江苏省连云港市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学试卷

连云港市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试

数 学Ⅰ

一、填空题

1．已知集合},0{a A =，}3,1,0{=B ，若}3,2,1,0{=B A ，则实数a 的值为 ． 2．已知复数z 满足42

-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．

3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在h km /9050-的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在h km /70以下的汽车有 辆． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 ．

）

5．函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0(>ω的部分图像如图所示，若5=AB ，则ω的值为 ． 6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 ．

7．抛物线x y 42

=的焦点到双曲线

19

162

2=-y x 渐近线的距离为 ． 8．已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱柱

ABC D -的体积为 ．

9．若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则

1321b b b +⋯++的值为 ．

10．定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，b x a x x f +-++=)1()2(log )(2（a ，b 为常数），若

1)2(-=f ，则)6(-f 的值为 ．

11．已知2||||==OB OA ，且1=⋅OB OA ，若点C 满足1||=+CB OA ，则||OC 的取值范围是 ．

12．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0

)(0cos 2)(x x a x x x x x f ，若关于x 的不等式π<)(x f 的解集为)2,(π

-∞，则实数a 的

取值范围是 ．

13．已知)1,0(A ，)0,1(B ，)0,(t C ，点D 是直线AC 上的动点，若BD AD 2≤恒成立，则最小正整数t 的值为 ．

14．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则

b

a c

c b ++的最小值为 ． 二、解答题

15．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知53sin =A ，2

1)tan(-=-B A ， （1）求B tan ； （2）若5=b ，求c .

16．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为矩形，

⊥PA 平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，

求证：（1）//PB 平面EAC ；（2）平面⊥PAD 平面ABCD .

17．如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东0

45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线

C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ,OB 垂直的两条道路PN PM ,，且PN

PM ,的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则曲线符合函数

)91(2

42≤≤+

=x x

x y 模型，设x PM =，修建两条道路PN PM ,的总造价为)(x f 万元，题中所涉及的长度单位均为百米. （1）求)(x f 解析式;

（2）当x 为多少时，总造价)(x f 最低？并求出最低造价．

O

P

A

B

C

D

E

18．已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前项和，且满足：

).0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.

（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值; （2）若2

1

=λ，求n S .

19. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率21=e ，左顶点为

)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .

（1）求椭圆C 的方程;

（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的

)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存

在说明理由;

（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求

OM

AE

AD +的最小值.

20．已知函数]42)4(23

1[)(2

3--++-=a x a x x e x f x

，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值． （2）关于x 的不等式x

e x

f 3

4)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数．

x

附加题部分

21．【选做题】

A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点

,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．

B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1

214A ⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

，求矩阵A 的特征值和特征向量．

C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为28sin()1303

π

ρρθ--+=，已知33(1,

),(3,)22

A B ππ

，P 为圆C 上一点，求PAB ∆面积的最小值．

D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设,x y 均为正数，且x y >，求证：22

1

2232x y x xy y +≥+-+．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是直角三角形，

1AB AC ==，点P 是棱1BB 上一点，满足1(01)BP BB λλ=≤≤

．

（1）若1

3

λ=

，求直线PC 与平面1A BC 所成角的正弦值； （2）若二面角1

P AC B --的正弦值为2

3

，求λ的值．

23.（本小题满分10分）

已知数列{}n a 满足212111

32,(),()()(1)n n

a n f n g n f n f n a a a =-=

+++=-- ，*n N ∈． （1）求证：1

(2)3g >；（2）求证：当3n ≥时，1()3

g n >．