数学物理方程第五章傅里叶变换-2
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l ( x)
m/ l
1. 作为广义函数的引入
一维
x ) rect ( ) l(
l/2
m l
x l
l / 2
0
l/2
x
全空间总质量
x )dx l(
m dx m l l/2
27.02.2019
阜师院数科院
l 0 的极限
全空间总质量不变
lim x ) dx ( x ) dx m , l(
F ( ) d f( t ) 1 ) ( t ) d f(
0 0
1
1
(5) 复合函数
( k 1 , 2 , 3 , ) 全部是单根，则 k 若 (x) 0 的实根 x
(xx k) [ (x )] '(x k k)
例
( ax )
1 (x) eixd , 2
例
阶跃函数的傅里叶变换
H(x)dxdx,
0
不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用某种变通办法
x e , 定义函数系列： H ( x , )
0 .
( x 0 ) ，显然 ( x 0 )
( x x ) dx 0 1 .
b a
( a , b x , 或 a , b x ) 0 0 ( a x b 0 ) 0
0
x 27.02.2019 0
x
阜师院数科院
2. 一些性质 (1) 偶函数 从图形可以看出
(x) (x), '(x) '(x).
H ( x ) lim H ( x , )
0
1 11 x i x ( i ) x 11 F [ H ( x , )] e e dx e 0 2 2 i 2 i 0
27.02.2019
1 1 F [ H ( x )] lim F [ H ( x , )] lim 0 02 i 1 1 i 1 lim ( 2 2 i 阜师院数科院 ) ( ) P . 2 2 0 2 2 2
2
x 0 , '(x ) a 1 1
( x )
a
;
.
x l
2 2 x a ( x a )( x a ) 0 ,
( x a )
2
( x a ) ( x a )
2 a
1 l 0l
x a , x a 1 2
2 2 2 2 ( x a )' ( x a )' 2 a x 1 x 2
0 0
(4) 表示连续量
f( ) ( t )
持续于 [0, 1] 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时 间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力 ) ( t )的冲量 的冲量可以看作瞬时力 f(
f( ) ( t ) d
t
1
0
27.02.2019
阜师院数科院
(x0 ) (x 0 )
0 , 1 . ( a , b 0 , 或 a , b 0 ) ( a 0 b 0 )
( x ) dx
a
则
( x ) m ( x )
( x x ) 0
0 ,
又，对 0 x0
0 , ;
( x x ) 0 ( x x ) 0
(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数
H ( x)
1
0 , H ( x ) ( t ) dt 1 .
x
( x 0 ) ( x 0 )
(x)
0
x
对连续函数 f ( )
dH (x) . dx
(3) 挑选性
) ( t) d f( t ). f(
5.3
函数
物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量 的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。 函数就 19 。但电 是作为这样的密度被引入的。例如，电子的电量是有限的 e 1 . 6 10 C 子的半径大小至今只测量到上限，即不大于1016m ，并且随着测量精度的提高， 这个上限越来越小，也就是趋于零。而目前的理论研究也得出电子半径为零的 结果。于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷密度就由 函数来 表示。 数学上可以将无限小的范围 考虑线质量密度 l 看作有限大小范围的极限
3. 其它表示
(x )lim rect ( );
( x )lim ; K x
1sin Kx
1 (x )lim 2 2 . 0 x
27.02.2019 阜师院数科院
4. 傅里叶变换
i x (x) C ( )e d ,
1 1 1 i x i 0 C ( ) ( x ) e dx e . 2 2 2
27.02.2019
阜师院数科院Biblioteka Baidu
5. 多维情况
0 , ( r ) .
( r 0 ) ( r 0 )
( r ) dxdydz 1 .
( r ) ( x ) ( y ) ( z ).
小结 A. B. C. D. E. 傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换， 提供在频域表示函数性质的方法。 B. 周期函数变换为离散级数，非周期函数变换为积分。 C. 傅立叶积分的若干性质，有利于其应用。 D. 函数和阶跃函数。
l 0
密度
0 , ( x 0 ) m x ( x ) lim ( x ) lim rect () . ( x 0 ) l l
l l 0 l 0
因此，作为广义函数引入 函数：
(xx0)
(x )
b
0 , ;
m/ l
1. 作为广义函数的引入
一维
x ) rect ( ) l(
l/2
m l
x l
l / 2
0
l/2
x
全空间总质量
x )dx l(
m dx m l l/2
27.02.2019
阜师院数科院
l 0 的极限
全空间总质量不变
lim x ) dx ( x ) dx m , l(
F ( ) d f( t ) 1 ) ( t ) d f(
0 0
1
1
(5) 复合函数
( k 1 , 2 , 3 , ) 全部是单根，则 k 若 (x) 0 的实根 x
(xx k) [ (x )] '(x k k)
例
( ax )
1 (x) eixd , 2
例
阶跃函数的傅里叶变换
H(x)dxdx,
0
不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用某种变通办法
x e , 定义函数系列： H ( x , )
0 .
( x 0 ) ，显然 ( x 0 )
( x x ) dx 0 1 .
b a
( a , b x , 或 a , b x ) 0 0 ( a x b 0 ) 0
0
x 27.02.2019 0
x
阜师院数科院
2. 一些性质 (1) 偶函数 从图形可以看出
(x) (x), '(x) '(x).
H ( x ) lim H ( x , )
0
1 11 x i x ( i ) x 11 F [ H ( x , )] e e dx e 0 2 2 i 2 i 0
27.02.2019
1 1 F [ H ( x )] lim F [ H ( x , )] lim 0 02 i 1 1 i 1 lim ( 2 2 i 阜师院数科院 ) ( ) P . 2 2 0 2 2 2
2
x 0 , '(x ) a 1 1
( x )
a
;
.
x l
2 2 x a ( x a )( x a ) 0 ,
( x a )
2
( x a ) ( x a )
2 a
1 l 0l
x a , x a 1 2
2 2 2 2 ( x a )' ( x a )' 2 a x 1 x 2
0 0
(4) 表示连续量
f( ) ( t )
持续于 [0, 1] 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时 间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力 ) ( t )的冲量 的冲量可以看作瞬时力 f(
f( ) ( t ) d
t
1
0
27.02.2019
阜师院数科院
(x0 ) (x 0 )
0 , 1 . ( a , b 0 , 或 a , b 0 ) ( a 0 b 0 )
( x ) dx
a
则
( x ) m ( x )
( x x ) 0
0 ,
又，对 0 x0
0 , ;
( x x ) 0 ( x x ) 0
(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数
H ( x)
1
0 , H ( x ) ( t ) dt 1 .
x
( x 0 ) ( x 0 )
(x)
0
x
对连续函数 f ( )
dH (x) . dx
(3) 挑选性
) ( t) d f( t ). f(
5.3
函数
物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量 的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。 函数就 19 。但电 是作为这样的密度被引入的。例如，电子的电量是有限的 e 1 . 6 10 C 子的半径大小至今只测量到上限，即不大于1016m ，并且随着测量精度的提高， 这个上限越来越小，也就是趋于零。而目前的理论研究也得出电子半径为零的 结果。于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷密度就由 函数来 表示。 数学上可以将无限小的范围 考虑线质量密度 l 看作有限大小范围的极限
3. 其它表示
(x )lim rect ( );
( x )lim ; K x
1sin Kx
1 (x )lim 2 2 . 0 x
27.02.2019 阜师院数科院
4. 傅里叶变换
i x (x) C ( )e d ,
1 1 1 i x i 0 C ( ) ( x ) e dx e . 2 2 2
27.02.2019
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5. 多维情况
0 , ( r ) .
( r 0 ) ( r 0 )
( r ) dxdydz 1 .
( r ) ( x ) ( y ) ( z ).
小结 A. B. C. D. E. 傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换， 提供在频域表示函数性质的方法。 B. 周期函数变换为离散级数，非周期函数变换为积分。 C. 傅立叶积分的若干性质，有利于其应用。 D. 函数和阶跃函数。
l 0
密度
0 , ( x 0 ) m x ( x ) lim ( x ) lim rect () . ( x 0 ) l l
l l 0 l 0
因此，作为广义函数引入 函数：
(xx0)
(x )
b
0 , ;