勾股定理知识点及练习题及答案

一、选择题
1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A ．600m
B ．500m
C ．400m
D ．300m 2．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的
动点，则PC +PD 的最小值为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
3．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）
A ．47
B ．62
C ．79
D ．98 4．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ）
A 37
B 13
C 3713
D 37137 5．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．2
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )
A ．3
B ．154
C ．5
D ．152
7．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．以上都不对 8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC D
E BC ︒∠=⊥于点E ，B
F ⊥DC 于点F ，
DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12
CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④
9．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折
叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ）
A ．72
B ．74
C ．254
D ．154
10．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A ．6，8，10
B ．5，12，13
C ．3，5，6
D ．2，3，5
二、填空题
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．
12．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．
13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是
__________．
14．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
15．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90º，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．
16．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE 的长为______．
17．已知x，y为一个直角三角形的两边的长，且（x﹣6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_____．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．
19．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
20．如图，直线
4
2
3
y x
=+与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一
点，若将ABC
∆沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的'A处，则点C的坐标为______.
三、解答题
21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．
（1）求BF的长；
（2）求CE的长．
24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，
（1）求证：ABD ACE ≅；
（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，
①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；
②若3BD =，4CF =，求AD 的长，
25．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．
（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．
26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.
(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.
(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.
27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.
请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
28．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．
（1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．
（1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．
【详解】
解：如右图所示，
∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠ACB，
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400m，
∴△ABC≌△DEA，
∴EA=BC=300m，
在Rt△ABC中，AC=22
=500m，
AB BC
∴CE=AC-AE=200，
从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，
∴最近的路程是500m．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．
2．B
解析：B
【分析】
过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．
此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．
∵DC ＝2，BD ＝6，
∴BC ＝8，
连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，
∴∠CBC ′＝90°，
∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°，
∴BC ＝BC ′＝8，
根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
依据每列数的规律，即可得到222
1,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】
解：由题可得：222
321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+
当21658c n n =+==时，
63,16
∴==
x y
∴+=
79
x y
故选C
【点睛】
本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．
【详解】
当如图1所示时，AB=2，BC=3，
∴AC=22
+；
23=13
当如图2所示时，AB=1，BC=6，
∴22
1+6=37
故选C．
【点睛】
本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．
【详解】
根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．
乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．
因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，
因为2017÷6=336…1，
所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.
2，
故选D ．
【点睛】
此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，
所以S 2=x+4y=5，
故答案为5．
点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.
【详解】
解：由已知可得CD=BD=5,
22251213+=
即222BD AD AB +=,
ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，
90ADC ∴∠=︒
222AD CD AC ∴+=
13AC ∴=
13AB AC ∴==
故ABC 是等腰三角形.
故选C
【点睛】
本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.
8．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，
∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE
∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；
∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE ，设AE=x ，则BE=x ，CE=8-x ，再在Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出BE 的长度．
【详解】
解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，
∴AE ＝BE ，
设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，
在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2+CE 2，
即x 2＝62+（8﹣x ）2，
解得，x ＝
254， ∴BE ＝254
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
10．C
解析：C
【分析】
求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】
A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D 、222
+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
二、填空题
11．8
【解析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值
作交于，则为所求；
设,,
由，，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8.
点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．5
【详解】
解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点,
∴DE=CE，,
∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,
∴AD ∥BC,
∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,
∴△AED ≌△FEC （ASA ）,
∴AD=FC=5，AE=EF,
∴BF=BC-FC=5,
∴在Rt △ABF 中，
13AF ==,
6.52
AF AE =
= 故答案为：6.5．
13．48
【分析】 用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，
则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()2
23S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，
∴()()22
22144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=
2233144a b +=
2248a b +=，
∴248S =．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
14．【分析】
延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．
【详解】
解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，
∵D是BC边中点，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
又∵AB＝10，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴在Rt△BED中，2222
=+=+=，
BD BE DE
64213
∴BC＝2BD＝413，
故答案为：413．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
15．71-
【分析】
分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，2222
--，
AB=AC BC=54=3
∴AP的最大值为A P1=AB=3
如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，
∴AP 的最小值为AD PD=47--
线段AP 长度的最大值与最小值之差为()
1AP AP=347=71----
故答案为71-
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.
16．2或18
【分析】
分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.
【详解】 解：①如图
点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，
∴△A ′BE ≌△ABE,
∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B
∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,
在△ECD 与△CB A′中，{CD A B
D BA C DEC ECB
='∠=∠'∠=∠,
∴△ECD ≌△CB A′,
∴CE=BC=10,
在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,
∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;
②如图
点E 为AD 延长线上,由题意得：
∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o
∴∠A"BC=∠DCE,
在△A"BC 与△DCE 中，"={""A CDE
CD A B A BC DCE
∠∠=∠=∠
∴△A"BC ≌△DCE,DE= A"C,
在RT △ A"BC 中，
∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;
综上所知,AE=2或18.
故答案为:2或18.
【点睛】
此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.
17．【解析】
【详解】
∵（x-6）2=9，
∴x-6=±3，
解得：x 1=9，x 2=3，
∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，
∴当x=3时，x 、y =；
当x=9时，x 、y =；
当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．
18．485
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得
111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485. 19．78
【解析】
试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．
试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，
设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，
在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，
∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=
78， 即BE 的长为
78． 20．（0，
34）. 【分析】 由423
y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122
OA '=
-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423
y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32
-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=
32,
∴52AB =
==, ∴53122
OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）
由翻折得ABC A BC '≌，
∴2A C AC m '==-，
在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,
∴222(2)1m m -=+，解得m=
34， ∴点C 的坐标为（0，
34）. 故答案为：（0，
34
）. 【点睛】
此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC
与A’C的数量关系，利用勾股定理求出点C的坐标.
三、解答题
21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米
【解析】
试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.
试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE=22
257
-=24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴22
CD CE
-22
2520
-，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．
【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=1
2
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12
×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，
∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，
∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，
∴BD ＝22BE DE +＝2234+＝5．
（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：
解法一：
如图3，连结BE ．
∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，
∴∠D ＝∠AED ＝45°，
∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，
∴BE ＝CD ，∠BEA ＝∠CDA ＝45°，
∴∠BEC ＝∠BEA +∠AED ＝45°+45°＝90°，即BE ⊥DE ，
在Rt △BEC 中，由勾股定理可知：BC 2＝BE 2+CE 2．
∴BC 2＝CD 2+CE 2．
解法二：
如图4，过点A 作AP ⊥DE 于点P ．
∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，
∴AP ＝EP ＝DP ．
∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，
CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，
∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），
∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，
∴CD 2+CE 2＝2AC 2．
∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，
∴CD 2+CE 2＝BC 2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD ，解（2）（3）的关键是判断出BE ⊥DE ，是一道中等难度的中考常考题．
23．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；
（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：2222BF=AF -AB =10-8=6，
故BF 的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，
又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，
∴FE=DE=8-x ，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，
∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，
故CE 的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
24．（1）见详解（2）①结论：2
22BD FC DF +=，证明见详解②35
【分析】
（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；
（2）①结论：2
22BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．
【详解】
解：（1）∵AE AD ⊥
∴90DAC CAE ∠+∠=︒
∵90BAC ∠=︒
∴90DAC BAD ∠+∠=︒
∴BAD CAE ∠=∠
∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABD △≌ACE △()SAS
（2）①结论：2
22BD FC DF +=
证明：连接EF ，如图：
∵ABD △≌ACE △
∴B ACE ∠=∠，BD CE =
∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒
∴222FC CE EF +=
∴222FC BD EF +=
∵AF 平分DAE ∠
∴DAF EAF ∠=∠
∴在DAF △和EAF △中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DAF △≌EAF △()SAS
∴DF EF =
∴222FC BD DF +=
即2
22BD FC DF +=
②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：
∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=
∴5DF =
∴35412BC BD DF FC =++=++=
∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622
BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=
∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．
25．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．
【详解】
解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，
理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE ⊥BD ；
（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6；
（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ， ∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D 在BA 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．
26．（1）3；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．
【详解】
解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =
∴222AC AD CD =-=，
∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=
⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，
∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，
∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，
∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，
∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，
在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=， ∴2EG GH EH BG CG =+=
+．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）21.
【分析】
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴A′点落在CB 上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，
∴A′D=A′B ，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC 平分∠BAD ，
∴D′点落在AB 上，
∵BC=10，
∴D′C=BC ，
过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，
设D′E=BE=x ，
在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，
在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．
∴102-x 2=172-（9+x ）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
28．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1
[180(902)]
2
α
⨯︒-︒-=45α
︒+；
（3）如图，连接BE，
由（2）知：∠ADC=45α
︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，
∴∠BED=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴2222
2
BD BE DE DE
=+=，
∴2
BD DE
=.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
29．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝3
【解析】
【分析】
（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由
∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由
CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；
（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；
【详解】
（1）解：如图1﹣1中，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝AB ，
∵∠A ＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，
在△DAE 和△BDF 中，
AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAE ≌△BDF ，
∴∠ADE ＝∠DBF ，
∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，
∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．
（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．
∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，
∴△GMB 是等边三角形，
∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，
∴∠MBD ＝∠GBC ，
在△MBD 和△GBC 中，
MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MBD ≌△GBC ，
∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，
∵CH ⊥BG ，
∴∠GCH ＝30°，
∴CG ＝2GH ，
∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，
∴2GH ＝DG+GB ．
（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝GCH ＝30°，
∴tan30°＝
GH CH
， ∴GH ＝4，
∵BG ＝6，
∴BH ＝2，
在Rt △BCH 中，BC =
∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，
∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝×（2＝． 【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】 ()1由等边三角形的性质可求6AB BC ==，132
BG BC ==，1DG =，由勾股定理可求AG ，AD 的长；
()2①想法1：过点A 作AM DF ⊥于点M ，作AH DE ⊥，交DE 的延长线于点H ，由角平分线的性质可得AH AM =，由“AAS ”可证Rt AHE ≌Rt AMF ，可得AE AF =； 想法2：延长DE 至N ，使DN DF =，由“SAS ”可证ADN ≌ADF ，可得AN AF =，AFD N ∠=∠，由四边形内角和为360，可得AEN AFD N ∠=∠=∠，可得
AN AE AF ==；
②由想法1可得224
ADM AEDF AHDM S S S
x ===四边形四边形． 【详解】 () 1如图，过点A 作AG BC ⊥于点G ，
2
BD=，4
DC=，
6
BC
∴=，
ABC是等边三角形，AG BC
⊥，
6 AB BC
∴==，
1
3
2
BG BC
==，321
DG BG BD
∴=-=-=，
在Rt ABG中，2233
AG AB BG
=-=，
在Rt ADG中，2227
AD AG DG
=+=
()2①想法1：如图，过点A作AM DF
⊥于点M，作AH DE
⊥，交DE的延长线于点H，
AD平分EDF
∠，AH DE
⊥，AM DF
⊥
AH AM
∴=，
60
ADE ADF
∠=∠=，
120
EDF
∴∠=，
360
AED AFD BAC EDF
∠+∠+∠+∠=，
180
AED AFD
∴∠+∠=，且180
AED AEH
∠+∠=，
AEH AFD
∴∠=∠，且AH AM
=，90
H AMF
∠=∠=，
Rt AHE
∴≌()
Rt AMF AAS
AE AF
∴=，
想法2：如图，延长DE至N，使DN DF
=，
DN DF =，AD AD =，60ADE ADF ∠=∠=，
ADN ∴≌()ADF SAS
AN AF ∴=，AFD N ∠=∠，
60ADE ADF ∠=∠=，
120EDF ∴∠=，
360AED AFD BAC EDF ∠+∠+∠+∠=，
180AED AFD ∴∠+∠=，且180AED AEN ∠+∠=，
AEN AFD ∴∠=∠，
AEN N ∴∠=∠，
AN AE AF ∴==，
②如图，
由①中想法1可得Rt AHE ≌Rt AMF ，
AHE AMF S S ∴=，
AEDF AHDM S S ∴=四边形四边形，
60ADF ∠=，AM DF ⊥，
12DM AD ∴=，33AM DM AD ==， 221332ADM
S DM AM AD x ∴=⨯⨯==， AD AD =，AH AM =，
Rt ADH ∴≌()Rt ADM HL
ADH ADM S S ∴=，
2324
ADM AEDF AHDM S S S
x ∴===四边形四边形． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。