高一数学必修一集合与函数知识点总结

必修一 集合与函数知识点第二章函数1. 函数三要素：（1）解析式 （2）定义域 （3）值域2. 函数定义域的求法：（1）分式的分母不得为零; (2) 偶次方根的被开方数不大于零;（3）对数函数的真数必须大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（5）0)()]([0≠=x f x f y ，要求； （6）抽象函数求定义域：①f[g(x)]的定义域为[a,b]，指的是x 的取值范围为[a,b]，而不是g(x)的范围为[a,b]，如f(3x-1)的定义域为[1,2]，指的是f(3x-1)中的范围是21≤≤x .②f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同。

（7）对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

3. 函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；集合知识网络集 合定 义 特 征 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法 分 类列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集数 集 关 系 自然数集N 、正整数集+*N 或N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 元素和集合的关系是”或“∉∈如N 3M 2∉∈或 集合与集合之间的关系是",,,,, ,"A C u =⊄⊆⊂运 算性 质交集 A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}； 并集 A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}； 补集 A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集A ⊆A ； φ⊆A ； 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A方 法韦恩示意图 数轴分析注意：① 区别∈与⊂、⊂与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ4.③ 对于任意集合B A ,，则 =B C A C U U )(B A C U ；B C A C U U )(B A C U =；④ 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是12-n ，所有非空子集的个数是12-n，所有非空真子集的个数是22-n 。

②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 ⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）增函数：)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x <⇒<∈对任意的 减函数：)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x >⇒<∈对任意的注：① 函数上的区间I 且x 1，x 2∈I.若2121)()(x x x f x f --＞0（x 1≠x 2），则函数f(x)在区间I 上是增函数；若2121)()(x x x f x f --＜0（x 1≠x 2），则函数f(x)是在区间I 上是减函数。

② 用定义证明单调性的步骤:<1>设x 1，x 2∈M ，且21x x <；则 <2> )()(21x f x f -作差整理；<3>判断差的符号； <4>下结论； ③ 增+增=增 减+减=减④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减[]（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()ϕϕ ()的单调区间如：求x x y 2log 221+-=20022<<>+-=x u x x u 则，由（设)()，如图：，且11log 221+--=↓=x u u y ↓+-=↓=↑+-=∈)2(log log 2]10(221212x x y u y x x u x ∴，，又时，，当↑+-=↓=↓+-=∈)2(log log 2)21[221212x x y u y x x u x ∴，，又时，，当⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）f(x) －f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x)为奇函数。

注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x ｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=2221（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000 即·，∴）a a a 22210100+-+==⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T ≠0的常数,则T 是函数f(x)的周期;②若f(x+a)=f(x+b) ，a 、b 为常数且a ≠b,则b- a 是函数f(x)的周期。

uO 1 2 x(a>0,b>0)左加右减 上加下减⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=2b a +对称;( 即:‘一均二等’的原则)②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=2a b -对称.③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y 轴),直线y=0(即x 轴),原点。

⑸函数图象的变换平移变换：bx f y a x f y x f y a x f y bx f y -=↓-=→=←+=↑+=)()()()()( 对称变换：(1)y=f(-x) 与y=f(x)关于y 轴对称. (2)y=-f(x) 与y=f(x)关于x 轴对称.(3)y=-f(-x) 与y=f(x)关于原点对称. (4))(1x f y -=与y=f(x)关于直线y=x 对称. (5)y=|f(x)| 的图象可将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变.（下翻上）(6)y=f(|x|) 的图象：可将y=f(x)，x 0≥的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x<0的图象。

（右翻左）伸缩变换：（1）y=Af(x)(A>0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到. （2）y=f(ax)（a>0）的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到4. 求反函数的步骤：(1) 反解x ； （2）对调x,y; （3）写反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：函数与反函数之间:f -1(a)=b ⇔f(b)=a5. 常用的初等函数：一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,)0(>+=k xk x y 的图象和性质(重点掌握!!) （1）一次函数：)0(≠+=k b kx y ，当0>k时，是增函数；当0<k 时，是减函数；()图象为抛物线）二次函数（a b ac a b x a a c bx ax y 44202222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≠++=顶点坐标为，，对称轴--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-b aac b a x b a 24422 开口方向：，向上，函数a y ac b a>=-0442mina y acb a<=-0442，向下，max应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴∆ 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。

ax bx c 200++><()②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ；yy=a x (a>1)(0<a<1) y=log a x(a>1)1O 1 x(0<a<1)y O x-kk 顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ；（3）反比例函数：)0(≠=x x a y ⇒b x c a y -+=(遇y=anx bmx ++的函数一般用反比例函数来解决) （4）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x指数运算法则nmb a = ；mnba = ；n ab )(= ；0a = 。

（5）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a 对数运算法则：log a MN= ；log aNM= ；log a M n = ；log a nM= ；log m a M n = ； log aa =1； log a 1=0; log a b=（换底公式）；Naalog=N （对数恒等式）注意：（1）x a y =与x y a log =的图象关系是 ；由图象记性质！ （注意底数的限定！） ()（）“对勾函数”60y x kxk =+> 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 由)0(>+=k xkx y 的图象：定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。

（7）幂函数αx y =（会做α=1，2，3，21，-1的图象）注：①图象都过（1，1）点。

②在第四象限无幂函数图象。

③α>0时，幂函数在第一象限是增函数。

④α<0时，幂函数在第一象限是减函数。

6. 函数与方程：（1）函数)(x f y =的零点⇔方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点。

（2）一般地，如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0那么，函数)(x f y =在 (a,b)内有零点，即),(b a c ∈，使得,0)(=c f 这个c 也就是方程0)(=x f 的根。