高一数学幂函数学案
高中数学《幂函数》导学案
2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。
学案3：4.4 幂函数
4.4 幂函数【课标要求】课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质.教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质. 教学难点：幂函数性质的简单应用.【知识导学】知识点一 幂函数的概念一般地，函数 称为幂函数，其中 为常数． 知识点二 一些常用幂函数的图像同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12 的图像(如图)．知识点三 幂函数的共同特征(1)所有的幂函数在区间 上都有定义，并且图像都通过点 ． (2)如果α>0，则幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数．(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是 函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地逼近 轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近 轴．【新知拓展】1．幂函数的特征 (1)x α的系数为1. (2)x α的底数是自变量．(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2．幂函数与指数函数的区别3．一些常用幂函数的性质【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()(4)对于幂2 12，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( ) (5)当x ＞1时，函数y ＝x 2的图像总在函数y ＝x 3的图像的下方．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________.(2)已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,8)，则f (－2)＝________.(3)若y ＝ax a 2－15是幂函数，则该函数的定义域是______，值域是_______，奇偶性是________，单调性为____________________________．【题型探究】题型一 幂函数的定义例1 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．【规律方法】判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【跟踪训练1】(1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2) ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二 幂函数的图像及应用例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图像依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3【规律方法】解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图像，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求定义域；②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．题型三幂函数的性质及应用——角度1比较幂值大小——例3比较下列各组数的大小：(1)1.512，1.712；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；(4)0.53,30.5，log30.5.【规律方法】幂大小的比较方法两个或几个幂比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．【跟踪训练3】比较下列各组中两个幂的值的大小：(1)⎝⎛⎭⎫230.5，⎝⎛⎭⎫350.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1，⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)(－0.23) 23 ，0.32 23.——角度2 解不等式——例4 已知(a ＋1)－13<(3－2a ) －13 ，求实数a 的取值范围．【规律方法】利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数．(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系． (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练4】已知(a ＋1)－2>(3－2a )－2，求a 的取值范围．【随堂达标】A ．①⑤⑥B ．①②③⑦C ．②④D ．②③⑤⑦2．幂函数y ＝x 34的定义域是( ) A ．RB ．[0，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．以上都不对3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )4．设a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________． 5．已知幂函数f (x )＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．【参考答案】【知识导学】知识点一 幂函数的概念 y ＝x αα知识点三 幂函数的共同特征 (1) (0，＋∞) (1,1)(2)原点 增 (3)减yx 轴【基础自测】1．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．答案 (1)3 (2)－8(3)R [0，＋∞) 偶函数 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增【题型探究】题型一 幂函数的定义 例1[解] ∵y ＝(m 2－m －1)x m2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．【跟踪训练1】 答案 (1)B (2)见解析解析 (1)因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于系数为2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；常函数y ＝1的图像比幂函数y ＝x 0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．故选B. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.题型二 幂函数的图像及应用 例2[解析] 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α 的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图像为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图像为C 4，y ＝x 13 在第一象限内的图像为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图像为C 3. [答案] D 【跟踪训练2】 答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23 ＝3x 2，定义域为实数集R .②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称， 所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y 轴的对称图像， 即得函数y ＝x 23的图像，如图所示．根据图像易知，函数y ＝x 23在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数. 题型三 幂函数的性质及应用 ——角度1 比较幂值大小—— 例3[解] (1)∵y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴1.5 12 <1.7 12 .(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.∵y ＝5.26x 在R 上是增函数，－1>－2. ∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1,30.5>1，log 30.5<0， ∴log 30.5<0.53<30.5. 【跟踪训练3】解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数，且23>35，∴⎝⎛⎭⎫230.5>⎝⎛⎭⎫350.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，且－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 23为R 上的偶函数， ∴(－0.23) 23 ＝0.23 23.又∵y ＝x 23 为[0，＋∞)上的增函数，∴0.23 23 <0.32 23 ，∴(－0.23) 23 <0.32 23 .——角度2 解不等式——例4[解] ∵y ＝x －13 在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，又(a ＋1) －13 <(3－2a ) －13 ，∴3－2a <1＋a <0或a ＋1>3－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0. 解得23<a <32或a <－1. 【跟踪训练4】解 由幂函数y ＝x －2的图像(如图)可知，|x |越小，y 值越大．∵(a ＋1)－2>(3－2a )－2，∴|a ＋1|<|3－2a |，即(a ＋1)2<(3－2a )2，∴3a 2－14a ＋8>0，结合y ＝3a 2－14a ＋8的图像，得a <23或a >4. 【随堂达标】1. 答案 C解析 符合幂函数y ＝x α形式的只有②④，故选C.2．答案 B解析 由y ＝x 34 ，得y ＝4x 3，x 3≥0，即x ≥0.故此函数的定义域是[0，＋∞)．3．解析 ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且53>1，∴函数y ＝x 53 的图像大致为B. 4．答案 b <a <c解析 a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，可利用幂函数的性质，得a >b ，a 与c 可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .5．解 ∵幂函数f (x )＝x 3m－9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3.又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又f (x )＝x 3m －9的图像关于y 轴对称，即该函数是偶函数，∴3m －9是偶数，∴m ＝1，∴f (x )＝x －6.。
高中数学必修一幂函数教案
高中数学必修一幂函数教案教案主题：幂函数教案目标：1.了解幂函数的定义和性质；2.掌握幂函数图像的特点以及对称性；3.准确理解幂函数的增减性质并能应用到解题中；4.能够分析幂函数与线性函数、指数函数和对数函数的关系。
教学准备：1.多媒体教学工具；2.手写板或黑板；3.课本及教学参考书。
教学过程：一、导入（5分钟）教师利用多媒体工具或手写板呈现一幂函数的图像，并提问学生对于该图像的感受和认知。
引导学生逐渐了解幂函数。
二、输入与解释（10分钟）教师在黑板上写下幂函数的定义，并对每一部分进行解释。
幂函数定义：幂函数是指以自变量x为底数，以常数a（a>0且a≠1）为指数的函数。
它可以表示为y=x^a。
三、图像特点与对称性（20分钟）1.通过幂函数的图像和函数表达式的关系，教师解释幂函数的图像特点：（1）当a>1时，函数图像在x轴正半轴上逐渐上升；当0<a<1时，函数图像保持下降的趋势。
（2）当a为整数时，函数图像在坐标原点有一个翻转对称轴，如a为奇数，则函数图像在原点处且坐标原点是函数图像的一个特殊点。
2.教师通过实例讲解幂函数图像的对称性，并要求学生在黑板上绘制出幂函数图像，并观察其对称轴和特殊点。
四、增减性质与应用（30分钟）1.幂函数的增减性质：（1）a>1时，函数递增；（2）0<a<1时，函数递减。
教师通过函数的图像和定义，对幂函数的增减性质进行讲解，强调函数图像的上升和下降趋势。
2.教师通过例题引导学生应用增减性质去解题。
五、幂函数与其他函数的关系（20分钟）1.幂函数与线性函数的关系：幂函数的特殊情况即a=1时，函数变为y=x。
教师通过图像和式子对比，指出线性函数就是幂函数的特殊情况。
2.幂函数与指数函数及对数函数的关系：幂函数与指数函数和对数函数正好是互为反函数，即幂函数和指数函数是对方的反函数。
3.教师通过例题和实例分析，引导学生理解以上关系。
六、总结与归纳（10分钟）教师与学生共同总结幂函数的定义、图像特点以及与其他函数的关系。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义和性质；（2）会求幂函数的导数；（3）能够运用幂函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用信息技术手段，展示幂函数的图象，提高学生的直观认知能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质，幂函数的导数。
2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习指数函数、对数函数的性质；（2）提问：幂函数是什么？它的图象和性质是怎样的？2. 自主学习：（1）学生自主探究幂函数的定义和性质；3. 课堂讲解：（1）讲解幂函数的定义和性质；（2）讲解幂函数的导数；（3）举例说明幂函数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结：（2）教师点评并补充。
四、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 选取两个不同的幂函数，分析它们的性质和图象；五、教学反思1. 反思教学目标是否达成，学生掌握情况如何；2. 反思教学过程中是否存在问题，如何改进；3. 针对学生的反馈，调整教学策略，为下一节课做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对幂函数的定义、性质和导数的掌握程度，以及运用幂函数解决实际问题的能力。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂讨论、小组合作等。
3. 评价指标：准确性、逻辑性、创新性、合作精神等。
七、教学拓展1. 对比分析幂函数、指数函数和对数函数的性质及其应用；2. 探讨幂函数在其他学科领域的应用，如物理学、化学等；3. 引入复合幂函数的概念，引导学生进一步探究。
八、教学资源1. 教材：新人教A版高中数学必修教材；2. 课件：幂函数的定义、性质和导数的课件；3. 练习题：幂函数相关练习题及答案；4. 信息技术手段：多媒体投影、网络资源等。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
幂函数学案
§6.1 幂函数学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．知识点一一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质21知识点三 一般幂函数的图象特征1． 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ．2． 当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ． 3． 当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按 从 到 的顺序排列．1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,211,1α，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．3．当x ∈(0,1) 时，x 2________x －1.(填“>”“＝”或“<”)4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．A.12 B ．1 C.32 D ．2例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．(2)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43 C ．－2，43，34 D.34，43，－2例3 比较下列各组数的大小． (1)5.052⎪⎭⎫ ⎝⎛与5.031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与153-⎪⎭⎫⎝⎛-； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭与1413⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.232⎪⎭⎫ ⎝⎛> 223⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象．1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3 D ．y ＝x ＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x3．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (a －1) <f (b －1) B ．f (a －1) <f (b －1) <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f (b －1) <f (a －1) D ．f (a －1)<f (a )<f (b －1)<f (b ) 4．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．35.如图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－126．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．37．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．9．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．10．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．11．已知幂函数()x f 的图象过点(9,3)，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________，函数⎪⎭⎫⎝⎛-11x f 的定义域为________．。
高一数学 幂函数 学案
高一数学 幂函数 学案【学习目标】1、理解幂函数的概念，会画函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象. 2、了解幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用．【自主学习】1.一般地, 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.2.幂函数y x α=图象过定点3.幂函数y x α=,当0α>时,图象在第一象限单调递 ;当0α<时,图象在第一象限单调递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近.【自主探究】1.请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象.2.函数x y =； 2x y =；3x y =； 21x y =； 1-=x y 的性质x y = 2x y = 3x y =21x y =1-=x y定义域 值 域 奇偶性x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … x y =… … 2x y = … … 3x y =... (2)1xy =… … 1-=x y……单调性定 点【合作探究】1、 根据上表的内容并结合图象，试总结函数x y =； 2x y =； 3x y =；1-=x y ； 21xy =的共同性质.2、 探究幂函数y x α=的性质和图象的变化规律【自主评价】1．在下列函数中,定义域为R 的是( )3312. . . 2 . x A y x B y x C y D y x -====2．221333123111(),(),()252T T T ===若,则（ ）123312231213....A T T T B T T T C T T T D T T T <<<<<<<<3. 幂函数35[1,1]y x =-在上是（ ）A.增函数且是奇函数B. 增函数且是偶函数C. 减函数且是奇函数D. 减函数且是偶函数 4．如图所示，曲线C 1、C 2、C 3、C 4为幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α 取431234-，，，四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的C 1C 2C 3 C 4解析式中的指数α依次可取（ ）4343.12.2134343443.21.124334A B C D ----，，， ，，， ，，， ，，，1()(9,),(25)3y f x f =5.若幂函数的图象经过点求的值.。
高中数学幂函数的优秀教案
高中数学幂函数的优秀教案教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像特点和变化规律；3. 能够应用幂函数解决实际问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数图像的特点；3. 幂函数的变化规律。
教学难点：1. 幂函数图像的绘制；2. 幂函数的应用解题。
教学准备：1. 教学PPT；2. 幂函数的相关教学素材；3. 面板书和彩色粉笔；4. 计算器。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师通过举例引导学生回顾幂函数的定义和性质，激发学生对幂函数的兴趣。
二、讲解幂函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍幂函数的定义，并解释指数、底数的含义；2. 讲解幂函数的性质，包括奇偶性、增减性和对称性等；3. 通过实例让学生理解幂函数的基本特点。
三、分组讨论与展示（15分钟）1. 将学生分成小组，让他们结合所学内容，讨论幂函数的图像特点和变化规律；2. 每组选派一名代表进行展示，分享小组讨论的结论。
四、幂函数图像的绘制（15分钟）1. 通过教学PPT，展示幂函数图像的绘制方法；2. 让学生自行绘制不同幂函数的图像，并与同学分享。
五、应用解题（15分钟）1. 以实际问题为例，让学生应用幂函数解题；2. 指导学生合理建立数学模型，解决问题。
六、课堂小结（5分钟）教师总结本节课的重点知识，强调幂函数的重要性和应用场景，激励学生继续深入学习。
七、作业布置让学生完成相关习题，巩固所学知识。
教学反思：1. 教学重点突出，学生参与度高；2. 演示环节设计合理，能够引导学生深入思考；3. 学生绘制图像能力需要进一步培养，需要增加训练。
这份教案是一份比较完整的高中数学幂函数的教学设计，建议教师在教学中根据学生的实陵情况做出适当的调整，以达到更好的教学效果。
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高一数学幂函数学案
【学习目标】
1、明白得幂函数的概念，会画函数x y =，2
x y =，3
x y =，1
-=x y ，2
1x y =的图象. 2、了解幂函数的图象，明白得幂函数图象的变化情形和性质，并能进行简单的应用．
【自主学习】
1.一样地, 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
2.幂函数y x α
=图象过定点
3.幂函数y x α=,当0α>时,图象在第一象限单调递 ;当0α<时,图象在第一象限单调递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近.
【自主探究】
1.请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2
x y =，3
x y =，2
1
x y =，1
-=x y 的图象.
2.函数x y =； 2x y =；3x y =； 2
1
x y =； 1
-=x y 的性质
x y = 2x y = 3x y = 21
x y =
1-=x y
定义域 值 域 奇偶性 单调性
定 点
1、 依照上表的内容并结合图象，试总结函数x y =； 2
x y =； 3
x y =；1
-=x y ； 2
1x
y =的共同性质.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … x y = … … 2x y = … … 3x y = … …
2
1x
y = … … 1-=x y
…
…
2、 探究幂函数y x α
=的性质和图象的变化规律
【自主评判】
1．在以下函数中,定义域为R 的是( )
3312
. . . 2 . x A y x B y x C y D y x -====
2．221
333123111
(),(),()252
T T T ===若,则（ ）
123312231213....A T T T B T T T C T T T D T T T <<<<<<<<
3. 幂函数3
5
[1,1]y x =-在上是（ ）
A.增函数且是奇函数
B. 增函数且是偶函数
C. 减函数且是奇函数
D. 减函数且是偶函数 4．如下图，曲线C 1、C 2、C 3、C 4为幂函数
αx y =在第一象限内的图象，α 取43
12
34
-，，，四个值，那么相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的 解析式中的指数α依次可取〔 〕
4343
.12.213434
3443
.21.12
4334
A B C D ----
，，， ，，， ，，， ，，，
1
()(9,),(25)3y f x f =5.若幂函数的图象经过点求的值.
C 1
C 2
C 3 C 4。