最新概率论与数理统计第三章课后习题答案

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概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯=111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 23247C 3C 35= 13247C 2C 35= 1232247C C 6C 35= 1132247C C 12C 35= 13247C 2C 35= 2427C /C =2132247C C 6C 35= 23247C 3C 35=3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.x y x x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0, .y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.x x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2）当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180h 的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为 V =max(X ,Y ) 0 1 2 3 4 5 P 00.040.160.280.240.28(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑ 0,1,2,3,i =于是 U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布. 【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X,Y 独立同分布,且X 的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.解：因为X,Y 独立同分布，所以F X （z ）=F Y (z),则F Z （z ）=P{Z ≤z}=P{X ≤z ，Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=［F （z ）］2.28.设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .（1）求1{|0};2P Z X ≤= （2）求Z 的概率密度()Z f z分析题（1）可用条件概率的公式求解.题（2）可先求Z 的分布函数，再求导得密度函数.解(1) 1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤===1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=（2）(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,f X (x),f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度,求在Y=y 的条件下,X 的条件概率密度f X ｜Y (x ｜y).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)= f X (x) ·F Y (y)，由本章所讨论知，/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（1）求{2};P X Y >（2）求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解（1）； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解（1）2{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰120120(2)57().824xdx x y dy x x dx =--=-=⎰⎰⎰（2）()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时，()0Z f z =；当01z <<时，0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰当12z ≤<时，121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。

概率论与数理统计第三、四章答案

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果<见下表>,按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,〔1〕计算圆半径的期望值；〔2〕(2)E R π是否等于2ER π？〔3〕能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算？其结果是什么？解〔1〕100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯= 〔2〕由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==〔3〕因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4．连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值解由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差〔参看习题二第16题〕。

概率论与数理统计第三版课后习题答案

概率论与数理统计第三版课后习题答案概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。

而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。

在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一章概率论的基本概念1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。

2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是13/52=1/4。

第二章随机变量及其分布1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0<x<1，求k的值。

答：由概率密度函数的性质可知，对于0<x<1，有∫f(x)dx=∫kxdx=1，解得k=2。

2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ce^(-x)，其中x>0，求c的值。

答：由概率密度函数的性质可知，对于x>0，有∫f(x)dx=∫ce^(-x)dx=1，解得c=1。

第三章多维随机变量及其分布1. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2-2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞<x,y<∞，求常数σ1、σ2和相关系数ρ之间的关系。

答：由二维正态分布的性质可知，对于-∞<x,y<∞，有∫∫f(x,y)dxdy=1，解得σ1σ2√(1-ρ^2)=1。

2. 设随机变量(X,Y)服从二维均匀分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(b-a)(d-c)，其中a<x<b，c<y<d，求常数a、b、c、d之间的关系。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案概率论与数理统计第三章课后习题答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3）P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===??得 A =12（2）由定义，有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=??(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--??-->>?==?? 其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==??故18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=??130213(6)d d 88k x y y x =--=?? (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=?(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=??题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2）P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ?<而55e ,0,()0,.y Y y f y -?>=?其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --<<>?==??且其他.5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x-==-+≈7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤??求边缘概率密度.【解】()(,)d X fx f x y y+∞-∞=?x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ??--≤≤?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ?-?-+≤≤?=??其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度.【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--??>?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --??>?=??其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1） (,)d d (,)d d Df x y x y f x y xy+∞+∞-∞-∞如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==??得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=?212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ??--≤≤??==其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -??≤≤??==其他11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=?<<<.,0,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?1d 2,01,0,.x x y x x -?=<111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞=+-<<??其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ?<其他, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y<<?-?==-<<?+其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===?=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.XYX Y14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 【解】（1）因1,01,()0,Xx fx <21e ,1,()20,yY y f y -?>?==其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=g 独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ?=-≥故X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=??21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x yx yπ-==-Φ-Φ=??15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时，()0ZF z =（2）当0<="" p="">）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==??33610231010=d 2z zy yzy +∞-=题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==??336231010101=d 12y yzy z +∞-=-即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ?-≥=<<??其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ?≥=<<??其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<="" p="">44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ?-=-<=-Φ=-Φ==17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-= ? ?-= ???-??= ???∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 (4)类似上述过程，有26 3 9 4 9 2 520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R+≤?=其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r r R r r R θθ=??3/83;1/24==(2){0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=??21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===?（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x≤≤<≤?=其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x=≤≤?=其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余。

概率论与数理统计答案第三章徐静雅

第三章1解：(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3⨯1/2=/3 同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：2 解：X ，Y 所有可能取到的值是0, 1, 2 (1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i |= , i ,j =0,1,2, i +j ≤2或者用表格表示如下：(2)P{(X,Y)∈A}=P{X+Y ≤1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=2/14/1)()()(==AB P A P AB P 得P(AB)=1/8 由P(A|B)=2/1)()(=B P AB P 得P(B)=1/4 (X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=))(B A P =P((A)-P(B)+P(AB)=5/8P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知： 1=, 故A=4(2)P{X=Y}=0(3)P{X<Y}=(4)F(x,y)=即F(x,y)=5.解：P{X+Y ≥1}=7265)3(),(102121=+=⎰⎰⎰⎰-≥+dydx xy x dxdy y x f xy x6 解：X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125P{X=1,Y=1}=25.05.05.0212=⨯C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.0212=⨯CP{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下：0 0.125 0.125 0 00.25 1 0 0.25 0.25 0 0.520.125 0.125 0.25P .j 0.125 0.375 0.375 0.125 17. 解：⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(y x e y x f y⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-+∞-∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f xxy X ⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y yY 8. 解：⎩⎨⎧<≤≤=0,01,),(22x y x y cx y x f(1)214212),(1104211122cdx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞-∞+∞-所以 c =21/4(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎩⎪⎨⎧<==⎰⎰∞+∞-其它其它，,01||,8)1(2101||,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f xX⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰-∞+∞-其它其它，,010********),()(252y y y ydx x dx y x f y f y y Y 9 解：2|ln 12211===⎰e e D x dx xS (X ,Y )在区域D 上服从均匀分布，故f (x ,y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它，0),(,21),(Dy x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰∞+∞-其它（,01,21),()210X e x dy dy y x f x f x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤≤-=-===--∞+∞-⎰⎰⎰其它（10,0),11(2121,2121),()221112X 2y e e y y dx e dx dx y x f x f y e 10 解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f)0)(( )(),()|(|>=x f x f y x f x y f X X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<===⎰⎰∞+∞-其它,010,233),()(20x x xdy dy y x f x f x X当0<x ≤1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,00,233)(),()|(2|x y x x x f y x f x y f X X Y即，⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=其它,010,2)|(|x y x x y f X Y11解：⎩⎨⎧<<<=其它,0||,10,1),(xy x y x f⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤+===⎰⎰⎰-∞+∞-0,10,1),()(11y y dx y y dx dx y x f y f y y Y当y ≤0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<+==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X 当y >0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X 所以，⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==其它,01||0,||11)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X 12 解：由)(),()|(|x f y x f y x f Y Y X =得 ⎩⎨⎧<<<<==其它,00,10,15)()|(),(2|yx y yx y f y x f y x f Y Y X 644715),(}5.0{15.0125.0===>⎰⎰⎰⎰+∞+∞∞-xdydx yx dydx y x f X P 13解：Z =max(X ,Y ),W =min(X ,Y )的所有可能取值如下表Z =max(X ,Y),W =min(X ,Y )的分布律为14 解：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X θθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f yY θθ 由独立性得X ，Y 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,1),(2y x e y x f yx θθ 则P {Z =1}=P {X ≤Y }=211),(002==⎰⎰⎰⎰∞++-≤xyx yx dydx edxdy y x f θθ P {Z =0}=1-P {Z =1}=0.5 故Z 的分布律为15 解：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π⎪⎩⎪⎨⎧<-===⎰⎰---∞+∞-其它，01||,121),()(222112x x dy dy y x f x f x x X ππ同理，⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它，01||,12)(2y y y f Y π显然，)()x (y f f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立.16 解：(1)⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(Y y y f利用卷积公式：⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求fZ(z))()(x z f x f Y X -=⎩⎨⎧+<<<<其它,01,10,1xz x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤-===-=⎰⎰⎰-∞+∞-其它2110,02,)()()(110z z z dx z dx dx x z f x f z f z z Y X Z(2) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(Y y y e y f y 利用卷积公式：⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎩⎨⎧+<<>=--其它,01,0,)()(y z y y e y f y z f y Y X⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=≥<≤--=≥<≤=-----⎰⎰其它其它110,0,)1(,1110,0,,10z z e e e z z dy e dy e z zzz y z y 17 解：由定理3.1（p75）知，X +Y ~N (1,2) 故5.0)0(}21121{}1{==-≤-+=≤+ΦY X P Y X P18解：(1) )1(21)(21),()0)(X+=+==-+∞+-+∞∞-⎰⎰x e dy e y x dx y x f x f x y x （(x>0) 同理，)1(21)(+=-y e y f yY y >0 显然，)()x (y f f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立 (2).利用公式⎰+∞∞--=dx x z x f z f X Z )()(，⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=---+-其它其它,0,0,21,00,0,)(21),()(xz x ze x z x e x z x x z x f z x z x X ⎰+∞∞--=dx x z x f z f X Z )()(，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤>=≤>=--⎰0,00,210,00,2120z z e z z z dx ze z z z 19解：并联时，系统L 的使用寿命Z =max{X ,Y } 因X ~E (α),Y ~E (β),故⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X αα⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f y Y ββ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F xX α ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y β⎪⎩⎪⎨⎧≤>--==--0,00),1)(1()()()(z z e e z F z F z F z z Y X Z βα⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---0,00,)11(11)(11z z e e e z f z z z Z βαβαβαβα 串联时，系统L 的使用寿命Z =min{X ,Y }⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,1)](1)][(1[1)(11z z e z F z F z F z Y X Z βα⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,11)(11z z e z f zZ φαβα (B)组1 解：P {X =0}=a +0.4, P {X +Y =1}=P {X =1,Y =0}+P {X =0,Y =1}=a +bP {X =0,X +Y =1}=P {X =0,Y =1}=a 由于{X =0|与{X +Y =1}相互独立, 所以P {X =0, X +Y =1}=P {X =0} P {X +Y =1}即 a =(a +0.4)(a +b ) (1) 再由归一性知：0.4+a +b +0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a =0.4, b =0.1 2 解: (1) 247)2(),(}2{10202=--==>⎰⎰⎰⎰>xyx dydx y x dxdy y x f Y X P (2) 利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(计算⎩⎨⎧<-<<<-=-其它,010,10,2),(x z x z x z x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<<-=-=⎰⎰⎰-∞+∞-2,021,)2(10),22,021,)2(10,)2(),()(2110z z z z z z z dx z z dx z dx x z x f z f z z Z （3.解：(1) F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y} 当y <0时，f Y (y )=0当y ≥0时，)()(}{)(y F y F y X y P y F X X Y --=<<-=从而，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧-+=4041,8110,83)]()([21)(y y y y y y f y f yy f X X Y ，(2) F (-1/2,4)=P {X ≤-1/2,Y ≤4}= P {X ≤-1/2,X 2≤4} =P{-2≤X ≤-1/2}=4121)(211212==⎰⎰----dx dx x f X 4.解：P {XY ≠0}=1-P {XY =0}=0 即 P {X =-1,Y =1}+P {X =1,Y =1}=0由概率的非负性知，P {X =-1,Y =1}=0，P {X =1,Y =1}=0由边缘分布律的定义，P {X =-1}= P {X =-1,Y =0}+ P {X =-1,Y =1}=1/4 得P {X =-1,Y =0}=1/4再由P {X =1}= P {X =1,Y =0}+ P {X=1,Y =1}=1/4 得P {X =1,Y =0}=1/4再由P {Y =1}=P {X =-1,Y =1}+ P {X =0,Y =1}+ P {X =1,Y =1}= P {X =0,Y =1} 知P {X =0,Y =1}=1/2最后由归一性得：P {X =0,Y =0}=0 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：(2) 显然，X 和Y 不相互独立，因为P {X =-1,Y =0}≠ P {X =-1}P {Y =0}5 解：X 与Y 相互独立，利用卷积公式dx x z f x fz f Y XZ ⎰+∞∞--=)()()(计算,21)(222)(σμσπ--=x X ex f ⎪⎩⎪⎨⎧-∈=其它,0),(,21)(πππy y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=---其它,0,221)()(222)(ππππσσμx z e x z f x f x Y X ⎰⎰⎰+---+---+∞∞-==-=ππσμπππσμπσππσz z x z z x Y X Z dx edx edx x z f x f z f 22222)(212)(21221)()()()]()([21}{21ππππππ--+=+<<-=z F z F z X z P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φσμπσμππz z 21 6.解：(X ,Y )～Ｕ(G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,21),(Gy x y x f 设F (x )和f (s )分别表示S =XY 的分布函数和密度函数F (s )=P {XY <s } s <0时，Fs (s )=0s ≥0时，⎪⎩⎪⎨⎧+≥=⎰⎰⎰⎰s s xs S dydxdydx s F 010*******,1 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+<=2,12,2ln 220,0s s s s s s F S于是，S =ＸY 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,2ln 21)(s ss f S 7.解：由全概率公式：F U (u )=P {U ≤u }={X +Y ≤u }=P {X =1}P {X +Y ≤u |X =1}+ P {X =2}P {X +Y ≤u |X =2} = P {X =1}P {1+Y ≤u}+ P {X =2}P {2+Y ≤u } =0.3⨯F Y (u -1)+0.7⨯F Y (u-2) 所以，f U (u ) =0.3⨯f Y (u-1)+0.7⨯f Y (u -2)8. 解：(1) ⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,1),(xy x y x f⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,2,010,1),()(20x x x dy dy y x f x f xX ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,020,21,020,1),()(12y y y dx dx y x f y f y Y (2) ⎰⎰≤-=≤-=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F 2),(}2{}{)(如图所示，当z <0时，F Z (z )=0; 当z ≥2时，F Z (z )=1 当0≤z <2时:411)(212222020z z dydx dydx z F z xz x zx Z -=+=⎰⎰⎰⎰- 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=2,120,40.0)(2z z z z z z F Z所以Z 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=20,21,0)(z z z f Z 其它9.解：(1) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它,010,0,1)|(|x x y xx y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<==其它（,010,1)()|),(|x y xx f x y f y x f X X Y (2) ⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,ln ,010,1),()(1y y y dx x dx y x f y f y Y (3) 2ln 11),(}1{P 15.011-===≥+⎰⎰⎰⎰-≥+xx y x dydx xdxdy y x f Y X 10.解：(1)P {Z ≤1/2|X =0}=P {X +Y ≤1/2|X =0}=P {Y ≤1/2}=1/2 (2) 由全概率公式：F Z (z)=P {Z ≤z }=P {X +Y ≤z }=P {X =1}P {X +Y ≤z |X =1} +P {X =0}P {X +Y ≤z |X =0}=P {X =-1}P {X +Y ≤z |X =-1} = P {X =1}P {1+Y ≤z }+P {X =0}P {Y ≤z }=P {X =-1}P {-1+Y ≤z } =1/3⨯[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)]从而，f Z (z ) =1/3⨯[f Y (z -1)+ f Y (z )+ f Y (z +1)]=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其它,021,31z11.解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3).(xy x x y x f⎰⎰-≥=-≥=≤-=≤=zx y dxdy y x f Z X Y P z Y X P z Z P z ),(}{}{}{)(Z F如图，当z <0时，F Z (z )=0; 当z ≥1时，F Z (z )=1当0≤z <1时:22333)(3100z z xdydx xdydx z F z xz x zxZ -=+=⎰⎰⎰⎰- 综上得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=1,010,2230,0)(3z z zz z z F Z 12Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010),1(23)(2z z z f Z12 解：,21)(22x X ex f -=π,21)(22y Y ey f -=π22221)()(),(y x Y X e y f x f y x f +-==π}{}{)(22z y x P z Z P z F Z ≤+=≤=当z <0时，F Z (z )=0; 当z ≥0时，220222222222121),(}{)(z z r z y x Z erdrd edxdy y x f z Y X P z F --≤+-===≤+=⎰⎰⎰⎰πθπ所以，Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它,00,)(22z ze z f z Z。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第三章

01 1/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)d xdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X}; (5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2.解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy =∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)--1-2-2241-1-1/2-221-于是(1)max{X,Y} -112pi 1/102/107/10习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;当0≤z<1时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2；当1≤z<2时，Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2；当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2，故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数.解答：按定义FZ(Z)=P{x+2y≤z},当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。

概率论与数理统计第三、四章答案

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4．连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值解由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。

概率论与数理统计第3章课后题答案

概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：（1）P( a)；（2）P( a)；（3）P( a)；（4）P( a) 解：（1）P( a) F(a 0) F(a)；（2）P( a) F(a 0)；（3）P( a)=1-F(a)；（4）P( a) 1 F(a 0)。

3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1） x（2）0 x ，在其它场合适当定义；（3）- x 0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（- , ）设随机变数具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有（1）F( a) 1 F(a)12ap(x)dx；（2）P（ a) 2F(a) 1；（3）P( a) 2 1 F(a) 。

证：（1）F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 （2）P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx；ap(x)dx 2 p(x)dx，由（1）知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1；12ap(x)dx。

（3）P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a b 1。

证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F1(x)与F2(x1) F2(x2)，于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)，又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以，F(x)也是分布函数。

概率论与数理统计习题解答(第3章)

习题三（A ）三、解答题1. 设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X ，Y 分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X ，Y )的分布律．解：(X ，Y )取到的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： P {X =1，Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1}=2/3⨯1/2=/3， P {X =1，Y =2}= P {X =1}P {Y =2|X =1}=2/3⨯1/2=1/3， P {X =2，Y =1}= P {X =2}P {Y =1|X =2}=1/3⨯2/2=1/3. (X ，Y )的分布律用表格表示如下：2．设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X ，Y 分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求： (1) X 和Y 的联合分布律；(2) P {X ，Y } ∈ A }，其中A = {(x ，y )| x + y ≤ 1}．解：X ，Y 所有可能取到的值是0， 1， 2(1) P {X =i ， Y =j }=P {X =i }P {Y =j |X =i }=282223C C C C j i j i --， i ， j =0，1，2， i +j ≤2 或者用表格表示如下：(2)P{(X ，Y )∈A }=P {X +Y ≤1}=P {X =0， Y =0}+P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=3/28+9/28+6/28=9/14.3．设事件B A 、满足,21)|(,21)|(,41)(===A B P B A P A P 记X ，Y 分别为一次试验中A ，B 发生的次数，即⎩⎨⎧=不发生，发生A A X 0,1，⎩⎨⎧=不发生，发生，B B Y 0 1，求：二维随机变量(X ，Y )的分布律．解：因为P (A )=1/4，,21)|(=A B P 由P (B |A )=2/14/1)()()(==AB P A P AB P 得P (AB )=1/8，由P (A |B )=2/1)()(=B P AB P 得P(B)=1/4.(X ，Y )取到的所有可能数对为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，则 P {X =0，Y =0}=)(1)()(B A P B A P B A P -===1-P (A )-P (B )+P (AB )=5/8, P {X =0，Y =1}=)(B A P =P (B -A )=P (B )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =0}=)(B A P =P (A -B )=P (A )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =1}=P (AB )=1/8.4．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,),(其它y x Axy y x f 试求： (1) 常数A (2) P {X = Y } (3) P {X < Y }(4) (X ，Y )的分布函数．解：(1)由归一性知：1=，故A=4(2) P {X =Y }=0, (3) P {X <Y }=.(4)F (x ，y )=即F (x ，y )=5．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其它0,20,10 ,3),(2y x xyx y x f求P {X + Y ≥ 1}．解：P{X+Y ≥1}=7265)3(),(102121=+=⎰⎰⎰⎰-≥+dydx xy x dxdy y x f xy x 6．将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次中出现正面的次数，以Y 表示3次中出现正面的次数，求X ，Y 的联合分布律及(X ，Y )的边缘分布律．解：X 的所有可能取值为0，1，2，Y 的所有可能取值为0，1，2，3. P {X =0，Y =0}=0.53=0.125; P {X =0，Y =1}=0.53=0.125P {X =1，Y =1}=25.05.05.0212=⨯C ， P {X =1，Y =2}=25.05.05.0212=⨯C P {X =2，Y =2}=0.53=0.125， P {X =2，Y =3}==0.53=0.125 X ，Y 的分布律及边缘分布律可用表格表示如下：Y X 0 1 2 3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.250.52 00.125 0.125 0.25P .j0.125 0.375 0.375 0.125 1解法2：,21)21()21(}|{}{},{22⨯=======-iiiC i X j Y P i X P j Y i X P.1,0,3,2,1,0,2,1,0=-==i j j i7．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y 求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-+∞-∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f xxy X ⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y yY 8．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f 求：(1) 确定常数c(2) 边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：⎩⎨⎧<≤≤=0,01,),(22x y x y cx y x f(1)214212),(1104211122cdx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞-∞+∞-所以 c=21/4(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎩⎪⎨⎧<==⎰⎰∞+∞-其它其它，,01||,8)1(2101||,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰-∞+∞-其它其它，,010********),()(252y y y ydx x dx y x f y f y yY 9．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线y = 0，x = 1，x = e 2围成，二维随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：2|ln 12211===⎰e e D x dx xS (X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，故f (x ，y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它，0),(,21),(Dy x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰∞+∞-其它（,01,21),()210X e x dy dy y x f x f x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤≤-=-===--∞+∞-⎰⎰⎰其它（10,0),11(2121,2121),()221112X 2y e e y y dx e dx dx y x f x f y e 10．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f 试求条件概率密度f (y | x )．解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f)0)(( )(),()|(|>=x f x f y x f x y f X X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<===⎰⎰∞+∞-其它,010,233),()(20x x xdy dy y x f x f x X当0<x ≤1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,00,233)(),()|(2|xy x x x f y x f x y f X X Y即，⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=其它,010,2)|(|x y x x y f X Y11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它,0,10,1),(xy x y x f 求条件概率密度f (x | y )．解：⎩⎨⎧<<<=其它,0||,10,1),(xy x y x f⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤+===⎰⎰⎰-∞+∞-0,10,1),()(11y y dx y y dx dx y x f y f y y Y当y ≤0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<+==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X当y >0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X所以，⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==其它,01||0,||11)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X12．已知随机变量Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4y y y f Y 在给定Y = y 条件下，随机变量X 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其它,010,3)(32y x y x y x f 求概率P {X > 0.5}．解：由)(),()|(|x f y x f y x f Y Y X =得 ⎩⎨⎧<<<<==其它,00,10,15)()|(),(2|yx y yx y f y x f y x f Y Y X644715),(}5.0{15.0125.0===>⎰⎰⎰⎰+∞+∞∞-xdydx yx dydx y x f X P 13．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为试分别求),max(Y X Z =和),min(Y X W =的分布律．解：Z =max(X ，Y )，W =min(X ，Y )的所有可能取值如下表Z =max(X ，Y )，W =min(X ，Y )的分布律为14．设X 和Y 是相互独立的随机变量，且)(~),(~θθE Y E X ，如果定义随机变量Z 如下：⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z ,0,1 求Z 的分布律．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X θθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f yY θθ 由独立性得X ，Y 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,1),(2y x e y x f yx θθ 则P {Z =1}=P {X ≤Y }=211),(002==⎰⎰⎰⎰∞++-≤xyx yx dydx edxdy y x f θθ P {Z =0}=1-P {Z =1}=0.5故Z 的分布律为15．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )；并问X 与Y 是否独立？解：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π⎪⎩⎪⎨⎧<-===⎰⎰---∞+∞-其它，01||,121),()(222112x x dy dy y x f x f x x X ππ 同理，⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它，01||,12)(2y y y f Y π显然，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立16．设随机变量X 和Y 相互独立，试在以下情况下求Y X Z +=的概率密度， (1) )1,0(~),1,0(~U Y U X ； (2) )1(~),1,0(~Exp Y U X ．解：(1)⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(Y y y f利用卷积公式：⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求f Z (z ))()(x z f x f Y X -=⎩⎨⎧+<<<<其它,01,10,1x z x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤-===-=⎰⎰⎰-∞+∞-其它2110,02,)()()(110z z z dx z dx dx x z f x f z f z z Y X Z(2) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(Y y y e y f y 利用卷积公式：⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎩⎨⎧+<<>=--其它,01,0,)()(y z y y e y f y z f y Y X⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=≥<≤=-----⎰⎰其它其它110,0,)1(,1110,0,,10z z e e e z z dy e dy e z zzz y z y17．设)1,1(~),1,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，求}1{≤+Y X P ．解：由定理3.1（P75）知，X +Y ~N (1，2)，故5.0)0(}21121{}1{=Φ=-≤-+=≤+Y X P Y X P 18．设随机变量(X ，Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-. ,0;0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x(1) 问X 和Y 是否相互独立？ (2) 求Y X Z +=的概率密度．解：(1) )1(21)(21),()0)(X +=+==-+∞+-+∞∞-⎰⎰x e dy e y x dx y x f x f x y x （(x>0) 同理，)1(21)(+=-y e y f yY y>0 显然，)()x (),(y f f y x f Y X =，所以X 与Y 不相互独立 (2).利用公式⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(，被积函数⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=---+-其它其它,0,0,21,00,0,)(21),()(xz x ze x z x e x z x x z x f z x z x所以⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤>=≤>=--⎰0,00,210,00,2120z z e z z z dx ze z z z19. 设某系统L 由两个相互独立的系统L 1，L 2联合而成，各连接方式如图所示．已知L 1，L 2的使用寿命X 与Y 分别服从参数为α，β 的指数分布，求以下各系统L 使用寿命Z 的分布函数及概率密度．解：并联时，系统L 的使用寿命Z=max{X ，Y} 因X ~Exp (α)，Y ~Exp (β)，故⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X αα， ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f y Y ββ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F xX α， ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y β ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--==--0,00),1)(1()()()(z z e e z F z F z F z z Y X Z βα⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---0,00,)11(11)(11z z e e e z f z z z Z βαβαβαβα 串联时，系统L 的使用寿命Z =min{X ，Y }⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,1)](1)][(1[1)(11z z e z F z F z F z Y X Z βα ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,11)(11z z e z f zZ βαβα （B ）1．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，求a ，b 的值．解：P {X =0}=a +0.4，P {X +Y =1}=P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=a +b. P {X =0，X +Y =1}=P {X =0，Y =1}=a 由于{X =0}与{X +Y =1}相互独立，所以 P {X =0， X +Y =1}=P {X =0} P {X +Y =1}即 a =(a +0.4)(a +b ) (1) 再由归一性知：0.4+a +b +0.1=1 (2) 解(1)，(2)得 a =0.4， b =0.1 2．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它 ,010,10 ,2),(y x y x y x f (1) 求P {X > 2Y }(2) 求Z = X + Y 的概率密度f Z (z )．解: (1) 247)2(),(}2{10202=--==>⎰⎰⎰⎰>xyx dydx y x dxdy y x f Y X P (2) 利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(计算⎩⎨⎧<-<<<-=-其它,010,10,2),(x z x z x z x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<<-=-=⎰⎰⎰-∞+∞-2,021,)2(10),22,021,)2(10,)2(),()(2110z z z z z z z dx z z dx z dx x z x f z f z z Z （3．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其它,020,4101,21)(x x x f X令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量(X ，Y )的分布函数，求 (1) Y 的概率密度)(y f Y ；(2) )4,21(-F ．解：(1) F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y } 当y <0时，f Y (y )=0当y ≥0时，)()(}{)(y F y F y X y P y F X X Y --=<<-=从而，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧-+=4041,8110,83)]()([21)(y y y y y y f y f yy f X X Y ，(2) F (-1/2，4)=P {X ≤-1/2，Y ≤4}= P {X ≤-1/2，X 2≤4} =P {-2≤X ≤-1/2}=4121)(211212==⎰⎰----dx dx x f X 4．设(X ，Y )为二维离散型随机变量，X 和Y 的边缘分布律分别如下：如果1}0{==XY P ，试求 (1) (X ，Y )的分布律； (2) 问X 与Y 是否独立．解：P {XY ≠0}=1-P {XY =0}=0 即 P {X =-1，Y =1}+P {X =1，Y =1}=0由概率的非负性知，P {X =-1，Y =1}=0，P {X =1，Y =1}=0由边缘分布律的定义，P {X =-1}= P {X =-1，Y =0}+ P {X =-1，Y =1}=1/4 得P {X =-1，Y =0}=1/4再由P {X =1}= P {X =1，Y =0}+ P {X =1，Y =1}=1/4 得P {X =1，Y =0}=1/4再由P {Y =1}=P {X =-1，Y =1}+ P {X =0，Y =1}+ P {X =1，Y =1}= P {X =0，Y =1} 知P {X =0，Y =1}=1/2最后由归一性得：P {X =0，Y =0}=0(X ，Y )的分布律用表格表示如下：(2) 显然，X 和Y 不相互独立，因为P {X =-1，Y =0}≠ P {X =-1}P {Y =0}5．设随机变量X 与Y 相互独立，且),(~),,(~2ππσμ-U Y N X ，求Z = X + Y 的概率密度（计算结果用标准正态分布分布函数)(x Φ表示）．解：X 与Y 相互独立，利用卷积公式dx x z f x fz f Y XZ ⎰+∞∞--=)()()(计算,21)(222)(σμσπ--=x X ex f ⎪⎩⎪⎨⎧-∈=其它,0),(,21)(πππy y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=---其它,0,221)()(222)(ππππσσμx z e x z f x f x Y X⎰⎰⎰+---+---+∞∞-==-=ππσμπππσμπσππσz z x z z x Y X Z dx edx edx x z f x f z f 22222)(212)(21221)()()()]()([21}{21ππππππ--+=+<<-=z F z F z X z P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φσμπσμππz z 21 6．设二维随机变量(X ，Y )在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S ．解：(X ，Y )～Ｕ(G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,21),(Gy x y x f设F (x )和f (s )分别表示S =XY 的分布函数和密度函数 F (s )=P {XY <s} s<0时，F S (s)=0s ≥0时，⎪⎩⎪⎨⎧+≥=⎰⎰⎰⎰s s xs S dydxdydx s F 010*******,1, 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+<=2,12,2ln 220,0s s s s s s F S于是，S =ＸY 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,2ln 21)(s ss f S 7．设随机变量X 与Y 相互独立，其中X 的分布律为而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g ．解：由全概率公式： F U (u )=P {U ≤u }={X +Y ≤u }=P {X =1}P {X +Y ≤u |X =1}+ P {X =2}P {X +Y ≤u |X =2} = P {X =1}P {1+Y ≤u }+ P {X =2}P {2+Y ≤u } =0.3⨯F Y (u -1)+0.7⨯F Y (u -2)所以，f U (u ) =0.3⨯f Y (u -1)+0.7⨯f Y (u -2)8．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它，，,020,10 ,1),(x y x y x f 求：(1) (X ，Y )的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )； (2) Y X Z -=2的概率密度)(z f Z ；解：(1) ⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,1),(x y x y x f⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,2,010,1),()(20x x x dy dy y x f x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,020,21,020,1),()(12y yy dx dx y x f y f y Y (2) ⎰⎰≤-=≤-=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F 2),(}2{}{)(如图所示，当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥2时，F Z (z)=1 当0≤z<2时:411)(212222020z z dydx dydx z F z xz x zx Z -=+=⎰⎰⎰⎰- 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=2,120,40.0)(2z z z z z z F Z 所以Z 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=20,21,0)(z zz f Z 其它 9．设随机变量X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在X = x （0 < x < 1）的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求： (1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (2) Y 的概率密度； (3) 概率P {X + Y > 1}．解：(1) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它,010,0,1)|(|x x y xx y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<==其它（,010,1)()|),(|x y xx f x y f y x f X X Y(2) ⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,ln ,010,1),()(1y y y dx x dx y x f y f y Y (3) 2ln 11),(}1{P 15.011-===≥+⎰⎰⎰⎰-≥+xx y x dydx xdxdy y x f Y X10. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的分布律为31}{==i X P ，（i = – 1，0，1），Y 的概率密度为⎩⎨⎧<≤=其它,010,1)(y y f Y ，记Y X Z +=，求：(1) 求}021{=≤X Z P (2) 求Z 的概率密度)(z f Z ．解：(1) P {Z ≤1/2|X =0}=P {X +Y ≤1/2|X =0}=P {Y ≤1/2}=1/2 (2) 由全概率公式：F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +Y ≤z }=P {X =1}P {X +Y ≤z |X =1} +P {X =0}P {X +Y ≤z |X =0}=P {X =-1}P {X +Y ≤z|X =-1} = P {X =1}P {1+Y ≤z }+P {X =0}P {Y ≤z }=P {X =-1}P {-1+Y ≤z } =1/3⨯[F Y (z -1)+ F Y (z )+ F Y (z +1)]从而，f Z (z ) =1/3⨯[f Y (z -1)+ f Y (z )+ f Y (z +1)]=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其它,021,31z11．设X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;0,10 ,3),(其它x y x x y x f 试求Y X Z -=的概率密度．解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3).(xy x x y x f⎰⎰-≥=-≥=≤-=≤=zx y Z dxdy y x f Z X Y P z Y X P z Z P z F ),(}{}{}{)(如图，当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥1时，F Z (z )=1当0≤z<1时:22333)(3100z z xdydx xdydx z F z xz x zxZ -=+=⎰⎰⎰⎰-综上得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=1,010,2230,0)(3z z z z z z F Z 12Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010),1(23)(2z z z f Z12．设X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布N (0，1)，试求22Y X Z +=的分布．解：,21)(22x X ex f -=π,21)(22y Y ey f -=π22221)()(),(y x Y X e y f x f y x f +-==π}{}{)(22z y x P z Z P z F Z ≤+=≤=当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥0时，220222222222121),(}{)(z zr z y x Z erdrd edxdy y x f z Y X P z F --≤+-===≤+=⎰⎰⎰⎰πθπ所以，Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它,00,)(22z ze z f z Z。

《概率论与数理统计答案》第三章

第三章
习题参考答案与提示
第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ；（2） EX = 1.7 ；（3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α

[笔记]概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

第三章1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。

设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果：1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩，第次取到次品（=1,2,3,4,5)，第次取到合格品则有12345X X X X X X =++++易知，X i 有相同的分布律：14109951001{1}10i C P P P X ⨯===， 19{0}11010i X P ==-=则911()01101010i X E =⨯+⨯= ，于是51234511()()()50.510i i E X E X X X X X E X ==++++==⨯=∑ 。

注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。

为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。

2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)13 4X B ，那么3人中生日在第一季度的平均人数为().130754E X np ==⨯=。

3．略。

4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22D X E X E X =-，可求得()()[()]222E X D X E X λλ=+=+。

由数学期望的性质，有[()()][]()()22221232 32 32 22E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+则可得到关于λ的方程2221λλ-+=亦即2210λλ-+=容易求得1λ=。

5．解：（1）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)20 001X B ，由于20n =较大，.001p =较小，因此(.)02X P 近似。

概率论与数理统计第三、四章答案

概率论与数理统计第三、四章答案第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k pp p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()kr kb ar a bC C P X k C -+==，m a x (0,),m a x (0,)1,,m in (,)k r a r a b r =--+ ，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则 1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=.即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案

试求（1）常数 k；（2）(X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)；（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}．解：（1）由正则性： ∫
+∞ +∞ −∞ −∞
y
∫
p( x, y )dxdy = 1 ，得
0
+∞ 0 + ∞ k −3 x k ⎡ 1 ⎤ e dx = − e −3 x dx ⋅ k ⎢− e −(3 x + 4 y ) ⎥ = ∫ 0 4 12 ⎣ 4 ⎦0 +∞ +∞
8 7 6 28 8 7 5 70 ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 143 13 12 11 429 8 5 7 70 5 8 7 70 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 0)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 8 5 4 40 5 8 4 40 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 5 4 8 40 5 4 3 5 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ； 13 12 11 429 13 12 11 143 8 7 14 8 5 10 （2） P{( X 1 , X 2 ) = (0, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (0, 1)} = ⋅ = ， 13 12 39 13 12 39 5 8 10 5 4 5 P{( X 1 , X 2 ) = (1, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (1, 1)} = ⋅ = ． 13 12 39 13 12 39 X2 0 1 X1 0 14 / 39 10 / 39 1 10 / 39 5 / 39

概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案习题二1■将一硬币抛掷二次，以X表示在二次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:3•设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为求二维随机变量（x, y）在长方形域内的概率.4 6 3J【解】如图叫眈怎＜今空^求：（1）常数/；F (x, y)sin xsiny,0,0"岁詣其他.・Tt ■兀・兀■兀=sin —_sin ——sin —_sin ——4 3 4 6二#(dl).斗sin OLfeinK ■八■兀—+sinIksin —3 6JT7说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4•设随机变量（X, Y）的分布密度f（兀，y）j e-(3.r+4y)x >0, y >0, 其他.(2) 随机变量(X, Y)的分布函数;(3) P{0 «1, 0之<2}.【解】(1)由 f(x,y)dxdy° °Ae(3x4y)dxdy £ 1得A = 12(2) 由定义，有y xF (x, y)f (u, v)dudvy y(3u 4v)12e dudvo o0,(3) P{0 X 1,0 Y 2}P{0 X 1,0 Y 2}5. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为(1 e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0,0,其他212e (3x 04y)dxdy(1 e 3)(1 e 8)0.9499.f(x ，y)=k(6 x y), 0,x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数k ；(2)求 P{X v 1, Y v 3};(3)求 P{X<1.5};(4)求 P{X+Y W 4}.【解】(1)由性质有2 4f(x, y)dxdy ° 2 k(6 x y)dydx 8k 1,31-k(6 x y)dydx86.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为求：（1） X与Y的联合分布密度；（2）P{YN}.(2) P{X 1,Y 3} f (x, y)dydx(3)P{X(4)P{X1.5}x 1.5f (x, y)dxdy 如图 a f (x,y)dxdy1.5 4 10 dx -(6 x y)dy82732Y 4}Xf (x, y)dxdy如图 b f (x,y)dxdy(61 ) y)f Y（ y）5e5y, y 0,0, 其他.【解】（1）因X 在（0, 0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为f x (X)10 x 0.2,0.2,0,其他.而f/y)5e 5y , y 0,0,其他.所以f (x, y)X,丫独立 fx(x)gf Y (y)⑵ P(Y X) f (x, y)dxdy 如图 25e 5y dxdyy xD丄 0.2 5e 5y0,25e 5y, 0 x 0.2且 y 0, 0, 其他•0.2 0dx25e -5ydy0.2 5x0 ( 5e5)dx■1=e 0.3679.7.设二维随机变量（X, Y ）的联合分布函数为F （ x ，y ）(1 e 4x)(1 e 2y), x 0,y 0,0,其他.求（X ，Y ）的联合分布密度2［解］ f(x,y)x y8e(4x 2y), x 0,y 0,0, 其他.8.设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为f (x, y)=4.8y(2 x), 0 0,x 1,0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】f x(x) f (x,y)dyx0 4.8y(2x)dy0,2.4X2(2 x), 0 x 1,0, 其他.f y(y) f (x,y)dx1=y4-8y(2x)dx 2.4y(3 4y y2), 0 y 1,0, 其他.,题8图9.设二维随机变量题9图X, Y)的概率密度为f (x, y) e y, 0 x y,0, 其他.求边缘概率密度.【解】f x(X) f (x, y)d yx0,e y dy xe , x 0,0, 其他.f Y(y) f (x,y)dxy e y dx0,ye x, y 0,0, 其他.y\i■v=xw p题10图10.设二维随机变量（X, Y）2f （x, y）= J试确定常数c;求边缘概率密度的概率密度为x2y 1,其他.(1)(2)【解】(1)f (x, y)dxdy如图Df (x,y)dxdy1 12-1dx x2cx ydy4c211.214f x(X) f(x,y)dy1 212 , xydyx 40, 212。

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最新概率论与数理统计第三章课后习题答案1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.0 1 2 3 1 0 0 32.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.0 1 2 3 0 0 0 1 02P (0黑,2红,2白)=3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 （2）由定义，有(3) {01,02}P X Y ≤<≤< 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为XYXYf （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰(3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. 题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为而所以(2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰所以12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？3 4 5 1 2 0 3 0 0(2) 因{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立YX13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 2 5 8 0.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.20.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ XYXY(1) 当z≤0时，()0ZF z=（2）当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=1000z）(如图a)题15图(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）即11,1,2(),01,20,.Zzzzf z z⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故21,1,21(),01,20,.Zzzf z z⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i(i=1,2,3,4)，则X i~N（160，202），从而17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=∑=-ikkiqkp)()(，i=0，1，2，….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤= (3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 20.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而故为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为由于X 和Y 独立，可见由此，得U 的概率密度为25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有因为X ，Y 相互独立，所以推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=.其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.习题四1.X -1 0 1 2 P1/8 1/2 1/8 1/4求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5 P故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.设随机变量X -1 0 1 Pp 1 p 2 p 3且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）.【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值由X 与Y 的独立性，得方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为于是10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2ed [e]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+= (2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1）系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰(3) 22222221()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1）验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2）验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3）验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑(2) 因故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，2212112()1.ππx X x f x y x --- 当|y |≤1时，2212112()1ππy Y y f y x y ----显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰从而同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+-又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而故 12122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式. 【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.。

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