第二节 刚体定轴转动的动力学方程

的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，
试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
(2) mg T ma Tr J
mgr J mr2
GC F’T2 FT2
求 两物体的线加速度和水平、竖直两段绳索的张力
mB B
解 以mA ， mB ， m C为研究对象, 受力分析
物体 mA： FT1 mAaA
物体 mB ：mB g FT 2 mBaB
滑轮
mC
：FT2R
FT1R
J
1 2
mC R2
aA aB a
FT1 FT1 FT 2 FT2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、 分别为
质量的线密度、面密 度和体密度。
线分布
面分布
体分布
例 质量为m，半径为R 的均匀球体， 求 通过球心的轴的转动惯量
解 刚体质量体分布
m 4 R3
3
将球体分成一系列半径不同的质量为
dm的 “元”薄圆盘组成
由薄圆盘的转动惯量式 J 1 mR2 2
J dJ R 1(r2 dx) r2 02
R R2 x2 2 dx 2 mR2
2 R
5
x
r
dx x o
R
dJ 1 dm r2 2
转动定律的应用举例
基本方法和步骤
分析力，确 Leabharlann Baidu外力矩
列出转动定律和牛 顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
（力对轴的力矩只有两个指向）
力矩的方 向按右螺 旋法则来
确定
z
当有 n 个力作用于刚体
M r1F1 sin1 r2F2 sin2 r3F3 sin3
F3
r 3
P3
3
即刚体受到多个力的力矩等于
各个力的力矩矢量和。
F2
r2 r1
P2
2
P1 1 F1
M z M1z M 2z M nz
刚体中内力对给定转轴的力矩 的矢量和等于零，只需考虑外 力矩的作用
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律） M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
M J J d
dt
转动定律表明：决定绕定轴转动刚体的转动状态变化与否，及 变化快慢的量是外力矩之和
对于给定的绕定轴转动刚体，角加速 度反映了它绕定轴转动状态的变化
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析
物体 m1： m1g T1 m1a1
mr
T2
T1
物体 m2： T2 m2 g m2a2
滑轮
m：
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a1 a2 a r
T2 m2
T1 m1
m2 g
m1g
m1 m2 g
m1
m2
1 2
m
r
0
t
m1 m2
m1 m2
gt
1m 2
r
例 如图所示，定滑轮的半径为R ，用不 能伸长的轻绳跨过滑轮两边分别系于 A 物体和 B 物体上，绳与滑轮间无相对滑 动。（设水平面和轮轴光滑无摩擦）
N
A
mA
FT1
GA
F’T1 C FC
mC
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L
3
z M
J铁 J木
O
dx
L x
②J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R2 2πR dl 2πR3 m mR2
0
2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
FT
T
mg
对于刚体与质点刚性连接的联体力学问题：
通常采用隔离法－－－－将刚体与物体隔离，分 别进行受力分析，写出相应的运动学及动力学方 程，最后求解。 两种方程的关系通常由线量与角量的关系式体现
v r a r an r 2
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别 系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。
对于给定的外力矩， 转动惯量愈大，角加 速度愈小，即刚体转 动状态愈难改变
转动惯量是描述 刚体对轴转动惯 性大小的物理量
3.转动惯量
定义 J mk rk 2 质量不连续分布
r
k
J r 2dm 质量连续分布
V
J 的单位：kg ·m2
确定转动惯量的三个要素:
(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置 ①J 与刚体的总质量有关
J z' J z ML2 J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量
J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴
z' z M
L C
L ⇒ 两轴间垂直距离
注意：(1) J 只是对某个轴的。 (2) dm 的取法：需使 dm上各点的 r 相等。
dm 为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
M rF sin rFsin 0
z
r
F
r F
2.转动定律
第 i个质元 Fi Fi miai
切线方向 Fi Fi miai
Fi ri
Fi
在上式两边同乘以 ri Fi ri Firi miai ri miri ri
对所有质元求和
Fi ri Firi ( miri2 )
a R
GB
a mBg
mA
mB
1 2
mC
FT1
mA
mAmB g
mB
1 2
mC
FT
2
mA
mA
1 2
mC
mB
mB g
1 2
mC
例 上题中，若滑轮与轴承间的摩擦不能
dm ds m 2πrdr 2mr dr
πR 2
R2
J
m r 2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
dl m
R O
Rm dr
r O
③ J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
O
dx
x
M
L
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
平行轴定理
刚体定轴转动的动力学方程z
F//
1. 力矩
F
力F 对z 轴的力矩 力F 在垂直于轴的平面内
M z Fd F r sin Fτr
力不在垂直于轴的平面内
dr
θ
F
P Fn
FF
M z Fd Frsin Fτr
若力 F F 也作用在P点上．
则力矩大小相等，效果不同．
力对定轴 力矩的矢量形式 M Z r F