)，
3、及时的复习，
4、按时、独立地完成作业。
•每周一交作业（课前） •数学作业纸：班级、姓名、学号、页码，题目
dxphysics@
第一章 质点运动学
力学 第一章质点的运动
一. 教学内容
质点、参照系、坐标系; 运动方程、位移、速度、加速度; 抛体运动; 圆周运动、切向加速度、法向加速度、角量与线 量的关系; 相对运动.
（2）有三点主要差别：
1）研究的对象不同：由简单到复杂，由特殊到一般。 如：由匀速到变速，由恒力到变力，由均匀到非均
匀，质点到刚体等
2）研究的方法和使用的工具不同： 如：由初等数学到高等数学，由标量到矢量，
由实数到 复数等
3）研究的目的不同： 如：由只知其然到知其所以然，由了解知识到应
用知识。
力学 第一章质点的运动
xi yj zk
大小：
r
x2 y2 z2
导数的定义：
函数y=f(x)，当自变量x在x0处取得增量x时，相应的 函数y取得增量y；如果y与x之比当x0时的极限
存在，则称函数y=f(x)在x0处可导，并称这个极限为函
数在点x0处的导数，记为y' xx0 ， 即
位移
二、位移(displacement)
1. 位移的定义：
一段时间内位矢的增量
r
路程是质点经过实际路径的长度，是标量
2. 直角坐标系中位移的数学表示
z力学 第一章质点的运动
p1(x1,y1,z1)
ΔS p2(x2,y2,z2)
o
r1
Δr
r2
y
r r2 r1
x
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
二. 教学要求
1. 理解描述质点运动物理量的定义及矢量性、瞬时性、迭加性; 2. 掌握运动方程的物理意义, 会求解运动学两类问题; 3. 掌握抛体运动和圆周运动的规律, 了解相对运动.
三. 重点、难点
重点: 对运动方程、位移、速度、加速度的理解; 由运动方程求质点运动的物理量.
难点: 由加速度和初始条件建立运动方程.
由坐标原点到质点所在位置的矢量
r OP
2. 表示方法
r xi yj zk
P(x,y,z)
k
r
o i
j
y
大小：
r r
x2 y2 z2
x
方向： cos x / r cos y / r cos z / r
相关性:
cos2 cos2 cos2 1
§1-1 质点 参考系
力学 第一章质点的运动
一、质点
只具有质量而没有大小和形状的理想物体。
⑴理想模型
⑵具有质量 、占有位置
⑶有条件的、相对的
二、参考系 和坐标系
1、参考系 为描述物体运动而选择的参考物体或物体系。
2. 坐标系 为定量研究物体的运动而选择的与参考系相对静止的坐标系。
力学 第一章质点的运动
力学、 热学和分子物理学、 电磁学、 光学.
经典物理学
随着研究的发展，在十九世纪末 , 人们发现了经典物理 学的局限性。
在高速运动领域，即速度可与光 速比拟时, 应适用爱因斯坦建立 的相对论力学
在微观领域，由原子和原子核物 理，发展到量子论和量子力学
近代物理学
力学 第一章质点的运动
大学物理与中学物理的关系与差别 （1）中学物理是学习大学物理的基础 ；大学物理是 中学物理 的继承与发展，但不是简单的重复。
以上是两位物理学家的话，它对同学们的学习应该有所启发。 希望大家学习本课程除了掌握基本知识外，更重要的是学习一种科
学的思维方法。正如一个古老的故事所讲的那样，学生从老师那 里得到的，应该是一个点石成金的法则，而不是一堆金子。
绪论
力学 第一章质点的运动
什么是物理学 ?
中国古代的物理学，似乎是阴阳、五行、八卦、天人和一等。