数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷）

2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求

1000

1000

1

1

n n

=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ）

2. 为了减少误差,进行计算。 （ ）

3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）

4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ）

5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有

关，与常数项无关。

（ ） 二、填空题（每空2分，共36分）

1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.

2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

则1A =_____，2x =______，Ax ∞

=_____.

3. 已知5

3

()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .

4. 为使求积公式

1

1231

()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰

的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .

6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)

()(0,1,2,)k k X

MX N k +=+=产

生的向量序列{

}()

k X

收敛的充分必要条件是 .

7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，则

L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则

11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，

<，=，不一定）。

8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x y

y '=+⎧⎨=⎩

的数值解，其迭代公式为

___________________________.

三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）

1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3

()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求

（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；

（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果取到小数点后4位）。

2. 给定线性方程组

（1） 分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式； （2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。 3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值

（1） 建立以上数据的差分表；

（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值； （3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。 4.

5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。

6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正

公式求解下列

常微分方程的数值解。

四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i

x y i n =，请用多种方法建立这些数据点之间

的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

期末考试答案及评分标准（A 卷）

2007学年第二学期 考试科目： 数值分析

一、判断题：（每小题2分，共10分）

1. ×

2. √

3. ×

4. ×

5. × 二、填空题：（每空2分，共36分） 1. 0.005或2

0.510-⨯ ，0.5 2.

3. 0,2

4. 1,0,1,3

5.

()A A ρ≤

6. ()1M ρ<

7. 1042,,1,10212⎡⎤

-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

8. 11

()(1)2

n n n n n n y y x y x y +=+++

++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,

n n n y x y n +=++

=

三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3

()31f x x x =--，由于

a)

()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，

b) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分

（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

………………………………………2分

取初值02x =进行迭代，得

………………………………………1分 ………………………………………1分

2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为

(1)()()

123(1)()()

2

13(1)()()3

120.40.410.40.820.40.83

k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩ ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为