人教版高一数学必修4 第三章 《三角恒等变换》单元教学设计

三角恒等变换 单元教学设计
一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述
1、本单元教学内容的范围
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.
3、本单元教学内容总体教学目标
（1）和差角公式与二倍角公式
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用．
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.
能应用公式解决比较简单的有关应用问题.
经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式
2C
的两种变形，再运用二倍
角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.
了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.
（2）简单的三角变换
运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.
4、本单元教学内容重点和难点分析
（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式
重点：两角和与差的余弦公式求值和证明;
难点：两角和的余弦公式的推导.
（2）简单的三角变换
重点：运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;
难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.
5.人教A版教材特点
用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题；
建立和角公式与旋转变换之间的联系；
引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；
和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.
提供了“练习题”，“习题A、习题B”，“复习参考题A ”，“复习参考题B”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.
三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.
通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式.
在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.
本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；
四、设计意图与特色
本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
五、本单元教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时
3.2简单的恒等变换约3课时
复习约2课时
六、课时教学设计
课题§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、设计意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
三、学习重点与难点
1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）
一、学习目标
(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；
(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；
(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.
二、学习重、难点
1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学习过程
1、学习引导
探究（一）：两角差的余弦公式
思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?
思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P 1, ∠P 1OP ＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
思考5：上图中，如何用线段分别表示sin β和cos β？
思考6：cos αcos β＝OAcos α，它表示哪条线段长？ sin αsin β＝PAsin α，它表示哪条线段长？
思考7：利用OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP 可得什么结论？
思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立吗？
思考9：根据cos αcos β＋sin αsin β的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？
思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则向量OA 、
OB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？
思考11：向量OA 与OB 的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，
OA ⋅OB 等于什么？由此可得什么结论？
思考12：公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为差角的余弦公式，记作()C αβ-，该公式有什么特点？如何记忆？
探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
思考2：利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
思考3：若cos α＋cos β＝a ，sin α＋sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？
思考4：若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？
12
21
-
1
232
32
2、随堂练习
⑴、________15cos =
⑵、)cos(),2
3,(,43cos ),,2(,32sin βαπ
πββππαα-∈-=∈=求已知 ⑶、15sin cos 173
πθθθ=
-已知，是第二象限角，求（）的值
3、知识拓展
例1
1cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 例2 已知1cos(
)cos sin()sin
,3且⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα2,23 , 求)4cos(πα-的值. 四、反思小结
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、
猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.
五、自我测评
1cos79cos34sin 79sin34 +=、（） A
12
B 1 C
2、4
,(
,),cos()( )5
24
π
π
ααπα=-∈-=
已知cos 则
B -
C -
D 10101010
A
A cos sin cos sin2012A
B 3、在平面直角坐标系中，已知两点（80，80），B(20，），则的值是（
）A
1
4sin sin 1cos ,cos()22
αβαβαβ-=-
-=--=、若则 5cos cos cos 0,sin sin sin 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-=、若则
111
6cos cos cos 714
αβααββ=+=-、已知，都是锐角，，（），求的值。

34
7sin x sin y cos x cos y cos x y)55
+=+=-、若，，求（的值。

课题 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）
一、学习目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、学习重、难点
1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；
2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、学习过程
1、学习引导
探究（一）：两角和与差的基本三角公式
思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作()C αβ+，该公式有什么特点？如何记忆？
思考3： 诱导公式sin(
)cos 2
π
αα±=可以实现由正弦到余弦的转化，结合()C αβ+ 和()C αβ- 你能推
导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？
思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作()S αβ+，()S αβ-，这两个公式有什么特点？如何记忆？
思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从()S αβ±、()C αβ±出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tan α、tan β有什么关系
思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作()T αβ+，()T αβ-，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？
思考7：为方便起见，公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+称为和角公式，公式()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？
探究（二）：两角和与差三角公式的变通
思考1：若cos α＋cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α＋β)等于 思考2：若sin α＋cos β＝a ，cos α＋sin β＝b ，则sin(α＋β)等于
思考3：根据公式()T αβ+，tan α＋tan β可变形为 思考4：sinx ＋cosx 能用一个三角函数表示吗？
2、随堂练习
⑴、利用和差角公式，求下列各式的值
①sin15o
； ②cos 75o
； ⑵、利用和差角公式，求下列各式的值 ①sin 72cos 42cos72sin 42o
o
o
o
-； ②cos 20cos70sin 20sin 70o
o
o
o
-；
⑶、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值.
3、知识拓展
例1.化简
x x - ⑵1tan15
1tan15
+-
例2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛
⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
例3.已知33350,cos ,sin 4
445413
π
πππβααβ⎛⎫⎛⎫<<
<<
-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．
四、反思小结
1.两角差的余弦公式()C αβ-是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.
2.公式()S αβ+与()S αβ-，()C αβ+与()C αβ-，()T αβ+与()T αβ-的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.
五、自我测评
1sin163sin 223sin 253sin 313( )11A - B C - D
2222
+=、
1tan 24tan 1tan 4
απ
αα-=+-+、已知
（）的值等于（）
3sin cos 0sin cos 2
21
C D 1333
B π
θθθθθ-=≤≤、已知），则+=（ ）A
()()
sin 7cos15sin 84 cos 7sin15sin 8y cosx+cos x+ 3
π
+
-、的值为 5、函数=（）的最大值是
()()()()()23tan 6sin sin 34tan 7y x cos x x 1y x 2y sin x x R
R α
αβαββ
+=-==+∈=∈、已知，，求的值。

、已知函数，、当函数取得最大值时，求自变量的集合；
、该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
课题 §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（第三课时）
一、 学习目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、学习重、难点
1、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
2、难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学习过程
1、学习引导
探究（一）：二倍角基本公式
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S 2α，C 2α，T 2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？ 探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α可化为
思考2：根据二倍角的余弦公式，sin 2
α，cos 2
α与cos2α的关系分别如何？ 思考3：tan α与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？ 思考4：sin2α，cos2α能否分别用tan α表示？
2、随堂练习
⑴．sin2230’cos2230’=__________________;
⑵．=-π
18cos 22_________________;
⑶．=π
-π8cos 8sin 22____________________;
⑷．=ππππ12
cos 24
cos 48
cos 48
sin 8__________________.
⑸．=π
-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin
__________________; ⑹．=α
-α2
sin 2cos 44____________________;
3、知识拓展
()321cos cos 0tan 252232sin x cos x 4sin x sin x 1044παβαβαβππ⎛⎫
==∈- ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
=
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例、已知，，，，求的值。

例、已知，求的值。

四、反思小结
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题
中，要注意寻找已知与未知的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.
五、自我测评
(
)()2211 2
tan 22.5 sin15cos15 B 2cos 151tan 22.542x 0cos x tan x
2577 B - C
2424A A π--⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭
、下列各式中，值为的是、已知，，，则2=()
()22442424 D -77
3cos 75sin 75cos 75cos15 35
C D 1+2414cos cos sin cos 444
A ππθθθθ++⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、的值为、已知，则的值等于5、()()()()()()44sin cos 1tan 2cos sin 3
6sin cos sin cos sin 27f x cos x-2sinxcosx-sin x
1f x 2f x 02ααααααααααπ
+--==⎡⎤⎢⎥⎣⎦
= ，则2=、已知，求的值。

、已知求的最小正周期；求在区间，上的最值。

3.2 简单的三角恒等变换
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．
二、设计意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
三、学习目标
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，
如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
四、学习重、难点
1、重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课题3.2简单的三角恒等变换（第一课时）
一．学习目标
① 掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把握变换过程的能力
式推导.
② 弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.
③ 深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解决问题的能力.
二、学习重、难点
1、重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方面的应用.
2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计.
三、学习过程
1、学习引导
问题1：前面学过的倍角公式是什么？
问题2：α与
2
α有什么关系？ 问题3：在二倍角公式中，以α代替2α，以
2
α代替α将公式进行改写为 问题4：试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．
问题5：（１）已知cos α，如何求sin
,cos ,tan ?222ααα
（２）代数式变换与三角变换有什么不同呢？
问题6：求证：（１）()1sin cos sin sin()2
αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ （２）sin sin 2sin cos .22
θϕθϕθϕ+-+= 问题7：上述证明中用到哪些数学思想？
2、随堂练习 （１）求证：sin 1cos tan
21cos sin ααααα
-==+.
（２）已知3sin 2,02,52
πθθ=〈〈求22cos sin 12sin()2θθπθ--+的值.
（3）已知2
sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+==求证：2cos 2cos .αβ= 3、知识拓展
例1 化简22sin sin sin cos sin cos αβααββ
--
例2 已知cosx ＝cos αcos β，求证：2tan
tan tan 222
x x ααβ+-= 四、反思小结
倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性.注意等价转化，换元、方程的思想.
五、自我测评
(
)21 12sin cos 43411 D 33
tan 183 tan 8
A ππααπ
π⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-）
、已知，则、的值是（2 A -1 B -2 C 1 D 2
2sin 14f =f sin 41255 13
1tan 61tan 24tan 2tan απααθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
-==-+）、若（），则（）、等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为（）、已知，求证22412sin cos 7tan cos sin 4
πθααπααα+-=--（）、求证：（）
课题 3．2 简单的三角恒等变换（第二课时）
一．学习目标
① 能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力. ② 能正确地对形如sin cos y a b αα=+的三角函数的性质进行讨论.
③ 由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、
解决问题.
二、学习重、难点
1、重点：灵活运用三角变换化简函数表达式，探究函数sin cos y a b αα=+的有关性质，提升学生的探究能力.
2、难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数sin cos y a b αα=+性质的讨论.
三、学习过程
1、学习引导
问题1：三角函数有哪些基本性质？
问题2：对形如()sin y A x ωϕ=+的三角函数的性质有哪些？。