自动控制原理与系统第四章 分析自动控制系统性能常用方法
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制系统的控制方式及性能指标
自动控制系统的控制方式及性能指标自动控制系统是一种通过传感器、执行器和控制器等组成的复杂系统，可以对特定过程或设备进行自动化控制。
控制方式和性能指标是评价一个自动控制系统优劣的重要标准。
本文将介绍常见的自动控制系统的控制方式及其相关的性能指标。
一、开环控制开环控制是最简单的控制方式之一，它是指控制器对被控对象进行控制，但没有反馈信号参与。
开环控制系统主要通过既定的控制算法对被控对象输出信号进行调节。
这种控制方式无法对系统的实际状态进行准确的监测和调节，因此容易受到外界干扰的影响，导致输出信号与期望值之间存在偏差。
二、闭环控制闭环控制是一种基于反馈信号的控制方式，它通过传感器获取系统的实际状态信息，并将该信息传递给控制器进行实时调节。
闭环控制可以确保被控对象的输出信号与期望值之间的误差最小化。
这种控制方式具有较好的稳定性和鲁棒性，能够在系统出现扰动或参数变化时自动调整输出信号，使系统保持稳定运行。
闭环控制的性能指标主要包括以下几个方面：1. 响应时间：响应时间是指系统从受到输入信号到输出信号达到稳定状态所需的时间。
响应时间越短，系统的动态性能越好。
2. 稳定性：稳定性是指系统在受到扰动或参数变化时，能够保持输出信号在允许范围内波动较小的特性。
稳定性越好，系统的控制效果越优秀。
3. 误差指标：误差指标是评价闭环控制系统控制精度的重要指标。
常用的误差指标有稳态误差、峰值误差和超调量等，这些指标可以量化地反映系统输出信号与期望值之间的偏差程度。
4. 鲁棒性：鲁棒性是指系统对参数变化和外界干扰的适应能力。
一个鲁棒性较强的控制系统能够在参数变化或干扰较大的情况下仍能保持较好的控制效果。
5. 控制精度：控制精度是指系统输出信号与期望值之间的精度程度。
控制精度越高，系统的控制能力越强。
综上所述，自动控制系统的控制方式及性能指标是评价系统优劣的重要指标。
开环控制和闭环控制是常见的控制方式，而响应时间、稳定性、误差指标、鲁棒性和控制精度等性能指标可以客观评价系统的控制效果。
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
自动控制原理部分简答题
一.名词解释1、传递函数：传递函数是指在零初始条件下，系统输出量的拉式变换与系统输入量的拉式变换之比。
2、系统校正：为了使系统达到我们的要求，给系统加入特定的环节，使系统达到我们的要求，这个过程叫系统校正。
3、主导极点：如果系统闭环极点中有一个极点或一对复数极点据虚轴最近且附近没有其他闭环零点，则它在响应中起主导作用称为主导极点。
4、香农定理：要求离散频谱各分量不出现重叠,即要求采样角频率满足如下关系： ωs ≥2ωmax 。
5、状态转移矩阵：()At t e φ=，描述系统从某一初始时刻向任一时刻的转移。
6、峰值时间：系统输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间为峰值时间。
7、动态结构图：把系统中所有环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，从而得到的传递函数方块图就称为动态结构图。
8、根轨迹的渐近线：当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，系统有n-m 条根轨迹终止于 S 平面的无穷远处，且它们交于实轴上的一点，这 n-m 条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线。
9、脉冲传递函数：零初始条件下，输出离散时间信号的z 变换()C z 与输入离散信号的z 变换()R z 之比，即()()()C z G z R z =。
10、Nyquist 判据（或奈氏判据）：当ω由-∞变化到+∞时， Nyquist 曲线（极坐标图）逆时针包围（-1，j0）点的圈数N ，等于系统G(s)H(s)位于s 右半平面的极点数P ，即N=P ，则闭环系统稳定；否则（N ≠P ）闭环系统不稳定，且闭环系统位于s 右半平面的极点数Z 为：Z=∣P-N ∣11、程序控制系统: 输入信号是一个已知的函数，系统的控制过程按预定的程序进行，要求被控量能迅速准确地复现输入，这样的自动控制系统称为程序控制系统12、稳态误差：对单位负反馈系统，当时间t 趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理4 根轨迹法的基本概念
K*
K* 8.16
1.1
pi 71.6
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3,
z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线.
G(s) K * (s 20) s(s2 24s 144)
m
n
pi ( pl zi ) ( pl pi )
izl zi )
j 1
jl
p2 1800 56.50 190 590 (108.50 900 370 )
790
z2 1800 1530 1990 1210 63.50 1170 900
（2）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 （需专门研究）
j1
（3）
m
K*
(s z j )
m
(zj)
K limsνG(s) H(s) limsν
（4）根轨迹法 s0
s0
sν
j1 nν
(s
pi )
K*
j1 nν
( pi )
根轨迹图
闭环极点
闭环传递函数
性i 1能指标
i 1
3.根轨迹方程
4-2 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 法则3 根轨迹的渐近线 法则4 实轴上的根轨迹 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角与终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 法则8 根之和
法则一、根轨迹的对称性、分支数和分布性
1．根轨迹连续且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数与开环有限零点数m与有 限个极点数n中的最大者相等。
第四章分析自动控制系统性能常用的方法
第四章 分析自动控制系统性能常用的方法（10 学时）目的、教学要求：在经典控制理论中常用的分析方法有时域分析法(由时域响应及传递函 数出发去进行分析)、根轨迹分析法和频率特性分析法。
本章主要介绍其中的两种分析方法， 即：时域分析法和频域分析法。
因此在本章中主要掌握：² 时域分析法的基本概念及分析方法² 频域分析法的基本概念及分析方法重点、难点：本章的重点是： 频率特性的基本概念， 开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取， 控制系统的对数稳定性判据，系统频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
本章的难点是：自动控制系统开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取、控制系 统的频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
主要内容：² 频率特性的基本概念² 频率特性的图形表示法² 典型环节的 Bode 图² 自动控制系统的开环对数频率特性² 习题² 实验教学方式：该部分内容较难理解，应采用 PPT+《自动控制原理频域分析工具箱》教学软件 的多媒体教学方式；习题课采用课堂教学， 但至少应用一次课堂练习用来让学生学习绘制伯 德图。
教学设计：① 通过多媒体教学演示软件《自动控制原理频域分析工具箱》生动说明频率响应的概 念，引导学生对实验演示结果进行分析，从而引出占有率特性的基本概念。
② 通过一个案例（一阶 RC 电路）及多媒体教学演示软件来讲解：输出信号的幅值与相 位与频率之间的关系及频率特性与系统结构参数之间的关系（简要介绍，用 PPT+媒体教学 演示软件来讲）。
③ 采用课堂练习的方法，引导学生按步骤进行伯德图的绘制，学习绘制前要求学生准 备好二张以上的三级半对数坐标纸（从校园网上下载）。
教学内容：一、频率特性的基本概念1. 频率响应与频率特性频率响应的概念：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。
线性系统的 频域分析的出发点仍然是它的传递函数。
自动控制系统性能分析
延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响
7.2 自动控制系统的稳态性能分析
稳态误差始终存在于系统的稳态工作状态之中。 系统稳态误差的概念——暂态响应与稳态响应 误差传递函数 系统稳态误差与输入信号之间的关系——自动
由以上分析可见，对三阶系统，加大增益，将使系统 稳定性变差，甚至造成不稳定。由此，伯德提出：为 了保证系统有足够的稳定裕量，在设计自动控制系统
时，要使 c附近(左、右各几个频程)L() 的斜率为
-20dB/dec(这又称伯德第一定理)。 【例7-1】分析如图7-11所示的随动系统的相位稳定 裕量。
造成系统不稳定主要有：系统内部参数结 构上的原因和外部控制上的客观原因。
稳定系统与不稳定系统
a)不稳定系统
b)稳定系统
造成自动控制系统不稳定的物理原因
系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。 系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条 件。
即形成系统稳定的充要条件。 系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。
量 U set / RC 会最终消失掉。
所以，在控制系统中，暂态响应定义为从激励（输入 信号）产生开始到时间趋于无穷时，输出趋近于零的 那一部分与时间有关的响应。而稳态响应则为暂态响 应消失之后余下的那一部分响应。
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
自动控制原理-胡寿松-第四章
过阻尼系统；
当K＝0. 5时：
临界阻尼系统；
当K＞0. 5时：
欠阻尼系统。
(s)
s2
2K 2s
2K
11
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有 着比较密切的联系。
对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系 统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简 便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅 速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭 环零、极点与开环零、极点之间的关系。
（2）稳态性能：由开环系统 在坐标原点处的极点数可判断 出系统的型别，而此时的K值 就是相应的静态误差系数。如 果给定系统的稳态误差要求， 则由根轨迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
G(s) K s(0.5s 1)
10
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
（3）动态性能：
当0＜K＜0. 5时：
12
3. 闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系
一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：
f
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s2
2
1
2
s
1)L
sv (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)L
KG*
(s zi )
i 1 q
(s pi )
i 1
KG
为前向通路增益；K
* G
为前向通路根轨迹增益。
m
(s zj)
等价为：
K * j1 n
1
(s pi )
2
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第4章
其中一条
根轨迹终止于开环零点, 即－1/τ, 另一条终止于无穷远处。
其根轨迹图如图4-5所示。
21
图 4-5 例 4-3系统的根轨迹
22
四、实轴上的根轨迹(法则四) 在坐标轴上向右看去，实轴上凡有奇数个零点和极点的区
段就是根轨迹的一部分。即实轴上根轨迹区段的右侧, 实数 零点和实数极点数目之和应为奇数。
解出s1=－0.423, s2=－1.578(舍去)。 即s1为此系统的分离点。
49
例4-6 已知D(s)=s(s+2)+K*(s+4)=0, 求闭环系统根轨迹 的分离点和会合点。
解因
所以
50
［方法一］ 按式(4-10)先写出D=s(s+2), 则D′=2s+2、 N=s+4, 则N′=1, 将D、D′、N、N′代入式(4-10)中，得
(1) 渐近线的条数(分支数), 有n－m条。
25
(2) 渐近线的夹角ja。假设在无穷远处有特征根sk, 则s 平面上所有开环有限零点zi和极点pj的向量相角都相等, 即 ∠(sk－zi)=∠(sk－pj)=ja, 用它代入相角条件式(4-6), 得
26
所以渐近线的夹角为 (4-7)
当k=0时, 渐近线的夹角最小, k增大时, 夹角值重复出现, 所以独立的渐近线只有n－m条。
则有(n－m)条根轨迹终止于无穷远处。 将式(4-5)左边取极限, 得
18
例 4-3 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 试确定根轨迹的分支数及起点、终点。
19
解 将开环传递函数改写成 式中,
20
开环传递函数分母多项式的最高阶次n=2, 故根轨迹的分
支数为2(即有两条根轨迹)。
分析自动控制系统性能的常用方法
这正是系统频率特性在复数平面内的一种典型表示方 法，这种表示方法我们称之为直角坐标表示法。
根据复函数理论，我们可以分别求 V ( ) 出上式中的幅值与相位，即： 幅值： M ( ) U ( ) V ( )
2 2
+j
( )
U ( )
+1
1 T 1 2 2 [ ] [ ] 2 2 ( RC ) 1 ( RC ) 1 ( RC ) 2 1
M ( ) 为该一阶RC电路的幅频特性，它是指输出正 则： 弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间 的比值；称 ( )为该一阶电路的相频特性，它是指 输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差 （相位差）。
( ) c ( ) i ( ) arctan(T )
第4章 分析自动控制系统性能的常 用方法
建立自动控制系统数学模型的目的，就是为了 对自动控制系统进行分析。在经典控制理论中， 对系统的分析方法主要有两种： 时域分析法(由时域响应及传递函数出发去进行分 析) 频率特性法(由频域响应及传递函数出发去进行分 析)
4.2 频率特性法
频率特性法的基本概念 频率特性的图形表示方法 典型环节的对数频率特性 系统开环对数频率特性
从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应， 本质上讨论的就是我们在《电路基础》中学过的 正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不 同之处在于《电路基础》中，我们研究的是在给 定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某 一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相 位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所 研究的是当输入正弦激励信号的角频率从0→∞变 化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与 初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变 化的函数关系。 对于本例，当我们取R=1Ω，C=0.1F 的实验电路 参数时，其随频率变化的响应曲线如下：
自动控制原理(4)
4.1 根轨迹的基本概念
根据如下控制系统框图介绍根轨迹的基本概念。
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s 1)
图4－1 控制系统框图
1.将图4-1所示系统的开环传递函数转化为：
G(s) K k ; k 2K s(0.5s 1) s(s 2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准 形式——零极点增益形式。
或
G(s)H (s)
K1 sm
m
zj
j 1
s m1
m j 1
zj
sn
n i1
pi
s n1
n i1
pi
上式可化为：
G(s)H(s)
K1
snm
τzj、τpi ——分之和分母中的时间常数。
由上两式不难看出
m
(z j )
K K1
j 1 n
( pi )
i1
zj
1
zj
,
( j 1, 2 , , m)
;
pi
1
pi
,
(i 1 , 2 , , n)
由此可以得到另一种形式的幅值条件和相角条件：
m
s zj
n i1
pi
m j 1
zj
s nm1
在n>m的条件下，当K1→∞时，有（n－m）条根轨
迹分支趋向于无穷远，即s→∞。这时可以只考虑高次项，
将上式近似写为：
G(s)H(s)
自动控制原理第三版第四章
(s)
KG*
K
* H
i 1 q
j 1 l
(s pi ) (s p j )
i 1
i 1
f
l
m
(s zi ) (s z j )
(s zj )
Kg
i 1 q
j 1 h
Kg
j 1 n
(s pi ) (s p j )
(s pi )
i 1
j 1
i 1
m
Kg
j 1
j
n
K
——开环根轨迹增益，与开环增益K成正比
第四章 根轨迹分析法
1
主要内容
常规根轨迹法 根轨迹的平滑性原理 广义根轨迹和零度根轨迹 多闭环控制系统的根轨迹 应用根轨迹法分析控制系统的性能 应用matlab的根轨迹分析
2
基本要求
1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以 及主导极点、偶极子等概念。
2. 正确理解和熟记根轨迹方程(幅值方程及辐 角方程)。熟练运用幅值方程计算根轨迹上 任一点的根轨迹增益和开环增益。
②闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通 道的极点组成；
③闭环系统的极点与开环系统的极点、零点 以及开环根轨迹增益有关。
根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布 的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。
16
三、根轨迹方程
闭环特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
（1）
闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。
存在根轨迹
2
1 0
∑m
在区间(- ∞, -2): - ∠(s p j ) -360
j 1
不存在根轨迹
对于实轴以外区域： 只有两个开环极点中垂线上存在 根轨迹。
自控原理自动控制系统的性能分析PPT课件
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上式表明，高阶系统的σp随着γ的增大而 减小，调节时间ts随γ的增大也减小，且随ωc， 增大而减小。
由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知， 系统的开环频率特性反映了系统的闭环响应特 性。对于最小相位系统，由于开环幅频特性与 相频特性有确定的关系，因此相角裕度取决于 系统开环对数幅频特性的形状，但开环对数幅 频特性中频段(零分贝频率附近的区段)的形状， 对相角裕量影响最大，所以闭环系统的动态性 能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。
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(4) 频 带 ωb ： 当 ω 增 加 时 ， MB(ω) 下 降 到 0.707M0时的频率，它也反映了系统的响应速度， ωb越大, 表明能通过较高频率的信号，系统响应速 度越快。
2. 利用频域指标估算时域指标 对于典型二阶系统，其闭环传递函数为
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上式表明，对于二阶系统，在0≤ξ≤0.707时，频率特 性出现谐振峰值Mr。Mr可表征阻尼系数ξ，反映系统的稳 定性，也能反映系统的快速性(ts≈3/ξωn)。
第4章 分析自动控制系统性能常用的方法
( )
A( )
0
P ( )
G( s)
T1s 1T2 s 1
1
1 G( s) T1s 1T2 s 1T3s 1
1 G( s) s T1s 1T2 s 1
对数频率特性曲线/伯德图
对频率特性 G( j) A()e j ( ) 两端同取对数， 得：
c(t)
2 1 3
1.2
1 2
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
5 4 t 2 4 6 8 10 12 14 16 18
闭环极点分布
单位阶跃响应曲线
1. 欠阻尼状态 (即0<ζ<1时)
系统有一对共轭复根：
s1,2 n jn 1
2
j j d
0
s1 -n
单位阶跃响应为
，即Tm 4Ta时， 2. 当 1 其阶跃响应为单调上升
曲线 由于通常情况下， Tm Ta ，因此电动机的传递 函数可简化为： N ( s) 1/ K e
G( s) U a ( s) Tm s 1
此时，电动机等效为一个大惯性环节，其阶跃响 应为单调上升的曲线
频率特性法
t T
0
T越小，系统跟踪 一阶系统的单位斜坡响应
r (t ) t
1 R( s) 2 s
斜坡输入信号的稳 态误差也越小。
C ( s ) R ( s ) ( s ) 1 1 1 T T2 2 2 s Ts 1 s s Ts 1
对C(s)取拉氏反变换：
c(t ) t T Te
消去中间变量 i (t ) ， 则微分方程为：
du c (t ) RC u c (t ) u r (t ) dt
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4.3.4 应用MATLAB处理传递函数的变换 1.传递函数在MATLAB中的表达形式
线性系统的传递函数一般可以表示成复数变量s 的有理函数形式
采用下列命令格式可以方便地把传递函数模型输入 到MATLAB环境中 num=［bm，bm-1，…， b1，b0］；［num为分子项 (Numerator)英文缩写］ den=［an，an-1，…， a1，a0］；［den为分母项 (Denominator)英文缩写］
SIMULINK是MATLAB里的工具箱之一，主要 功能是实现动态系统建模、仿真与分析； SIMULINK提供了一种图形化的交互环境，只需用 鼠标拖动的方便，便能迅速地建立起系统框图模型 LINK，先要启动MATLAB。在
MATLAB窗口中单击按钮，如图4-33所示(或在命 令窗口中输入命令“simulink”)，将会进入 SIMULINK库模块浏览界面，如图4-34所示。
2）变量名的第一个字母必须是英文字母，最多可以 包含31个字符。 3）变量名不得包含空格、标点，但可以有下连字 符。
3.基本运算符 MATLAB表达式的基本运算符见表4-2。
4.表达式
1）表达式 2）表达式将按常规相同的优先级自左至右执行运算。 3）优先级的规定为：指数运算级别最高，乘除运算 次之，加减运算级别最低。 4）括号可以改变运算的次序。
【例4-6】若在例[4-4]所示的随动系统中，将比例 (P)调节器改换成比例积分(PI)调节器，如图4-19所 示。图中已标明系统的有关参数。试画出该系统的 开环频率特性(伯德图)。
图4-19 某自动控制系统框图
图4-20 〔例3〕系统的开环对数频率特性(伯德图)
（4-31）
其对数相频特性曲线如图7-21b所示。
4.3.2 应用MATLAB进行数值运算 【例4-8】求［18+4×(7-3)]÷5^2的运算结果 1)双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口，如图425所示。
图 4-25 MATLAB命令窗口
图4-26 plot( )函数绘制的正弦曲线
图4-27 在同一窗口绘制的两条曲线
图4-30 加有基本标注的图形样式
（4-10）
图4-2 振荡环节的阶跃响应 图4-3 典型二阶系统的单位阶跃响应曲线
（4-11）
（4-12）
过阻尼时的阶跃响应也为单调上升曲线。不过 其上升的斜率较临界阻尼更慢。
由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻 尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是 很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调 量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢， 又大大增加了调整时间。因此，怎样选择适中的阻 尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性，便成了研究 自动控制系统的一个重要的课题。
第五节 系统的闭环频率特性
（4-32） （4-33）
（4-34）
（4-35） （4-36）
（4-37）
图4-23 典型二阶控制系统的
图4-24 开环传递函数 G(s)=1/(s(0.5s+1)(s+1))的闭环对数频率特性
闭环频率特性
第三节 MATLAB软件在系统性能分析 中的应用
MATLAB是由美国Math Works公司于1982推出 的一个软件包。适用于Windows环境，是一个功能 强、效率高、有着完善的数值分析、强大的矩阵运 算、复杂的信息处理和完美的图形显示等功能的软 件包；
第四章 分析自动控制系统性能常用方法
• 主要内容
• 第一节 时域分析法 • 第二节 频率特性法 • 第三节 MATLAB软件在系统性能分析的
应用
第一节 时域分析法
（4-1）
（4-2）
（4-3）
图4-1 典型一阶系统的单位斜坡响应
（4-4） （4-5）
（4-6）
（4-7） （4-8）
（4-9）
（4-38）
与G1对应的零点、极点在复平面上的位置如下图所 示。
×—极点 ○—零点 Re—实轴(Real Axis) Im—虚轴(Imaginary Axis)
图4-29 零、极点分布图
于是可获得如图4-30所示的阶跃响应曲线。
4.3.6 SIMULINK及其应用 1.SIMULINK仿真软件简介
本节以MATLAB7.1版本为例，介绍其中的程序命 令SIMULINK工具的使用以及它们在分析自动控制系 统性能的应用。
4.3.1 MATLAB中的数值表示、变量命名 、运算 符号和表达式
１.数值表示 MATLAB的数值采用十进制，可以带小数点或负 号。
2.变量命名 1）变量名、函数名：字母大小写表示不同的变量 名。
（4-26）
图4-13 惯性环节的伯德图
（4-27）
图4-14 比例微分环节的伯德图
（4-28）
图4-15 振荡环节的伯德图
（4-29）
四、系统的开环对数频率特性
图4-16 某随动系统框图
（4-30）
图4-17 〔例4-3〕所示系统的伯德图
图4-18 比例积分(PI)调节器伯德图
单击窗口左上方的按钮，SIMULINK会打开一 个名为untitled的模型窗口，如图4-31所示。随后， 按用户要求在此模型窗口中创建模型及进行仿真运 行。
图4-31 启动SIMULINK 图4-31 启动SIMULINK
图4-32 SIMULINK库模块浏览器界面
（4-13）
（4-14）
第二节 频率特性法
一、频率特性的基本概念 对线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳
态输出信号也将是同频率的正弦量。
图4-4 线性系统的频率特性响应示意图
s j
G(s) G( j) s j
（4-16） （4-17） （4-18）
图4-6 频率特性的几种表示方法
（4-19） （4-20）
（4-21）
图4-8 伯德图的横坐标和纵坐标
图4-9 (三级)半对数坐标纸
（4-22）
图4-10 比例环节的伯德图
（4-23）
图4-11 积分环节的伯德图
（4-24）
②对数相频特性由式(4-25)可知，为一条+90°水平 直线。
图4-12 理想微分环节的伯德图