运用米勒定理简解最大角问题

运用米勒定理简解最大角问题

1.米勒问题和米勒定理

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：

米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB

最大？

对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边相切于点时，角ACB最大。

证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。

图１

根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC 的外圆与边相切于点等价于等价于。

2.米勒定理在解题中的应用

最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置

例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。

图２

分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。

简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为。

例2 如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米,有一位左边锋欲射门,应在边的何处才使射门角度最大?

解：依题意，由米勒定理知当

（米）时，最大。故边锋应在边距约米处射门才能使射门角度最大。

图3 图4

图5

例3（2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，使最大，则点的坐标为＿＿＿＿。

解：如图4，设直线与轴相交于点，则，因为，所以，所以，所以，由两点间的距离公式得，由米勒定理知，当且仅当时，最大，此时点的坐标为。

2.2用米勒定理探索最大视角的条件

例4（2010年高考江苏理科第17题）某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：），如示意图5，垂直放置的标杆的高度，仰角。

（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；

（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离（单位：），使之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？

解：（2）设，由米勒定理知，当且仅当即①时，

最大。又由得，②，①②得，，将其代入①得，

，所以，故当为时，最大。

点评：第（2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。

2.3用米勒定理求最大视角或其三角函数值

例5（2001年希望杯数学竞赛培训题）是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，点，，求的最大值。

解：如图6，易求得，不妨设为左准线交轴于点，则其方程为，，由米勒定理知，当且仅当时，最大。当最大值时，，因为，由差角

的正切公式得，，所以最大值为。

图6

更一般地我们有如下结论：

例6设是椭圆的左右焦点，是椭圆准线上的动点，，椭圆的离心率是，则为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。

证明：设准线交轴于点，则。由米勒定理知，当且仅当

时，为锐角且最大。当最大值时，

，又，由差角的正切公式得，

，所以。故为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。

点评：由例6结论知，当取最大值时有或，易求得最大值为。

2.4用米勒定理求视角最大时有关线段之比

例7（2006年全国高中数学竞赛题）已知椭圆的左右焦点是，点在直线上，当最大时，求：。

解：如图7，设直线与轴相交于点，

图7

易求得，则，由米勒定理知，当且仅当

时，最大，此时的外拉圆与直线相切于点，由弦切角定理得，又，所以，所以

。

点评：本解法不仅用到米勒定理的结论，而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快捷。

2.5用米勒定理求视角最大时的综合问题

例8 设是椭圆的短轴顶点，是椭圆焦点相应的长轴顶点。证明当且仅当椭圆为黄金椭圆（离心率的椭圆）时，最大，且最大角的正弦值为。

解：如图8，由米勒定理知，当且仅当时，最大。故，所以，所以，即，

图8

即①，解得，故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，最大。

设，，

则，

所以

。

另外我们求最大角的正弦值还可用正弦定理切入，在中，由正弦定理得，

，下面解法同上，略。

点评：本题以椭圆为载体，重点考查椭圆的离心率等有关知识，考查三角公式、恒等变形和推理论证能力。本解法在求最大角的正弦值时需要很强的化归意识，即要有明确的化简目标，先把用表示正弦值转化为用

离心率来表示，最终化成关于的一次式。这里充分利用①式的各种变式，进行恰到好处的恒等变形是本解法的巧妙之所在。

本文案例启发我们在平时的解题教学中，要引导学生进行解题反思，总结解题规律、揭示问题本质、提炼思想方法、归纳一般性结论，并有意识地加以运用，这样学生的解题能力定可上一级台阶达到较高的层次。