大学线性代数试题及答案

1 1 2 9 0 0 0 12
R(A)=2≠R( A )=3 ∴方程组无解...........(8 分)
（3）.当 =0 时
1 1 1 1 1 1 A= 1 1 1 → 0 0 0 …………………（9 分）
1 1 1 0 0 0
R(A)=1<3 ∴ 故方程组有无穷多解………(10 分)
（D） A 与 B 有相同的特征值，且 n 个特征值各不相同
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6. 设1, 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，则下列向量组不．能．作为
Ax 0 的基础解系的是（
）
（A）1，1 2 ,1 3
（B）1，2 3 ,1 2 3
（C）1，1 2 ,1 2 3
（D）1 2，1 3 ,3 1
x x x 1 + 2 + 3 =0
= 1 1 0
1
= 1 0 1 …..(11 分)
2
x k k k k ∴通解 =
+
，其中 ， 为任意实数…（12 分）
11
22
1
2
五．（9 分） 设α= k11 k2 2 k33
k1 2k2 3k3 0
∴ 2k1 3k2 k3 4 ………(2 分) 3k1 k2 2k3 2 k1 2k2 2k3 5
2
二.1. A 2. D 三.
7. -1
8. 24 9. 0
3. C 4. C 5. D 6. B 7. B
10. 10
n1 1 1
111
1 11
Dn
=
n 1
2
1
（4
分）=（n+1）
1
2
1
(6
分)
=（n+1）
0
1
0
=
n+1(8
分)
n1 1 2
112
0 01
四．（12 分）
1 1 1
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1 2 3 0 1 2 3 0
A
2 3 1
3 1 2
1 2 2
4 52
0 0 0
1 0 0
5 1 0
4 01 …………（4 分）
∵R(A)=R( A )=3 ∴方程组有解…………………………（5 分）
k1 2k2 3k3 0 k2 5k3 4 k3 1
a03
=1 的特征向量为 (1 0 1)T
…………（7 分）
=2 的特征向量为 (0 1 0)T
…………… （9 分）
=5 的特征向量为 (2 0 1)T 1 0 2
P 0 1 0 使 PX=Y 1 0 1
……………… （11 分） ………… （12 分）
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1,2 ,3,4 的秩为
.
4. 设 A是 n 阶方阵，且满足 A2 A 5E 0 , 则 A 2E 1 _________.
1 2 1 x1 1
5.
已知方程组 2
3
a
2
x2
3
无解，则实数
a
___________.
1 a 2 x3 1
6. 设1 (1x,1)T ,2 (2, 1, 2)T ,3 (0,1, 2)T ，当 x
3 (3,1, 2, 2)T ，问 可否表示成 1， 2 ， 3 的线性组合?若可以,请给出一种表
达式.
（本题 9 分）
六、证明若 n 阶方阵 A 满足 A2 4A 3E 0 ,则 A 的特征值只能是 1 或 3.(本题 8
分)
七、已知二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 3x22 3x32 2ax2x3(a 0) 通过正交变换化成标
……（7 分）
k1 1, k2 1, k3 1 …（8 分）
1 2 3
…………（9 分）
六．（8 分） 证明： 设 为 A 的特征值，( A) A2 4 A 3E 0 ……… (2 分)
则 () 为( A) 的特征值 ………（4 分）
即 ( A) ()E =0
……… (6 分)
.
10. 在 MATLAB 软件中，inv( A ) 表示求__________.
二、单项选择题（本题共 21 分，每小题 3 分）
1. 设 n 维向量 和 的模分别是 4 和 8， 与 的距离是 4 3 ，则 与 的夹角为
()
（A） 3
（B） 3
（C） 2 3
（D） 2 3
2. 设 A 为 5 阶方阵，且 R( A) 4 ，1, 2 是 Ax 0 的两个不同的解向量，则 Ax 0 的
准型 f y12 2y22 5y32 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵.(本题 12 分)
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2006 学年第 2 学期线性代数（ A 卷 ）答案
6 4 0 一. 1. 2 2 0
0 0 2
2. 81
3. 2 4. -( A + 3 E) 5. 3 或-1
1
6. x≠﹣
而 ( A) 0 ∴ 0 ()E n () 0
∴ ( A) 2 4 3 0 ∴ =1 或 3 ……（8 分）
七．（12 分）
2 0 a A 0 2 0 （1 分）
a 0 3
A 的特征值为 1,2,5 （2 分）
20a A 1 2 5 即 A = 0 2 a =2（6- a 2 ）=10 ∴a= 1 (舍去-1) （5 分）
学年第 2 学期线性代数（ A 卷 ）
一、 填空题 (本题共有 30 分, 每小题 3 分)
1 2 0
1.
已知
A
1 2
1 0
3 0
0 ，则 A1 1
.
2. 设 A 为 4 阶方阵，且 A 1,则 3A ________.
3. 已知1 (2,3, 4,5)T ,2 (3, 4,5, 6)T ,3 (4,5, 6, 7)T ,4 (5, 6, 7,8)T ，则向量组
1 1
1
1 1 1
= （ +3） 2
…………………..（2 分）
（1）.当 ≠0 且 ≠-3 时，方程组有唯一解...............(4 分) （2）.当 =-3 时
2 1 1 0 1 1 2 9 A = 1 2 1 3 → 0 3 3 6 ………(7 分)
7. 设 A与 B 均是 n 阶正定矩阵， A*, B* 分别为 A， B 的伴随矩阵，则下列矩阵必为
正定矩阵的是（
）
（A）A*+3B* （B）A*B* （C）k1A* k2B*（ k1，k2 为任意常数） （D）A* B*
21L 1
三、计算 n 阶行列式 Dn
1 M
2L MM
1 的值.
M
(本题 8 分)
11L 2
四、设线性方程组
(1 x1
) x1 (1 )
x2 x2
x3 x3
0
，当 等于何值时，方程组
x1
x2
(1
) x3
2
(1) 有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并用基础解系表示方程组的通解.
（本题 12 分）
五、设有向量 (0, 4, 2,5)T , 1 (1, 2,3,1)T , 2 (2,3,1, 2)T ,
时，1,2 ,3 线性无关.
7. 设向量 (2,3, 4,1), (1, 3, 2, x) ，且与 正交，则 x
.
8. 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1 , 1 , 1 , 1 ，则行列式 2345
B1 E ________ .
9. 二次型 f x1, x2 , x3 x22 2x1x3 的负惯性指标为
4
t
，
P
为
3
阶非零矩阵，且满足
PQ
0,则（
）
3 6 9
（A） t 6 时 P 的秩必为 1
（B） t 6 时 P 的秩必为 2
（C） t 6 时 P 的秩必为 1
（D） t 6 时 P 的秩必为 2
5. 当下列哪一个命题成立时， n 阶方阵 A 与 B 相似
（）
（A） A B （B） R(A) R(B) （C） A 与 B 有相同的特征值
通解为（ ）
Baidu Nhomakorabea
（A） k 1 （B） k2 （C） k(1 2 ) （D） k(1 2 )
3. 下列命题中与命题“ n 阶方阵 A 可逆”不．等．价．的是（
）
（A） A 0
（B） A 的列向量组线性无关
(C）方程组 Ax 0 有非零解
（D） A 的行向量组线性无关
1 2 3
4. 已知 Q 2