信号与系统系统函数与信号流图

例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
H6
H7
H1
H2
H3 X3 H4
H5
Y
X
X1
X2
G1
X4
解：先求环路，一共有4个环路，即
G2
L1 ( X3 X4 X3) H4G1
L2 ( X1 X2 X3 X4 Y X1) H2H3H4H5G2
L3 (X1 X4 Y X1) H5H6G2 L4 (X1 X2 Y X1) H2H7G2
方程两边积分三次得到
y1(t)
a2
d
2 y1(t) dt 2
a1
d
y1(t) dt
a0
y1 (t )
x(t)dt
说明 y1(t)是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
d2 y1 t dy1 t
dt 2
dt
y1 t
信号与系统
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是
x(t)
a2
d
2 y1(t) dt 2
2H
+
v1 ( t )
-
1F
题图
+
2
v2 (t)
-
三条前向通路之(1)
X X1 X2 X3 X4 Y
P1 H1H2H3H4H5
1 1 0 0 1
三条前向通路之(2)
X X1 X4 Y
P2 H1H5H6
2 1
信号与系统
源自文库
三．Mason公式
三条前向通路之(3)
X X1 X2 Y
P3 H1H 2 H 7
3 1 H4G1
H6
H7
所以系统函数为
M
Pk (s)k (s)
H k 1 (s)
H1
H2
H3 X3 H4
H5
Y
X
X1
X2
G1
X4
G2
H1H2H3H4H5 H1H5H6 H1H2H7 1 H4G1
1 H4G1 H2H3H4H5G2 H5H6G2 H2H7G2 H2H4H7G1G2
信号与系统
信号与系统
四．系统模拟
对应的信号流图为
1 X
1
1
s
s
a2
a1 a0
b2 b1
1
Y1
b0
s
1 Y
1
其中
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
s
若 Lx(t) X (s)
则
L
t
x(τ
)
d
τ
X (s) 1 ss
0 x( ) d τ
信号与系统
作业13-6-18
P183 5-16
二、 求下列微分方程描述系统的系统函数，并画出其零极点图。
G1
H1
H2
H3
G4
H5
X
X1 G2 X 2
X 3 H4 X 4 G5
Y
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。 前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。
述的系统
d3 y(t) dt 3
a2
d2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a0
y(t)
b2
d 2 x(t ) dt 2
b1
dx(t) dt
b0 x(t )
解：首先考虑下面的系统
d3 y1(t) dt 3
a2
d2 y1(t) dt 2
a1
dy1(t) dt
a0
y1(t)
x(t)
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
闭通路: 如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余节点相遇不多 于一次，则称为闭通 路、回路、环路 或简称为环。
不接触环路: 环路之间没有公共节点。
G1
H1
H2
H3
G4
H5
X
X1 G2 X 2
X 3 H4 X 4 G5
Y
信号与系统
三．Mason公式
Mason公式为
M
H (s)
Y (s)
X (s)
Y (s) H (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 2 (s)
H 24
H14
H 45
X 5 (s)
X1(s)
X 3s
X 4 (s) H 34
H 46 X 6 (s)
多输入多输出节点
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，
X 4 X1H14 X 2H24 X 3H34
H1
H2
H3
G4
H5
Y
X
X1 G2 X 2
X 3 H4 X 4 G5
系统函数为
M
Pk (s)k (s)
H k1 (s)
H1H 2 H 3 H 4 H 5
1 H2G2 H4G4 H5G5 H2H3H4H5G1 H2H4G2G4 H2G2H5G5
信号与系统
三．Mason公式
Pk (s)k (s)
k 1
X (s)
(s)
其中 H (s) 从输入节点到输出节点之间的系统函数
(s) 特征式 (s) 1 Li LiLj LiLjLk L
Li 所有不同回路增益之和 Li Lj 所有两两互不接触回路增益乘积之和 Li Lj Lk 所有三个互不接触回路增益乘积之和
Pk (s) 从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益
四．系统模拟
系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实现指定 的系统函数。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
信号与系统
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
1 (H2G2 H4G4 H5G5 H2H3H4H5G1) (H2H4G2G4 H2G2H5G5)
前向通路只有一条，即 X X1 X 2 X 3 X 4 Y
所有回路都和这条前向通路接触，所以
P1 H1H2H3H4H5
1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
G1
信号与系统
§5.6.4 系统函数和信号流图
信号与系统
主要内容
•系统方框图 •信号流图 •Mason公式 •系统模拟（第5.8节）
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。
子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。
（1）级联 等效系统函数为
（2）并联 等效系统函数为
一．系统方框图
（3）反馈
等效系统函数为
H (s) H1(s) 1 H1(s)H2(s)
对于负反馈，总有
H (s) H1(s) 1 H1(s)H2(s)
X (s)
E(s)
Y (s)
H1(s)
B(s)
H 2 (s)
X (s)
H1(s)
Y (s)
1 H1(s)H2 (s)
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器。
其中L1、L4是两两不接触的回路，没有三个互不接触的回路
信号与系统
H6
H7
三．Mason公式
H1
H2
H3 X3 H4
H5
Y
可以求得流图的特征式 X
X1
X2
G1
X4
G2
1 Li LiLj 1 (L1 L2 L3 L4 ) (L1L4 )
1 H4G1 H2H3H4H5G2 H5H6G2 H2H7G2 H2H4H7G1G2
k (s)
在 (s) 中，将与第k条前向通路相接触
的回路所在项去掉后余下的部分
信号与系统
三．Mason公式
例：用Mason公式求图所示系统的系统函数
G1
H1
H2
H3
G4
H5
Y
X
X1 G2 X 2
X 3 H4 X 4 G5
解：先求环路，一共有4个环路，即
L1 H2G2 L2 H4G4
L3 H5G5
（1）
d2 y(t) dt2
5 d y(t) dt
4 y(t)
d x(t) dt
2x(t)
（2）
d2 y(t) dt2
2 d y(t) dt
2 y(t)
d x(t) dt
三、 已知题图所示电路，求： （1）系统函数 H (s) V2 (s)
V1 ( s )
（2）冲激响应 h(t)与阶跃响应 g(t) 。
a1
d
y1(t) dt
a0
y1(t)
可以画出部分系统框图
d2 y1 t dy1 t
x t
dt 2
dt
y1t
a2 a1 a0
信号与系统
四．系统模拟
y(t)
b2
d
2 y1(t) dt 2
b1
d
y1(t) dt
b0
y1(t)
可以画出完整的系统框图
b2 b1
x(t)
y1t
b0
y(t)
a2 a1 a0
而且可以有不同方向输出。
信号与系统
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
L4 H2H3H4H5G1
其中（L1、L2），（L1、L3）是两两不接触的回路，没有三三不接触的 回路。
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
H2
H3
G4
H5
Y
X
X1 G2 X 2
X 3 H4 X 4 G5
所以流图的特征式为
(s) 1 Li LiLj 1 (L1 L2 L3 L4) (L1L2 L1L3)
y(t)
b2
d2 y1(t) dt 2
b1
dy1(t) dt
b0
y1(t)
信号与系统
四．系统模拟
d
3 y1(t) dt3
a2
d
2 y1(t) dt 2
a1
d
y1(t) dt
a0
y1(t)
x(t)
d 3 y1(t) dt3
a2
d 2 y1(t) dt 2
a1
d
y1(t) dt
a0 y1(t)
x(t)
H (s) H1(s)H2 (s)
X (s)
Y1(s) H1(s)
H 2 (s)
Y (s)
X (s)
Y (s)
H1 (s)H 2 (s)
H (s) H1(s) H2(s)
X (s)
H1(s) Y1(s)
Y (s)
H2 (s) Y2 (s)
X (s)
Y (s)
H1(s) H2 (s)
信号与系统