数学奥林匹克初中训练题
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。
这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。
无论是追求数学事业，还是成为一名数学家，初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会，可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。
本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析，可供所有有兴趣的人参考学习。
第一套试题：平方和试题：假设我们有两个正整数 a 和 b。
如果我们写一个等式 a²+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解？解析：通过对题目的分析，我们发现 a 和 b 都是小于等于 11 的正整数，因为如果是大于 11，它们的平方数之和会大于 130。
我们可以用双重循环解决这个问题：```ans = 0for a in range(1, 12):for b in range(1, 12):if a * a + b * b == 130:ans += 1print(ans)```第二套试题：比率试题：如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量，又知道3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量，那么问：如果要将 20 个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合，让它们的重量相等，求出$x$ 的值。
解析：我们可以用比率法解决这个题目。
首先，根据第一个给出的条件，我们有：```3a = 4b```其中，$a$ 是大苹果的重量，$b$ 是小苹果的重量。
然后，根据第二个条件，我们可以得到：```3b = 2c```其中，$c$ 是中等苹果的重量。
现在我们只需要将 $a$ 和$c$ 的比率相等，即：```a / c = 20x / (20 - x)```通过简单的代数运算，我们可以得到：```60x = 80(20 - x)x = 16```因此，我们需要加入 $16$ 个大苹果。
第三套试题：平均值试题：32 个正整数的平均值为20，当其中一个数字被改变后，平均数变为 19.875。
初中数学奥林匹克竞赛题包括答案.docx
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。
2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。
两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。
两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。
3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。
4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。
7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。
初中数学奥赛练习题
数学奥林匹克初中训练题一、选择题1。
若正整数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足ax=b+c ，by=a+c ，cz=a+b,则乘积xyz 可能的取值个数为（ )。
(A ）2 (B)3 (C ）4 (D ）无数多2.如图,在△ABC 中,∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶3。
则sin ∠BAC=（ ）。
(A)12/13 (B ）4 3 /9 (C)2 6/5 （D ）432+ 3。
满足方程11610145=+-+++-+x x x x 的实数解x 的个数为( ）.（A ）1 (B)2 (C)4 （D ）无数多4.如图，在单位正方形ABCD 中，以边AB 为直径向形内作半圆，自点C 、D 分别作半圆的切线CE 、DF(E 、F 为切点）.则线段EF 的长为（ ）.(A)5/3 （B ）3/5 （C)3 /2 （D ）2/3二、填空题1。
设|a|〉1，化简（a+1-a 2）4+2(1-2a 2)（a+1-a 2)2+3的结果是 .2.a 1,a 2，…,a 10分别表示1,2，3，4,5,6,7，8，9,0这十个数码，由此作成两个五位数m=54321a a a a a ,n=109876a a a a a 0(m 〉n).则m —n 的最小值是 .3。
如图，在Rt △ABC 中,BC=3，AC=4,AB=5,其内切圆为⊙O 。
过OA 、OB 、OC 与⊙O 的交点M 、N 、K 分别作⊙O 的切线，与△ABC 的三边分别交于A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2.则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的面积是 。
4。
若用6张1×2的纸片覆盖一张3×4的方格表，则不同的盖法有 种.三、已知a i、b i(i=1，2,3）为实数,且a21—a22—a23与b21-b22—b23中至少有一个是正数.证明：关于x的一元二次方程x2+2（a1b1-a2b2—a3b3）x+(a21-a22-a23)(b21—b22-b23）=0①必有实根。
全国初中数学奥林匹克竞赛试题
1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。
A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。
已知内角为150度，则外角为180-150=30度。
正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。
（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。
A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。
因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。
（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。
A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。
因此，这个数是0或1。
（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。
A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。
在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。
因此，1/2是最大的。
（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。
A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。
（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。
A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。
初中数学奥林匹克考试试题
初中数学奥林匹克考试试题本文将提供一些经典的初中数学奥林匹克考试试题，旨在帮助学生提升数学解题能力和思维能力。
以下是一些题目供大家练习：1. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 4)和B(3, 1)在坐标轴上的垂直平分线所交的点为C，求AC的长度。
2. 若x能被3整除，且由x的各位数字组成的3位数能被27整除，求满足条件的最小正整数x。
3. 甲、乙两车，相向而行，甲车的速度是乙车速度的4倍，甲车行驶8小时后，与乙车相距960公里，求甲车和乙车的速度分别是多少。
4. 求4/7与21/50的和的最简分数形式。
5. 若a、b、c均为正整数，且满足方程式：1/a + 1/b + 1/c = 1/2求满足条件的最小正整数解。
6. 在等腰三角形ABC中，AC=BC，角ACB的角度为120°，D是AB的中点，连接AD和BD，求角ACD的度数。
7. 若x和y是正整数，满足x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = (x + y)^3，求x与y的和。
8. 若正整数m、n均满足m/n = 12.3456789...，求m与n的最大公约数。
9. 设a、b、c为正整数，满足a+b+c=99，且a^2 + b^2 + c^2 =3(abc)，求a、b、c的值。
10. 在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB+CD=15，AC=10，BD=12，求AB的长度。
以上是一些初中数学奥林匹克考试的典型题目，希望能对大家的数学学习有所帮助。
通过练习，可以提高解题能力和思维能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。
希望大家能够积极参与数学竞赛，挑战自我，不断进步！。
数学奥林匹克初中训练题(6套)
数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第 二 试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第 二 试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第 一 试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。
数学奥林匹克初中训练题(含答案)
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ).(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／182.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ).(A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－93.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ).(A)2 (B)4 (C)6 (D)84.a 、b 是方程x 2+(m －5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ).(A)365 (B)245 (C)210 (D)1755.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为( ).(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点.证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz . 根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组x +y +z =3,2xy = 2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.2.B .注意到f (1)=2a +1,f (3)=12a +1,f (f (1))=a (2a +1)2+a (2a +1)+1.由f (f (1))=f (3),得 (2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5.3.C .因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解.4.D .由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175.5.C .记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 .6.B .将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6.二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, 3.73.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x=a2－b2=(a+b)(a－b)≤100,因a+b、a－b同奇偶,故a+b≥(a－b)+2.(1)若a－b=1,则a+b为奇数,且3≤a+b≤99.于是,a+b可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a－b=2,则a+b为偶数,且4≤a+b≤50.于是,a+b可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若a－b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2－b2≥a+b≥3,归入(1).若a－b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a－b)(a+b)为4的倍数,且a－b≥2,a+b≥4,故x≥8,归入(2).因此,这种x共有49+24=73个.4.168.注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a－7)2+242.如图,以AB为斜边,向△ABC一侧作直角△ABD,使BD=2a,AD=48,∠ADB=90°.在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a－7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a－7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而S△ABD=48a,S△CBD=24a,S△ACD=24(a－7),则S△ABC=S△ABD－S△CBD－S△ACD=168.第二试一、将原方程变形得(12x+5)2(12x－2)(12x+12)=660.令12x+5=t,则t2(t－7)(t+7)=660,即t4－49t2=660.解得t2=60或t2=－11(舍去).由此得t=±2 15,即有12x+5=±215.因此,原方程的根为x1,2=121525-.二、如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,∠ACD=∠ABD=∠MCN.故AC平分∠DCM.同理,BD平分∠CDM.如图,设PH⊥MC于点H,PG⊥MD于点G,PT⊥CD于点T;过点P作XY∥MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ∥CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1⊥MC于点H1,YT1⊥CD 于点T1.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP／EF=EY／EC=EZ／ED.因此,ZP∥DF.由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行,且DF平分∠MDC,故ZP是∠XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a3个,四边形a4个,……,k边形a k个(a3,a4,…,a k为非负整数).记这些多边形的内角和为S角,于是,S角=a3×π+a4×2π+…+a k(k－2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×2π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S角=20π+16π+2π=38π.于是,a3+2a4+…+(k－2)a k=38.①记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边,则S边=3a3+4a4+…+ka k.另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S边=2×45+20=110.于是,3a3+4a4+…+ka k=110.②②－①得2(a3+a4+…+a k)=72.故a3+a4+…+a k=36.③①－③得a4+2a5+3a6+…+(k－3)a k=2.因所有a i∈N,故a6=a7=…=a k=0,a4+2a5=2.所以,或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
初中奥林匹克数学竞赛试题
初中奥林匹克数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若实数a，b满足 a + 2 +(b - 4)² = 0，则a + b的值为（）。
A. - 2B. 2C. 6D. - 6答案：B。
解析：因为绝对值是非负的，一个数的平方也是非负的，要使 a + 2 +(b - 4)² = 0，那么a+2 = 0且b - 4 = 0，解得a=-2，b = 4，所以a + b=2。
2. 把多项式x² - 4x+4分解因式，结果正确的是（）。
A. (x - 2)²B. (x+2)²C. (x - 4)²D. (x+4)²答案：A。
解析：x²- 4x + 4符合完全平方公式a²- 2ab+b²=(a - b)²的形式，这里a=x，b = 2，所以分解因式结果为(x - 2)²。
3. 已知一元二次方程x² - 3x - 2 = 0的两个实数根为x1，x2，则(x1 - 1)(x2 - 1)的值是（）。
A. - 4B. - 2C. 0D. 2答案：C。
解析：根据韦达定理，对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
在方程x² - 3x - 2 = 0中，a = 1，b=-3，c = - 2，所以x1+x2 = 3，x1x2=-2。
(x1 - 1)(x2 - 1)=x1x2-(x1+x2)+1=-2 - 3+1 = 0。
4. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形是（）。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B。
解析：设三个内角分别为x，2x，3x，因为三角形内角和为180°，所以x+2x+3x = 180°，解得x = 30°，那么三个角分别为30°，60°，90°，所以是直角三角形。
数学奥林匹克初中训练题
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题（每小题７分，共４２分）１．１００人共有１０００元人民币，其中任意１０个人的钱不超过１９０元．那么，一个人最多能有（）元．（Ａ）１０８（Ｂ）１０９（Ｃ）１１８（Ｄ）１１９２．已知ｙ＝｜ｘ－２｜－｜ｘ｜＋｜ｘ＋２｜，且－１≤ｘ≤２．则ｙ的最大值与最小值之差是（）．（Ａ）４（Ｂ）３（Ｃ）２（Ｄ）１３．在△ABC的ＢＣ边上有一点Ｄ，∠ＡＤＢ为锐角，Ｐ、Ｑ各是△ＡＢＤ、△ＡＣＤ之外心，且四边形ＡＰＤＱ与△ＡＢＣ等积．则∠ＡＤＢ＝（）．（Ａ）６０° （Ｂ）７５° （Ｃ）３０° （Ｄ）４５°４．甲、乙两车同时由Ａ地去Ｂ地．甲把路程分为三等分，分别用ｖ１、ｖ２、ｖ３（ｖ１＞ｖ２＞ｖ３）的速度前进；乙把所需时间分为三等分，分别用ｖ１、ｖ２、ｖ３的速度前进．则（）．（Ａ）甲先到达（Ｂ）乙先到达（Ｃ）甲、乙同时到达（Ｄ）谁先到达与ｖ１、ｖ２、ｖ３有关图１５．设ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０的二实根为α、β，而以α２、β２为根的二次方程仍是ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０．则数对（ｐ，ｑ）的个数是（）．（Ａ）２（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）０６．如图１，ＡＢ、ＣＤ、ＰＱ是⊙Ｏ的三条弦,ＡＢ⊥ＰＱ，ＣＤ⊥ＰＱ,Ｍ、Ｎ是垂足。
若ＡＢ≤ＣＤ，则有（）．（Ａ）（Ｂ）Ｃ）（Ｄ）无法确定的大小二、填空题（每小题７分，共２８分）２．直角三角形的三边为ｐ、ｑ、ｒ，其中ｒ为斜边．． ３．对于满足０≤ｐ≤４的所有实数ｐ，使不等式ｘ２＋ｐｘ＞４ｘ＋ｐ－３成立的ｘ的取值范围是 ．4.则ＢＥ－ＰＢ的值为 ．第二试一、（满分２０分）教室里有４列课桌，每列前后有６张，每张课桌坐有２名同学．为了让同学之间有充分交流的机会，考虑到高矮和视力等因素，在前后位置不动的情况下，每一名同学最多能与同一行（４张课桌）的另外７名同学坐同桌（不重复）．请给出一个调动位置的方案，使得每人都与另外７名同学先后同桌．木棒的中点Ｐ也随之运动，已知Ａ端下滑到Ａ'时，ＡＡ'＝（ － ）ａ．求中点Ｐ随之运动到Ｐ'时经过的路线长．∠Ｃ、∠ＡＱＣ＝90°+ ∠Ｂ， 参考答案第一试一、１．（Ｂ）．设最多的人有ｘ元，其余的人分为１１组，每组９人，这人与每组９人合在一起不超过１９０元．因此， １９０×１１≥１ ０００－ｘ＋１１ｘ．得ｘ≤１０９．所以，一个人最多有１０９元，其余每人９元即符合题意．２．（Ｄ）．ｍｉｎ＝３． 如图４，设∠ＡＤＢ＝α,则∠ＡＰＢ＝2a ．由外心性质易知∠ＡＰＱ＝∠ＡＢＣ、∠ＡＱＰ＝∠ＡＣＢ△ＡＰＱ∽△ＡＢＣ．显然，△ＡＰＱ≌△ＤＰＱ ．于是，２α＝∠ＡＰＢ＝９０°． 故∠ＡＤＢ＝α＝４５°．４．（Ｂ）．如图５，乙用最快的速度行驶的路程比甲多；用速度ｖ２、ｖ３行驶的路程之和，以及用速度ｖ３行驶的路程都比甲少，所以，乙先到达．５．（Ｂ）．由题意， 且 于是有，ｑ２＝ｑ．得ｑ＝０或ｑ＝１．并有（α＋β）２＝α２＋β２＋２αβ，即ｐ２＝ｐ＋２ｑ． （１）当ｑ＝１时，ｐ＝２或ｐ＝－１；（２）当ｑ＝０时，ｐ＝０或ｐ＝１．但α２＋β２＝ｐ≥０，故ｐ＝－１（舍去）．所以，满足题意数对（ｐ，ｑ）可为（２，１），（０，０），（１，０），共３对． ⇒⎩⎨⎧==+q p αββα⎪⎩⎪⎨⎧==+qp a a ββ2222６．（Ａ）．如图６，设ＡＢ＝２ａ，ＣＤ＝２ｂ，显然ａ≤ｂ．[if gte mso 9]> <![endif]--> ＝＝１（ａ－ｘ）（ｂ ＝１（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ）·２ｘ·（ｂ－ａ）≥０．二、１．－３．原式＝ａ(１/ｂ＋１/ｃ＋１/)ａ＋ｂ(１/ｃ＋１/ａ＋１/ｂ )＋ｃ(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ)－３ ＝(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ)（ａ＋ｂ＋ｃ）－３＝－３．２．４＋２２．)/(ｐ＋ｒ)＝ [if gte vml 1]> ＝>q/(p+r)= －１=>ｒ２－ｐ２＝ｑ２＝（ －１）２（ｐ＋ｒ）２ ）（ｒ＋ｐ）=> 2（ －１）ｒ＝２ （ －１）ｐ． ｐ． 故周长＝４＋２ ．３．ｘ＜－１或ｘ＞３．由ｘ2＋ｐｘ＞４ｘ＋ｐ－３ ｘ２＋（ｐ－４）ｘ－ｐ＋３＞０（ｘ＋ｐ－３）（ｘ－１）＞０.∴ｘ＞３－ｐ，ｘ＞１或ｘ＜３－ｐ，ｘ＜１．但０≤ｐ≤４，于是，－１≤３－ｐ≤３．故ｘ＜－１或ｘ＞３．４．１．令ＢＥ＝ｘ，ＰＢ＝ｙ，则由②，有ｘ－ｙ＝ｘｙ．③由①、③，有（ｘ－ｙ）２＋２（ｘ－ｙ）－３＝０，（ｘ－ｙ＋３）（ｘ－ｙ－１）＝０.显然，ｘ＞ｙ，ｘ－ｙ＋３＞０.所以，ｘ－ｙ－１＝０，ｘ－ｙ＝１．从而，ＢＥ－ＰＢ的值为１．第二试图７一、将８个人依次编号为１，２，…，８．如图７，“１～７”在圆周上均匀分布，“８”在圆心．两个号之间的连线表示同桌：（１，８），（２，７），（３，６），（４，５）．对于“８”来说，他可以与其他７个人依次同桌；由于（２，７），（３，６），（４，５）的连线是平行的，且与（１，８）的连线垂直，在“８”与其他号连线改变的时候，其他号之间相互连线的方向也作相应的改变（仍保持垂直），并且不会出现重复的方向，这样就可实现预想的目的．二、∵ＰＯ＝１２ＡＢ＝ａ为定值，Ｏ为定点，∴Ｐ到Ｐ'的路线是以Ｏ为圆心，ａ为半径的弧．ＯＰ'，易知ＯＰ＝ＰＡ＝ＯＰ'＝Ｐ'Ｂ'＝ａ．在Ｒｔ△ＡＢＯ中，ＯＡ＝ＡＢｓｉｎ ６０° /２＝ ａ，则ＯＡ'＝ＯＡ－ＡＡ'＝ ａ－（ － ）ａ＝ ａ．在Ｒｔ△Ａ'Ｂ'Ｏ中，Ａ'Ｂ'＝２ａ，则ＯＢ'＝= ａ．故∠Ａ'Ｂ'Ｏ＝４５°，∠Ｂ'ＯＰ'＝∠Ａ'Ｂ'Ｏ＝４５°． 但∠ＡＯＰ＝∠ＯＡＢ＝３０°，∴∠ＰＯＰ'＝９０°－３０°－４５°＝１５°．∴ＰＰ'弧长为１５°/３６０°·２πａ＝１/１２πａ．三、提供两种不同证法．图８证法１ 如 图８，作△ＡＢＣ的外接圆，射线ＡＱ交圆于Ｄ，连结ＤＢ、ＤＣ．∵∠ＡＱＢ ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ，∴∠ＤＱＢ＝９０°－１２∠ＡＣＢ．但∠ＱＤＢ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ，由 ＤＱＢ可得∠ＤＢＱ＝９０°－１２∠ＡＣＢ．则∠ＤＱＢ＝∠ＤＢＱ =>ＤＢ＝ＤＱ．同样地可证得ＤＣ＝ＤＱ．故ＤＱ＝ＤＢ＝ＤＣ．由此立即可证明ＡＱ平分∠ＢＡＣ、ＢＱ平分∠ＡＢＣ（或ＣＱ平分∠ＡＣＢ）．故点Ｑ是 △ＡＢＣ的内心．图９证法２（反证法）假设Ｑ点不是△ＡＢＣ的内心，另取△ＡＢＣ的内心Ｑ'，显然Ｑ'与Ｑ互异．连结ＡＱ'、ＢＱ'．由三角形内心张角公式得∠ＡＱ'Ｂ＝９０°＋１/２∠ＡＣＢ．但∠ＡＱＢ＝９０°＋１/２∠ＡＣＢ，故∠ＡＱ'Ｂ＝∠ＡＱＢ =>Ａ、Ｑ'、Ｑ、Ｂ四点共圆．类似可得Ａ、Ｑ'、Ｑ、Ｃ四点共圆．由于Ａ、Ｑ'、Ｑ三点确定一个圆Ａ、Ｑ'、Ｑ、Ｂ、Ｃ五点共圆，即Ｑ'、Ｑ在 ＡＢＣ的外接圆上，换言之△ＡＢＣ的内心Ｑ'在 ＡＢＣ的外接圆上，这是不可能的．故Ｑ'与Ｑ必重合，即Ｑ点必是 ＡＢＣ的内心．。
数学奥林匹克初中训练题
数学奥林匹克初中训练题(3)第 一 试一、选择题(每小题7分,共42分)1. 给出如下4个命题:①若m 、n 为已知数,单项式2x 5y n- 2与(m+5) x | m- n+4|y 的和为单项式,则m+ n 的值为- 3或7. ②若M 、N 都是只含有一个字母x 的多项式,M 、N 的次数分别为6次、3次,则M-N 2是次数不超过6的多项式.③若m 为自然数,则关于x 的方程 (- x) m+1 (- x) 2m- 2 (- x) 3m+ 1=x x+1x6m- 1的解是x= -1,0 ,1. ④已知AM 、DN 分别是△AB C 、△DEF 的高,AB=DE,AC=DF,AM=DN. 若∠BAC=40°, ∠AB C= 35°,则∠DFE= 105°，其中,错误命题的个数是( )个.(A)0 (B)1或2 (C)3 (D)42. 如图1,AB CD 是边长为1的正方形,图1对角线AC所在的直线上有两点M 、N,使∠MBN= 135°. 则MN的最小值是( ).3. 已知实数a 、b 、c 满足()211104b c b c a a ⎧⎫⎧⎫+++-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.则代数式ab+ac 的值是( ). (A) – 2 (B) - 1 (C)1 (D)23. 如图4,四边形AB CD 的对角线AC 、BD 相交于点O, E 、F 、G 分别是AB 、OC 、OD 的中点, OA=AD, OB=B C, CD= 3AB. 则∠FEG 的度数是.4. 如图5所示的四边形AB CD 是一片沙漠地的示意图,点A 、B 在x 轴上, E(2,6) , F(3,4). 折线OFE 是流过这片沙漠的水渠,水渠东边的沙漠由甲承包绿化,水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直,并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB 上找一点P,使得水渠取直为EP,则点P 的坐标为________.。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目1. 题目一设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且满足$f(a)=-1$，$f(b)=3$。
证明：对于任意实数$k$，在区间$[a,b]$上至少存在一点$c$，使得$f(c)-f(a)=k(c-a)$。
2. 题目二已知正整数$n>1$，且$n$与$n+1$互质。
定义数列$\{a_k\}$满足$a_1=n$，$a_2=n+1$，且对于$k\geq 1$有\[a_{k+2}=\frac{a_{k+1}+a_k}{\text{gcd}(a_{k+1},a_k)}.\]证明：数列$\{a_k\}$中不存在连续的三个不等于1的整数。
3. 题目三平面上有$2023$个点，任意三点不共线。
现将这些点两两连接，得到若干条线段。
试证明：存在至少$10$条线段，它们共点于同一点上。
4. 题目四设$a,b$为正整数，且满足$(a+1)^{b+1}-(a-1)^{b+1}=2023$。
求$(a,b)$的所有可能的整数解。
5. 题目五将正整数$n$表示为两个不同素数的乘积，即$n=pq$，其中$p$和$q$均为素数，且$p < q$。
设$S=(p+1)^2+q^2$。
求满足条件的$n$的所有可能取值，并给出满足条件的所有$n$对应的$S$的最大值。
6. 题目六已知三角形$ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\cos A+\cos B+\cos C = 2$。
证明：三角形$ABC$为等边三角形。
7. 题目七设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。
证明：对于任意$\epsilon > 0$，存在有理数$m/n$，其中$m$为自然数，$n$为正整数，且$\left| \frac{m}{n} - f\left(\frac{m}{n}\right) \right| < \epsilon$。
8. 题目八已知正整数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=2023$。
初中数学奥林匹克竞赛题word版含答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。
两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解.pptx
于点.F.又知BC=5.
/A
(1) 设△ABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为-£ .求
2
5 ED长.
⑵ 若AC = -J2AP,且DF经过△ ABC的重心G,求E, F两
点的距离，
=. （25分）已知定理："若三个大于3的庙教貞，成二满足关系式2a-\-5b = c ,贝LI a +占+二
是整数点的倍数试问：上述定理中整数推的最大可能值是峯少T并证明你的结论.
fj£,(«+ ft + f):^yr 队&异曲乂 故("+ A + c):
s o.Mifti. n + t+ r=o. 二.如图7. W •:健:浦.网抓
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记 S jtn = Si •
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①
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值与最小值. 二. （共狷分）如图5,在厶ABC中，ZA=60：J 0,
LH分别是它的外心，内心，垂心.试比较厶 ABC 的外接圆与厶IOH的外接圆的大小，证明 你的论 断.
x+y+z = 3 三. （共25分■）求方程组f 5 % 的所有
X3+/+Z3 = 3 整数解.
6
学海无涯
参考答案：2 没购铅宅、炼习本個球笔各I件分别元寸
4.已知二汶函数y=aX2（a>V）的圏象上两点A, B的橫坐标分别为-1,丄。是坐标原点,
如SAA0B是直角三角形，则AAOB的周长为____. 第二试
—.（20分）已知实数淳&二满足不等式园乏杓+二，冋乏Z+刘|, m |a+占|,求a+占+二
数学奥林匹克竞赛试卷初中
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 2B. 7C. 12D. 252. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm3. 已知函数y=2x+1，若x=3，则y的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 在下列各组数中，有最大公约数4的是（）A. 16，24B. 12，18C. 20，28D. 15，215. 一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，那么它的体积是（）A. 60cm³B. 72cm³C. 80cm³D. 90cm³6. 已知x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）8. 下列各图中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.9. 下列各数中，有最小公倍数120的是（）A. 24，40B. 30，48C. 36，50D. 42，6010. 已知a²+b²=c²，则下列结论正确的是（）A. a、b、c都是正数B. a、b、c都是负数C. a、b、c都是整数D. a、b、c都是正整数二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为______。
12. 0.5+0.2+0.1+…+0.05+0.01+0.005+…+0.0005+0.0001的和为______。
13. 一个数的平方根是±2，那么这个数是______。
14. 下列各数中，是质数的是______。
15. 一个圆的半径增加了50%，那么这个圆的面积增加了______。
16. 若一个等边三角形的边长为a，那么它的周长是______。
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数学奥林匹克初中训练题（２）及答案解析
参考答案： 一.1.(B)
数学奥林匹克初中训练题（２）及答案解析
数学奥林匹克初中训练题（３）及答案解析
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数学奥林匹克初中训练题（４）及答案解析
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数学奥林匹克初中训练题（５）及答案解析
数学奥训练题（５）及答案解析
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初一数学奥林匹克竞赛题(含答案)
（2）answer
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．
2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则
初一奥数题一
甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？
4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
5．求和：
6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．
8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
初一奥数题三
1．解关于x的方程
2．解方程
其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．
5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②
由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③
同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤
③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
所以
7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千
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数学奥林匹克初中训练题10
第一试
一、选择题(每小题7分，共42分)
1.如图，已知在Rt △ABC 中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内
接于△ABC.则△ABC 的周长为( ).
(A)35 (B)40 (C)81 (D)84
2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n 的十进制表示中，数码1有( )个.
(A)50 (B)90 (C)99 (D)100
3.已知f(x)=x 2+6ax-a ，y=f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且)x -6a -)(1x -6a -(13)x )(1x (1a 2121-++=8a-3.则a 的值是( ). (A)1 (B)2 (C)0或21 (D)2
1 4.若不等式ax 2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x 的取值范围是( ).
(A)2≤x≤3 (B)2<x<3 (C)-1≤x≤1 (D)-1<x<1
5.在Rt △ABC 中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB 、BC 、CA 为边长向△ABC 外作等边△ABR 、等边△BCP 、等边△CAQ ，联结QR 交AB 于点T.则△PRT 的面积等于( ).
(A)3239 (B)43 (C)2
1 (D)33 6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.
(A)6 (B)8 (C)9 (D)10
二、填空题(每小题7分，共28分)
1.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE=3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE+PC 的值最小.则PB= .
2.设a 、b 、c 为整数，且对一切实数x ，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c) 恒成立.则a+b+c 的值
为 .
3.如图，在以O 为圆心的两个同心圆图2中，MN 为大圆的直径，交
小圆于点P 、Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A 、B.若OM=2，OP= 1，
MA=AB=BC ，则△MBQ 的面积为 .
4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出 个奇数，才能保证
其中必定存在两个数，它们的和为2 008.
第二试
一、(20分)实数x 、y 、z 、w 满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w 的最大值和最小值.
二、(25分)如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点
D 、
E 、
F ，联结AD 与内切圆相交于另一点P ，联结PC 、PE 、PF.已知PC ⊥PF.求证:
(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD 是等腰三角形.
三、(25分)在]2008
2008[],20082[],20081[2
22 中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x 的最大整数)?
数学奥林匹克初中训练题10参考答案
第一试
一、1.D.
设BC=a ，AC=b.则
a 2+
b 2=352=1 225.①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，则FE/CB=AF/AC ，.
故12(a+b)=ab.
由式①、②得(a+b)2=1 225+24(a+b).解得a+b=49(a+b=-25舍去).所以，周长为84.
2.C.
因为n=(10-1)+(100-1)+…+(100…0(99个0)-1)=11…1(99个1)0-99=11…1(97个1)011， 所以，n 的十进制表示中，数码1有97+2=99(个).
3.D.
由Δ=36a 2+4a>0，得a>0或a<-1/9.由题意可设f(x)=x 2+6ax-a=(x-x 1)(x-x 2).
则(1+x 1)(1+x 2)=f(-1)=1-7a ，
(1-6a-x 1)(1-6a-x 2)=f(1-6a)=1-7a. 所以，7a -13-a =8a-3. 解得a=1/2或a=0(舍去).
4.B.
由题意知，不等式ax 2+7x-1>2x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a 的不等x 2a+5x-6>0对-1≤a≤1恒成立.令g(a)=x 2a+5x-6.则g(-1)=-x 2+5x-6>0，g(1)=x 2+5x-6>0.解得2<x<3.
5.A.
如图，联结PQ.由题设得BC=1/2 ，AC=3 /2，∠QAT=90°，
∠QCP=150°，P 、B 、R 三点共线.
因为S △AQT =21 AT·AQ=2
1 A T·AC=43AT ， 而S △ART /S △ARB =AT/AB ，所以，S △ART =
43AT=S △AQT.从而，QT=RT. 于是，S △PRT =
21 S △PQR =2
1 (S △ABC +S △ABR +S △BCP +S △CAQ +S △CPQ -S △AQR )=3239. 6.B.
如图5，将3×5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7个白格不能作为出点.另一方面，如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点.
二、1.15 2 /8.因为PE+PC=PE+PA ，所以，当A 、P 、E 三点共线时，PE+PA 最小. 如图，建立直角坐标系，设B 为坐标原点，BA 为x 轴.则l BD :y=x ，
l AE :3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=15
2 /8. 2.20或28.
因x 2-(8+a)x+8a+1=x 2-(b+c)x+bc 恒成立，所以，8+a=b+c ，8a+1=bc.
消去a 可得bc-8(b+c)=-63，即(b-8)(c-8)=1.
因为b 、c 都是整数，所以，b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1.
从而，a+b+c=20或28.
3.3 15/8.
设MA=x.
由MA·MB=MP·MQ ，得x·2x=1×3.解得x=2
3. 联结CN.在Rt △MCN 中，MC=3x=32
3，MN=4. 所以，NC=25，S △MCN = 4
153. 又S △MQB /S △MCN =1/2，则S △MQB =
8
153. 4.503. 从1，2，…，2 006中选出两个奇数，和为2 008的共有如下501组: 3+2 005，5+2 003，…，1 003+1 005.
由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2 008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2 008.
第二试
一、设z=w+a ，y=w+a+b ，x=w+a+b+c.则a 、b 、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.
故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w).
因此，x+y+z+w≤25.
当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最大值为25.
又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)，
则 x+y+z+w≥20.
当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最小值为20.
二、(1)如图，联结DF.则△BDF 是等腰直角三角形.于是，
∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.
又因为∠PDC=∠PFD ，所以，△PFD ∽△PDC.
从而，PF/FD=PD/DC.①
由∠AFP=∠ADF ，∠AEP=∠ADE ，
得△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE.
于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.
故由式①得EP/DE=PD/DC.
(2)因为∠EPD=∠EDC ，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD 也是等腰三角形.
三、设f(n)=008 2n 2. 当n=2，3，…，1 004时，有f(n)-f(n-1)=
008 21-2n <1. 而f(1)=0，f(1 004)=1 0042/2 008=502，
以，从0到502的整数都能取到.当n=1 005，1 006，…，2 008时，有f(n)-f(n-1)= 008
21-2n >1. 而f(1 005)=1 0052/2 008=(1 004+1)2/2 008=502+1+1/2 008>503， 故]20082008[],20082[],20081[222Λ是互不同的整数.从而，在]2008
2008[],20082[],20081[2
22Λ中，共有503+1 004=1 507个不同的整数.。