《函数极限的运算法则》教案(优质课)
《极限的运算》课件
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
极限的四则运算教案
2.4 极限的四则运算（一）古浪五中---姚祺鹏【教学目标】（一）知识与技能1．掌握函数极限四则运算法则；2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；（二）过程与方法1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.（三）情态与价值观1.培养学习进行类比的数学思想2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。
(四)高考阐释：高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法【教学重点与难点】重点：掌握函数极限的四则运算法则；难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．【教学过程】1．提问复习，引入新课对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极限．如 1lim ,2121lim11==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律考察xx x 212lim 21+→完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出23212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim11121=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，那么特别地:（1）[])(lim )(lim 0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅（C 为常数）（2）[])N ()(lim )(lim *00∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→n x f x f nx x nx x（3）这些法则对∞→x 的情况仍然成立．（4）两个常用极限nn x x x x 00lim =→，)N (01lim *∈=∞→n xn x3．应用举例，熟悉法则例1 求1212lim 2321-+++→x x x x x问：已知函数中含有哪些简单函数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程．解：2112111121lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 232121311121231212321=-⨯+++⨯=-+++=-+++=-+++→→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维． （2）书写时，由于极限符号“lim ”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的．点评：例1说明，求某些函数（到底是哪些函数，学了2.6节就知道了．激发学生学习积极性，为讲连续函数埋下伏笔）在某一点0x x =处的极限值时，只要把0x x =代入函数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法 巩固练习：教科书第88页第1题．例2 求121lim 221---→x x x x ．问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把1=x 直接代入12122---x x x 中，那么分子、分母都为零．虽然分子、分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限．根据极限概念和思想，所求极限只取决于点1=x 处附近的点（即可认为1≠x ），故可把分子、分母分解因式后约去公因式1-x ，从而转化为可用代入法求极限的情形．通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识． 解：原式点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式1-x ． 巩固练习：教科书第88页练习第2题 4．归纳小结，掌握通法（1）函数极限四则运算法则．（2）一般地，中学阶段接触到的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形． 5.布置作业教科书习题2.5第1题．思考题：已知532lim 223=--++→x x bax x x ，求常数a 、b 的值． 6.板书设计 7.教学反思。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
24函数极限的四则运算-PPT课件
谢谢！
xiexie!
xx0
li[m C(xf) ]Clim f(x)（C为常数）
x x0
x x0
li[m f(x)n] [lim f(x)n(]n N *)
x x0
x x0
x l im x 0x n (x l im x 0x )n x 0 n ,即 x l im x 0x n x 0 n
1
处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析式中， 就得到极限值。
这组题目可以把x=x0代入函数的解析式中， 就可以了.所以求某些函数在某一点x=x0处的极限 值时，只要把x=x0代入函数的解析式中，就得到 极限值.这种方法叫代入法。
【小结】 1 .设f ( 多 x ) a 0 x n 项 a 1 x n 1 式 a n ,则有
12 5 1 4 21 3
0
x l 1 x 2 2 x 5 x 3 4 i m
例4：求lx im 1x2x22x13.
(0型) 0
【方法】消去零因子法
解：x1时,分子 ,分母的极限.都 ( 00 是 型 ) 零
先约去不为因 零子 x 的 1后 无 再 穷 求 .小 极
xx0
当 Q ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( x x ) ) i Q P ( ( x x 0 0 ) ) m
当 Q ( x 0 ) 0 且 P ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( i x x ) ) m
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
大学 高等数学 极限运算法则 知识课件PPT
则有
说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
为无穷小
(详见P44)
定理 3 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理 , 得
为无穷小,
定理4: 若
且
则
例1. 设 n 次多项式
试证
证:
x = 3 时分母为 0 !
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例3.
若
例4 . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
一般有如下结果：
为非负常数 )
第一章
一、 极限的四则运算法则
二、 复合函数的极限运算法则
ห้องสมุดไป่ตู้第五节
极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由上节定理 2可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
定理 1 . 若
说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
( 如P46 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
三、 复合函数的极限运算法则
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
高一数学课程教案函数的极限的计算与应用
高一数学课程教案函数的极限的计算与应用一、函数的极限的计算与应用函数的极限是数学中一项重要的概念，它在解决各种问题时扮演了重要的角色。
本文将探讨高一数学课程中函数的极限的计算方法和应用场景。
二、函数的极限的计算方法1. 极限的定义：对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a 时，如果函数值f(x)无限接近于一个确定的常数L，那么称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L。
用数学符号表示为：lim(f(x)) = L，其中x→a。
2. 基本极限法则：函数的极限计算可以根据一些基本的法则进行简化。
常见的基本极限法则包括：a) 常数定理：lim(c) = c，其中c为常数。
b) 基本初等函数的情况：lim(x^n) = a^n，其中n为自然数，a为常数。
c) 两函数和的极限：lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) + lim(g(x))。
d) 两函数积的极限：lim(f(x) * g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))。
e) 函数的商的极限：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x))，其中lim(g(x)) ≠ 0。
3. 利用以上基本极限法则，可以通过代入法、化简法等方法计算函数的具体极限值。
对于复杂的函数，可以采用分段函数的方法，将其分割成多个简单的函数进行计算。
三、函数的极限的应用函数的极限在数学中应用广泛，尤其在实际问题的建模和分析中起到重要作用。
以下是函数极限在不同应用场景中的一些具体应用示例。
1. 速度和加速度的极限计算：在物理学中，速度的极限可以通过计算位移函数的导数得到，而加速度的极限可以通过计算速度函数的导数得到。
这些极限值可以帮助我们了解物体在不同时间段内的运动状态。
2. 金融数学中的应用：函数极限可以用于计算复利的概念。
当计算长期投资的收益时，我们可以利用函数极限计算连续复利的情况，得出更精确的结果。
3. 统计学中的极限计算：在统计学中，函数极限可以用于计算样本均值的极限值。
极限的运算法则 ppt课件
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2 x13.
例3 求lx i1m x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0 是 型 )零
0
先约去不为因 零x子 的 1后无 再穷 求 .小 极
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．
一、填空题:
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
小结: 1 . 设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n , 则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成立 .
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
函数的极限示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
记作 lim f ( x ) A x x0
或
f ( x0 0 ) A.
x x0 , 相应地把定义2中 0 x x0 换成
0 x x0 或 x0 x x0 .
即得 lim f ( x ) A 的 定义。 x x0
下面给出左极限与右极限的关系：
注意到 {x 0 x x0 } {x 0 x x0 } {x x x0 0}
为极限, 记作 lim x2 2x 8 3 x2 2(x 2)
或
x2 2x 8 3 2(x 2)
(x 2).
y
3
y f (x) x2 2x 8
2
2(x 2)
1
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3x
-1
-2
一般地,用 0 x x0 (即 点x0的去心邻域)
表示 x与 x0 的接近程度 x x0 .
下面给出定理3的证明，定理3´的证明类似：
设 lim f (x) A ,取 1，则
x x0
o
0 ，当 x U (x0 , )时,有 f (x) A 1
f (x) f (x) A A
f (x) A A 1 A.
即f
(
x)在
x0
的去心邻域
o
U
(
x0
,
)
内有界。
P33
3.局部保号性
定理4 若 lim f (x) A 0 (或A 0),
x x0
x 则
o
U
(
x0
,
)
,使得对于
o
U
(x0
,
)内的一切
，有
f (x) 0 ( 或f ( x ) 0 )。
证
设
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则(二)
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则（二）高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则（二）一、引言在上一篇文章中，我们学习了极限的运算法则的基本概念和常用方法。
本篇文章将继续讨论极限的运算法则，并引入洛必达法则，通过具体的例子和练习来加深理解。
二、乘法法则和除法法则1. 乘法法则当两个函数的极限存在时，它们的乘积的极限等于两个函数的极限的乘积。
即若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)g(x)]=AB。
【示例】求lim(x→2)(x^2+3x-10)。
解：根据乘法法则，lim(x→2)(x^2+3x-10)=lim(x→2)(x-2)(x+5)。
当x→2时，(x-2)(x+5)→0×7=0。
所以，lim(x→2)(x^2+3x-10)=0。
2. 除法法则当两个函数的极限存在时，它们的商的极限等于两个函数的极限的商，其中除数不为0。
即若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B（B≠0），则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。
【示例】求lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)。
解：根据除法法则，lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=[lim(x→1)(x+1)]/(lim(x→1)(x-1))。
当x→1时，分子和分母分别趋于2和0，所以lim(x→1)(x+1)/(x-1)不存在。
三、洛必达法则1. 洛必达法则的引入当我们遇到一些特殊的极限形式时，如果直接套用极限的运算法则并不能得到准确的结果，我们需要使用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们解决一些“0/0”或“∞/∞”的不定型极限。
2. 洛必达法则的表述设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=0或±∞，若lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]存在且不为无穷大，则有lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]。
高中数学函数极限的教案
高中数学函数极限的教案
一、教学目标：
1. 了解数学函数极限的概念及性质；
2. 掌握计算函数极限的方法；
3. 能够运用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点：
重点：函数极限的定义和性质，计算函数极限的方法；
难点：理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义与性质；
2. 常见函数的极限计算方法；
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入函数极限的概念；
2. 讲解：介绍函数极限的定义和性质，讲解常见函数的极限计算方法；
3. 演练：组织学生做一些练习题巩固所学内容；
4. 应用：通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源：
1. 教科书；
2. 手册和笔记。
六、作业布置：
1. 完成教材上的相关习题；
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识，提高了解决实际问题的能力。
同时，也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难，需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中，需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
函数极限 教案
函数极限教案教案标题：函数极限教案目标：1. 理解函数极限的概念和意义；2. 掌握计算函数极限的方法；3. 能够应用函数极限解决实际问题。
教案步骤：一、导入（5分钟）1. 引入函数极限的概念，例如：当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋向于一个确定的值。
2. 提问学生是否了解函数极限，并鼓励他们分享自己的理解和经验。
二、概念讲解（15分钟）1. 解释函数极限的数学定义：对于函数f(x)，当x趋近于某个特定值a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称L是函数f(x)在x=a处的极限。
2. 引导学生理解ε-δ语言的含义，并通过图示和实例说明。
三、计算方法（20分钟）1. 介绍计算函数极限的方法，包括代入法、夹逼准则、无穷小量法等。
2. 通过例题演示不同方法的应用，让学生理解和掌握计算函数极限的步骤和技巧。
四、实例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，例如物理、经济等领域的应用问题。
2. 引导学生分析问题，建立函数模型，并利用函数极限解决问题。
五、练习与总结（15分钟）1. 给学生分发练习题，包括计算函数极限和应用题。
2. 鼓励学生独立解题，并及时给予指导和反馈。
3. 总结本节课的要点和难点，并鼓励学生提出问题和分享自己的思考。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在导入环节的回答和讨论，评估他们对函数极限概念的理解程度。
2. 计算能力：通过练习题的完成情况评估学生对计算函数极限的掌握程度。
3. 应用能力：观察学生在实例分析环节的表现，评估他们能否将函数极限应用于实际问题的解决。
教案扩展：1. 深入讨论函数极限的性质和定理，如函数极限的唯一性、函数极限与连续性的关系等。
2. 探究无穷大和无穷小的概念，引入无穷小量的定义和性质，拓展函数极限的应用范围。
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
《函数极限的运算法则》教案(优质课)
《函数极限的运算法则》教案【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例4 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C kok x x x x oo∈==→→ )(01lim,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→例5 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
高中数学教案函数的极限
高中数学教案函数的极限高中数学教案：函数的极限一、引言在高中数学中，函数的极限是一个重要的概念。
本教案将介绍函数的极限的概念和性质，以及如何计算函数的极限。
二、函数的极限的定义函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值会趋于某个确定的值或者无穷大。
我们用符号来表示函数的极限，如下所示：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限的运算符，x→a表示自变量x趋于a，f(x)表示函数f关于自变量x的取值，L表示极限的结果。
三、函数的极限的性质1. 唯一性：函数的极限在给定条件下是唯一的。
即同一个函数在同一个点的极限结果是唯一确定的。
2. 局部性：函数的极限是局部的，即只关注自变量在某个特定点附近的取值。
3. 有界性：如果函数在某个点的极限存在，则函数在该点附近是有界的。
4. 保号性：如果函数在某个点的极限存在且大于（或小于）0，则函数在该点附近保持正（或负）号不变。
四、计算函数的极限的方法1. 代入法：当函数在某个点的极限存在且可以直接代入计算时，可以通过代入法求出极限的结果。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，要求lim(x→2) f(x)的值，我们只需要将x的值代入函数中即可得到结果。
2. 分解因式法：当函数在某个点的极限存在但无法直接代入计算时，可以通过分解因式的方法进行计算。
例如，对于函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，要求lim(x→1) f(x)的值，我们可以将函数分解为f(x) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1，然后将x的值代入函数中即可得到结果。
3. 常用极限公式法：当函数满足一定条件时，可以通过常用的极限公式来进行计算。
例如，对于函数f(x) = sin(x) / x，要求lim(x→0) f(x)的值，我们可以使用常用极限公式lim(x→0) sin(x) / x = 1，直接得出结果。
五、实例分析1. 求lim(x→2) (2x + 1)的值，根据代入法，将x的值代入函数中，可得lim(x→2) (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5。
函数的极限 教案
函数的极限教案教案标题：函数的极限教案概述：本教案将帮助学生理解函数的极限概念，并掌握常见的函数极限计算方法。
通过引导学生进行实例分析和数学推理，培养学生的思维逻辑和问题解决能力。
同时，通过相关应用问题的讨论，帮助学生理解极限在实际中的意义和应用。
教学目标：1. 理解函数极限的定义和概念；2. 掌握函数极限的计算方法，包括直接代入法、夹逼准则等；3. 能够应用函数极限解决实际问题；4. 培养学生的问题分析与解决能力以及数学推理能力。
教学重点：1. 函数极限的定义和概念；2. 函数极限的计算方法；3. 实际问题的极限应用。
教学难点：1. 函数极限的计算方法的掌握；2. 实际问题的极限应用的理解和解决。
教学准备：1. 教材《高中数学教程》等相关教材；2. 针对性的示例和练习题；3. 多媒体教学工具。
教学过程：步骤一：导入与概念讲解（15分钟）1. 引入函数和极限的概念，解释函数极限的意义和重要性；2. 让学生观看一段相关的视频或示例，激发学生的兴趣与思考；3. 对函数极限的定义进行解读和讲解，引导学生形成初步印象。
步骤二：函数极限计算方法介绍（20分钟）1. 介绍常见的函数极限计算方法，如直接代入法、夹逼准则等；2. 通过示例演示不同计算方法的应用步骤和技巧；3. 强调每种方法的适用范围和注意事项，帮助学生理解方法的合理性。
步骤三：练习与提问（30分钟）1. 给学生提供一些基础练习题，让他们在教师指导下独立尝试解答；2. 鼓励学生多与同学合作、讨论，共同解决难题；3. 教师要随时引导学生思考和解决问题，及时纠正错误。
步骤四：实际问题应用（15分钟）1. 展示一些实际问题，引导学生分析问题中存在的极限概念；2. 引导学生运用所学的函数极限计算方法解决实际问题；3. 鼓励学生提出自己的问题，并引导他们进行探究和解决。
步骤五：总结与扩展（10分钟）1. 对本节课所学内容进行总结，强调函数极限的重要性和应用；2. 扩展函数极限概念，引导学生对其他相关内容进行进一步学习；3. 鼓励学生提出关于函数极限的问题和疑惑，及时解答。
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《函数极限的运算法则》教案
【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o
==→∞→lim ,01
lim
.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.
二 、新课讲授
对于函数极限有如下的运算法则：
也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组
成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o
o
x x x x →→=
n x x n x x x f x f o
o
)](lim [)]([lim →→=
这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22
x x x +→
例2 求1
1
2lim 231++-→x x x x
例3 求4
16
lim 24--→x x x
分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.
注意函数4
16
2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变
成4+x ，由此即可求出函数的极限.
例4 求1
3
3lim 22++-∞→x x x x
分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k
o
k x x x x o
o
∈==→→ )(01lim
,lim *
N k x C C k
x x ∈==∞→∞
→
例5 求1
34
2lim 232+--+∞→x x x x x
分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）)32(lim 2
1-→
x x ； （2）)132(lim 22
+-→x x x
（3）)]3)(12[(lim 4
+-→x x x ； （4）1431
2lim 221-++→x x x x
（5）11
lim 21+--→x x x （6）9
65lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y
y y
五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限. 六 作业（求下列极限）
（1）)432(lim 3
1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）1
2lim 21++→x x x x
（4）)14
13(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452
30233lim x x x x x x -++→
（7）42lim 22--→x x x （8）11
lim 21-+-→x x x （9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x
（10）x m m x x 220)(lim -+→ （11）)1
12(lim 2x
x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x
（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3
526
113lim 221--+-→x x x x x
（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23
203526lim x x x x x x x ----→ （18）32323526lim x x x x x x x ----∞→。