球的体积和表面积公式具体推导过程

1..3.2球的体积和表面积（1）

设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平

面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小

圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度

n R ，底面

就是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2

2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ）

第i 层“小圆片”的体积为：

V ≈π2i r ·n R ＝⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--2311n i n R π，

（i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2

2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+•••++］（注：)12)(1(6

121222++=+•••++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--•n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---6)12)(11(13n n R π ①

当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的

体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。

事实上，n 增大，

n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33

4R π

1..3.2球的体积和表面积（2）

球的表面积推导方法（设球的半径为R ，利用球的体积公式推导类似方法）

（1）分割。把球O 的表面分成n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是S 1，S 2，……

Sn ，那么球的表面积为：S ＝S 1＋S 2＋……＋Sn

把球心O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n 个以“小球

面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O 为顶点，以第i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么

“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近

似于棱锥，它们的高近似于球的半径R 。

（2）求近似和。设n 个“小锥体”的体积分别为V 1，V 2，…，Vn

那么球的体积为：V ＝V 1＋V 2＋…＋Vn

由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的

近似值。第i 个“小锥体”对应的棱锥以点O 为顶点，以点O 与第i 个“小球面片”

顶点的连线为棱。设它的高为h i ，底面面积为S ’i ，于是，它的体积为：

V ’i ＝3

1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） 这样就有：V i ≈3

1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） V ≈31（h 1 S ’1＋h 2 S ’2 ＋…＋h n S ’n ） ①

（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么h i （i ＝1,2,…，n ）就趋向于R ，S ’i 就趋向于 S i ，于是，由①可得：V ＝3

1RS 又V ＝334R π，所以，有334R π＝3

1RS 即： S ＝4πR 2