程序设计实训题3

基础实训21
5. 分解质因数
整数分解质因数是最基本的分解。

例如，90=2*3*3*5, 1960=2^3*5*7^2，前者为质因数乘积形式，后者为质因数的指数形式。

把指定区间上的所有整数分解质因数,•每一整数表示为质因数从小到大顺序的乘积形式。

如果被分解的数本身是素数，则注明为素数。

例如, 92=2*2*23, 91(素数!)。

分解：
1671861＝
5845271＝
（1）设计要点
对每一个被分解的整数i，赋值给b(以保持判别运算过程中i不变)，用k(从2开始递增取值)试商:
若不能整除，说明该数k不是b的因数，k增1后继续试商。

若能整除，说明该数k是b的因数，打印输出"k*"；b除以k的商赋给b(b=b/k)•后继续用k试商(注意，可能有多个k因数)，直至不能整除，k增1后继续试商。

按上述从小至大试商确定的因数显然为质因数。

循环取值k的终值如何确定，一定程度上决定了程序的效率。

终值定为i-1或i/2，无效循环太多。

循环终值定为i的平方根sqrt(i)可大大精简试商次数，此时如果有大于sqrt(i)的因数(至多一个!)•,在试商循环结束后要注意补上，不要遗失。

如果整个试商后b的值没有任何缩减，仍为原待分解数i，说明i是素数，作素数说明标记。

（2）质因数分解乘积形式程序设计
// 质因数分解乘积形式
#include"math.h"
#include <stdio.h>
void main()
{long int b,i,k,m,n,w=0;
printf("[m,n]中整数分解质因数（乘积形式）.\n");
printf("请输入m,n:");
scanf("%ld,%ld",&m,&n);
for(i=m;i<=n;i++) // i为待分解的整数
{ printf("%ld=",i);
b=i;k=2;
while(k<=sqrt(i)) // k为试商因数
{if(b%k==0)
{b=b/k;
if(b>1)
{printf("%ld*",k);
continue; // k为质因数,返回再试
}
if(b==1) printf("%ld\n",k);
}
k++;
}
if(b>1 && b<i)
printf("%ld\n",b); // 输出大于i平方根的因数
if(b==i)
{printf("(素数!)\n");w++;} // b=i,表示i无质因数
}
printf("其中共%d个素数.\n",w);
}
1671861=3*31*17977
5845271=233*25087
6. 构建横竖折对称方阵
试观察图所示的横竖折对称方阵的构造特点，总结归纳其构造规律，设计并输出n（奇数）阶对称方阵。

图 7阶横竖对称方阵
输出15阶、19阶横竖折对称方阵。

解: 这是一道培养与锻炼观察能力、归纳能力与设计能力的有趣案例。

设置2维数组a[n][n]存储n阶方阵的元素，数组a[n][n]就是数据结构。

本案例求解算法主要是给a数组赋值与输出。

一个一个元素赋值显然行不通，必须根据方阵的构造特点，归纳其构建规律，分区域给各元素赋值。

（1）构造规律与赋值要点
观察横竖折对称方阵的构造特点，方阵横向与纵向正中有一对称轴。

两对称轴所分4个小矩形区域表现为同数字横竖折递减，至4顶角元素为1。

设阶数n（奇数）从键盘输入，对称轴为m=(n+1)/2。

设置2维a数组存储方阵中元素，行号为i，列号为j，a[i][j]为第i行第j列元素。

可知主对角线（从左上至右下）有：i=j；
次对角线（从右上至左下）有：i+j=n+1。

按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图所示。

图对角线分成的4个区
对角线上元素可归纳到上、下部，即上、下部区域带等号即可。

上、下部按列号j的函数abs(m-j)赋值：
if(i+j<=n+1 && i<=j || i+j>=n+1 && i>=j)
a[i][j]=abs(m-j);
左、右部按行号i的函数abs(m-i)赋值：
if(i+j<n+1 && i>j || i+j>n+1 && i<j)
a[i][j]=abs(m-i);
输出时,按a[i][j]打印。

（2）程序设计
// 横竖折对称方阵
#include <stdio.h>
#include <math.h>
void main()
{int i,j,m,n,a[30][30]; // 定义数据结构
printf(" 请确定方阵阶数(奇数)n: "); scanf("%d",&n);
if(n%2==0) {printf(" 请输入奇数！");return;}
m=(n+1)/2;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{ if(i+j<=n+1 && i<=j || i+j>=n+1 && i>=j)
a[i][j]=abs(m-j); // 方阵上、下部元素赋值 if(i+j<n+1 && i>j || i+j>n+1 && i<j)
a[i][j]=abs(m-i); // 方阵左、右部元素赋值 }
printf(" %d阶对称方阵为:\n",n);
for(i=1;i<=n;i++)
{ for(j=1;j<=n;j++) // 输出对称方阵
printf("%3d",a[i][j]);
printf("\n");
}
}
7. n个1 整除
一个整数为n个1，它能被指定正整数p(约定为个位数字非5的奇数)整除，问n至少为多大？
输入p，输出n。

p=57, n=
p=2011, n=
8. 基于素数的代数和
定义s(n)=1*3-3*5-5*7+7*9+9*11±…-25*27±…±(2n-1)*(2n+1)
(一般项(2k-1)*(2k+1)的符号识别：当(2k-1)与(2k+1)中有且只有一个素数，取“+”；其余取“-”。

)
1) 求s(1000)。

2) 设1<=n<=1000，当n为多大时，s(n)最大。

3) 设1<=n<=1000，当n为多大时，s(n)最小。

9. 三组平方
把1，2，...，9这9个数字分成三个组，每组至少一个数字，使得这三个组中的所有数字分别能排列成平方数a，b，c（a<b<c）。

设计程序，求出满足要求的所有分法（若某一分法中某组的数字能排列成不同的平方数，例如1369=37^2，1936=44^2，这只算一种分法）。