习题五

4．在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正 态分布 N ( µ , 0.22 ) ，若以 X n 表示 n 次称量结果的平均值，问 n 至少取多大，使得 P( X n − µ ≥ 0.1) < 0.5 ．
4
《概率论与数理统计》作业答题纸
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解：由林德伯格—列维定理知
=
1 − Φ (−
150 ) ≈ 0.99865 5150 × 0.485
10．报童沿街向行人兜售报纸。设每位行人买报的概率为 0.2，且他们是否买报 是相互独立的。 试求， 报童在向 100 位行人兜售之后， 卖掉报纸 15-30 份的概率。 解：设 X 为 100 位行人买报的份数 则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知
3．设 X 1 , X 2 ,..., X n ,... 是相互独立的随机变量序列，且 E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 ≠ 0 (i = 1, 2,...) ，则对 ∀ε > 0, lim P( ∑ X i − nµ ≥ ε ) =
n→∞ i =1 n
0
；
4．设随机变量 X , Y ，已知 E ( X ) = −2, E (Y ) = 2, D ( X ) = 1, D(Y ) = 4, ρ = −0.5, 则由 契比雪夫不等式有 P( X + Y ≥ 6) ≤ 1/12 ；
P ( X > 7000) = 1 − P ( X ≤ 7000) = 1 − P(
66
7．为了测定一台机床的重量，把它分解成若干部件来称量。假定每个部件的称 量误差(单位：kg)服从区间(-2，2)上的均匀分布 。试问，最多可以把这台机床 分解成多少个部件，才能以不低于 99％的概率保证总重量误差的绝对值不超过 10kg。 解：设最多可以分解成 n 个部件 X 为总重量的误差 则 ： P ( −10 ≤ X ≤ 10) = P( − 10 − 0 X − n × 0 10 − 0 10 ≤ ≤ ) = 2Φ( ) − 1 >0.99 4 4 4 4 n n n n 3 3 3 3
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习题五 一、填空题
大数定律与中心极限定理
1． 设随机变量 X ~ U [0,1] ， 由切比雪夫不等式可得 P( X − 1 2 ≥
1 )≤ 3 8 ； 9
0.25
；
2．设 E ( X ) = 1, D ( X ) = 4, 则由契比雪夫不等式有 P(−5 < X < 7) =
___
X n−µ ≥ 0.1 ) < 0.5 0.2 / n
P( X n − µ ≥ 0.1) < 0.5
P(
0.2 / n
___
X n− µ ≤ 0.1 ) < 0.5 0.2 / n n≥2
1 − P( 1 − [ Φ(
0.2 / n
0.1 1 0.1 ) ] = 2 − 2Φ ( ) < 0.5 ) − Φ( − 0.2 / n 2/ n 0.2 / n
2．由 100 个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件 能正常工作的概率为 90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有 85%的部
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件正常工作，求整个系统能正常运行的概率． 解：设 X 为正常工作的部件数 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知
6．已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为 100 小时的指数分布。现在从该厂 的产品中随机地抽取 64 只 。 试求这 64 只晶体管的寿命总和超过 7000 小时的概 率。假定这些晶体管的寿命是相互独立的。 解：X 为 64 只晶体管的总寿命 则 X − 64 × 100 7000 − 6400 3 ≤ ) = 1 − Φ ( ) =0.22 100 × 8 800 4
3．设有 30 个同类型的某电子器件 X 1 , X 2 ,..., X 30 ，若 X i (i = 1,...,30) 的寿命服从 参 数 为 λ = 0.1 的 指 数 分布 ， 令 T 为 30 个器 件正常 使 用的 总 计 时 间， 求 P(T > 350) 解：由林德伯格—列维定理知 P(T > 350) = P( 1814 T − 30 × 10 350 − 300 T − 300 > ) =1 − P( ≤ 5 / 30 ) = 1 − Φ (5 / 30 ) =0. 30 × 100 30 ×100 10 30
故想保证这些分机要用外线时可供使用的概率达到 0.9。即使 P{X ≤ k } ≥ 0.9 则需要使 Φ ( k − 10 ) ≥ 0.9 查表知 Φ (1.28) ≈ 0.9 9.5 因此需要 k − 10 ≥ 1.28 即 k ≥ 14 9.5
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1000 i =1
C. P(a < ∑ X i < b) ≈ φ (b) − φ (a) D． P(a < ∑ X i < b) ≈ φ (
i =1 1000
b − 1000 p a − 1000 p ) −φ( ) 1000 pq 1000 pq
8．设 X 1 , X 2 ,..., X n 相互独立， S n = X 1 + X 2 +,..., + X n ，则根据列维——林德 伯格中心极限定理，当 n 充分大时， S n 近似服从正态分布，只要 X 1 , X 2 ,..., X n （ B ） A．有相同的数学期望 C. 服从同一指数分布 三、解答题 1．每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为 1.5 ，求在 100 次 射击中有 180 到达 220 发炮弹命中目标的概率． 解：设 X 为在 100 次射击中炮弹命中目标的次数 由林德伯格—列维定理知 X − 100 × 2 ~ N (0,1) 100 ×1.5 B. 有相同分布 D. 服从同一离散型分布.
n →∞ i =1 n
二、选择题 1． 设随机变量 X 的方差 D ( X ) 存在， 则 P( a > 0， X − E( X ) > 1) ≤ （ a C ）
1
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A． D ( X )
B.
1
C.
D( X ) a2
D. a 2 D( X ) .
n →∞
ξn − p ≥ ε) = n
0
；
7．假设某一年龄女童的平均身高为 130 厘米，标准差是 8 厘米。现在从该年 龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在 120 至 140 厘米的概率为 9 改； 25
8．设 X 1 , X 2 ,..., X n ,... 是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布， 则 lim P(∑ X i ≤ n ) = 0.5 改；
2. 设 E ( X ), D( X ) 都存 在, 则对 于任意实 数 a, b(a > b) , 可以用契比雪夫不等式 估计出概率( D ). B. P(a < X − E ( X ) < b) D. P( X ≥ b − a) C ）
A． P(a < X < b) C. P(a < X < a )
A． D ( X ) = 2 C. D( X ) ≠ 2
5．设 X 为连续型随机变量，且方差存在，则对任意常数 C 和 ε > 0 ，必有 （ C ） A． P( X − C ≥ ε ) = E X −C ε E X −C ε B. P( X − C ≥ ε ) ≥ E X −C ε E X −C ε2
5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是 7300，标准差是 700。 利 用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在 5200 至 9400 之间的概率 p= 8 ； 9
6． 设 ξ n 是 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次试验中出现的概 率，则对 ε > 0, lim P(
180 − 100 × 2 X − 100 × 2 220 − 100 × 2 P(180 < X < 220) = P( < < ) 100 × 1.5 100 × 1.5 100 × 1.5 = P(−1.63 < X − 100 × 2 < 1.63) Φ (1.63) − Φ ( −1.63) = 2Φ (1.63) − 1 =0.8968 100 × 1.5
P (15 < X < 30) = P(
X − 100 × 0.2 15 − 100 × 0.2 30 − 100 × 0.2 < < )= 100 × 0.2 × 0.8 100 × 0.2 × 0.8 100 × 0.2 × 0.8
P ( X ≥ 85) = P(
X − 100 × 0.9 85 − 100 × 0.9 ≥ ) = 1− 100 × 0.9 × 0.1 100 × 0.9 × 0.1
P(
X − 100 × 0.9 5 5 85 − 100 × 0.9 ≤ ) = 1 − Φ (− ) = Φ ( ) =0.9515 3 3 100 × 0.9 × 0.1 100 × 0.9 × 0.1
5．某单位设置一电话总机，共有 200 门电话分机，每门电话分机有 5%的时间 要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配 置多少条外线， 才能以 90%的概率保证每门分机要使用外线时， 有外线可供使用． 解：用 X 表示 200 个分机中同时需要使用外线的台数。则 X ~ B ( 200,0.05) ，若 设该单位安装的外线数为 k，则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知 X − np X − 10 = ~ N (0,1) np(1 − p) 9.5 x − 10 k − 10 k − 10 ∴ P{x = k } = P ≤ ≈ Φ 9.5 9.5 9.5