热力学统计物理期末复习试题-精选.pdf

C
ln
ln
ln
ln
（ A） S N ln
（ B） S N ln
ln
ln
ln
ln
（ C） S k ln
（ D） S k ln
5. 自由能作为特性函数应选取的独立态参量是
A
（ A）温度和体积
B）温度和压强
（ C）熵和体积
（ D）熵和压强
6. 由热力学基本方程 dG SdT Vdp 可得麦克斯韦关系 D
（ A） （ C）
（ C）分子数密度远远小于 1 （ D）分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长
12. 不考虑粒子自旋， 在边长 L 的正方形区域内运动的二维自由粒子， 其中动量的大小处在 p ~ p dp
范围的粒子可能的量子态数为
B
2
4L
（ A）
pdp
h2
2
2L
（ B）
pdp
h2
2
2L
（C）
dp
h2
2
（ D） L p 2 dp h2
T
dH TdS Vd
S dT
Tp
S dp （ 2） p
T
（ 3）
（ 2）代入（ 3）得：
S
dH T
dT
Tp
VT
S dp
pT
（ 4）
比较（ 1）、（ 4）得：
H T
Tp
S （5）
Tp
H VT
VT
S （ 6）
pT
将麦氏关系 S p
T
V 代入（ 6），即得 Tp
H VT
VT
V Tp
4. 导出含有 N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：
（ A） T
v 时，振动自由度完全“解冻” ，但转动自由度仍被“冻结” 。
（ B） T
r 时，转动自由度完全“解冻” ，但振动自由度仍被“冻结”
（ C） T
v 时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻” 。
（ D） T
r 时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻” 。
11. 气体的非简并条件是 D
（ A）分子平均动能远远大于 kT （ B）分子平均距离极大于它的尺度
2. 下列各式中不正确的是
A
（ A）
H n T ,P
（ B）
F n T ,V
（C）
U n S ,V
（D）
G n T ,P
3. 吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是
B
（ A）温度和体积
（ B）温度和压强
（ C）熵和体积
（ D）熵和压强
（ D）孤立的系统
4. 费米统计的巨配分函数用
表示，则熵的统计表达式是
五 . 推导与证明
1. 试用麦克斯韦关系，导出方程 TdS CV dT T
体的绝热过程方程 TV
解：∵ dS
S dT
TV
1 C （常量）。
S dV ，
VT
p dV ，假定 C V 可视为常量，由此导出理想气
TV
∴ TdS T
S dT T
TV
S dV
VT
CV dT T
S dV
VT
由麦氏关系
S VT
p ， TdS TV
( n 1/ 2 )
e
/2
(e
n0
n
e
/2
)
1e
∴U CV
ln Z1 3
3N
N
2
U TV
1U
2
kT
引入爱因斯坦特征温度 E ：
3N e 1e
3
3N
N
2
e
1
2
e
3Nk
2
V
kT ( e
1)
2
k E ，即得： C V
3N k E T
E /T
e
E /T
e
2
1
5. 导出爱因斯坦固体的熵表达式： S 3 N k
出现哪些与实验不符的结论或无法
解释的问题？
①．在低温范围内，实验发现固体的热容量随温度降低地很快，当温度趋近绝对零度时，热容量也
趋于零② .对于金属的自由电子，如果将能量的均分定理应用于电子，自由电子的热容量与离子振动
的热容量将有相同的数量级，实验结果是
3k 以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比可以
11. 对于含 N 个分子的双原子分子理想气体， 在一般温度下， 原子内部电子的运动对热容量
7
温度大大于振动特征温度时，
C
Nk
V
2
；温度小小于转动特征温度时，
C V
温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时，
5
C
Nk
V
2
。
无贡献 ；
3
Nk
2
。
1
12. 玻耳兹曼系统的特点是： 系统由全同可分辨粒子组成； 粒子运动状态用 量子态 来描写； 确定每个 粒子的量子态即可确定系统的微观态；粒子所处的状态不受泡利不相容原子的约束。
13 准静态过程是指 过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 特点是 外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。
的过程； 无摩擦准静态过程的
14. 绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响
的
过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功
与具体的过程 无关，仅由 初终两态 决定。
动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即
G 0。
3. 写出系统处在平衡态的熵判据。
一个处在内能和体积不变条件下的系统， 处在稳定平衡态的充要条件是， 对于各种可能的有限虚变
动，所引起的熵变均小于零。即
S0
4.玻尔兹曼关系与熵的统计解释。
由波耳兹曼关系 S k ln 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微
2
部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质确定，这个热力学函数称为特性函数。 11 试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论
或无法解释的问题（至少例举三项）？
12. 最大功原理
①系统在等温等容过程中对外所做的功不大于其自由能的减小（
-w ≤ Fa-Fb）
②在等温等压条件下，能够从系统获得的最大体变功等于系统吉布斯函数的减小。
a 1!
.B E
a!
1 ! ；费米系统的微观状态
.B E 数
!
a!
a ! ；玻耳兹曼系统微观状态数为
N!
.B E
a!
a
。当满足条件经
典近似条件时，三种微观状态数之间的关系为
1
.B E
.F D
N!
.M E
。
18. 为什么说，对于一个处在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态 分布？
19．试说明， 在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，
，，
，
。
9. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：
dU TdS pdV dn dH TdS Vdp dn dG SdT Vdp dn dF SdT pdV dn
，
，
，
10. 等温等容条件下系统中发生的自发过程，总是朝着自由能减小方向进行，当自由能减小到极小值 时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方 向进行，当吉布斯函数减小到极小值时，系统达到平衡态。
相变平衡条件：
变化方向： （P82）
16．写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。
F=k+2-
F:多元复相系的自由度，是多元复相系可以独立改变的强度量变量的数目。
k：系统的组元数
：系统的相数
17. 写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。
与分布 { a l } 相应的，玻色系统微观状态数为
均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？
3
因为双原子分子的振动特征温度 θv ~ 10 K ，在常温或低温下 kT << k θv ，振子通过热运动获得
能量
k θv 从而跃迁到激发态的概率极小，因此对热容量的贡献可以忽略。
7. 能量均分定理。 对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为
U 3N 2
3N
e
1
2
E /T
E
e
CV
3Nk T
E /T
2
，
e
1
解：按爱因斯坦假设，将 N 个原子的运动视为 3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相
6
同。谐振子的能级为：
( n 1 / 2)
( n 0,1, 2 )
则，振子的配分函数为： Z 1
1 ∵ ln Z 1
2
ln(1 e
e
n0
)
4. 均匀系的平衡条件是
T
T 0
且P
P VT
0
。
a
5 玻色分布表为
e
a
1 ；费米分布表为
e
1 ；玻耳兹曼分布表为
ae
。当满足条件 e
1 时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。
6 热力学系统的四个状态量 S、 V 、 P 、 T 所满足的麦克斯韦关系为
S V
T
P T
一 . 填空题
1. 设一多元复相系有个 相，每相有个 k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足
条件： T T
T
、P P
P
、i