2015年小高组初赛A卷解析

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛A卷解析（小学高年级组）

总分：150分时间：60分钟

一、选择题．（每小题10分，共60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）

1.现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，

那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（）．

（A）甲、乙（B）乙、丙（C）甲、丙（D）乙、丁

【答案】B

【题型】逻辑推理、逆否命题

【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立．

（1）甲去则乙去，逆否命题：乙不去则甲也不去

（2）丙不去则乙不去，逆否命题：乙去则丙去

（3）丙去则丁不愿意去，逆否命题：丁去则丙不去从

（2）出发可以看出答案为B.

题目要求有两个人去，可以使用假设法，若甲去，则乙去，乙去则丙也去．三个人去，矛盾，

所以甲不去．若丙不去则乙不去，那么只有丁去，矛盾，所以丙去．丙去则丁不去，由两个人去得到结论，乙要去．所以答案是B，丙和乙去．

2.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．

（A）5（B）2（C）4（D）3

【答案】C

【题型】最值、构造

【解析】4个点，最多可以构造C43 4个三角形．

如图所示，共有图中四个三角形均为钝角三角形．

3.桌上有编号1至20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡

片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（）张卡片．

（A）12（B）14（C）16（D）18

【答案】A

【题型】倍数、枚举【解析】由于有2倍多2的关系，所以1、4、10只能取其中两个，2、6、14只能取其中两

个，3、8、18只能取其中两个．即这里至少有3个数取不到，而11、13、15、17、19不满足2倍多2的关系，也无法取到．合计至少有8个数取不到，取12个数为最多的情况.列举最多的一种情况：1、4；2、6；3、8；5，12；7，16；9，20.取到了最多的12个数的情况．

4.足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果

售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（）元．

（A）10 （B）25

（C）

50

（D）25 2 3

【答案】B

【题型】方程

【解析】设共有x张票，赛前一小时的余票降价y元.

由题意得：1

4⨯(x⨯50)=

1

3⨯[x⨯(50-y)],y=

25

2

5.一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只

旧钟的24小时比标准时间的24小时（）．

（A）快 12 分（B）快6分（C）慢6分（D）慢12分

【答案】D

【题型】时钟问题【解析】时针速度为每分钟0.5度，分针速度为每分钟6度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑

360 度，时针分针重合一次.经过

360 = 720

分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准6 - 0.5 11

(24 ⨯ 60) ⨯66=1452

分钟，所以比标准

时间66分钟；则旧钟的24小时，相当于标准时间的720

11

时间24小时对应的24⨯60=1440分钟多了1452-1440=12分钟，即慢了12分钟6.在右图的6×6方格内,每个方格中只能填

A, B, C , D, E , F 中的某个字母，要求每行、每列、每个

标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，

第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母

从左到右的顺序是（）．

（A）E,C,D,F（B）E,D,C,F （C）D,F,C,E（D）D,C,F,E

【答案】C

【考察知识点】数阵图：数独

【分析】每行每列每个3*2的粗线方格均必有A、B、C、D、E、F各一个，选择一个合适的位置，尝试即可快速得出答案。以下提供一种解法：

如图所示，第一列和第二行已经有A，所以左上角3*2粗线方格的A只能填在第二列；因

为第一列和第二列已经有A，所以左下角3*2粗线方格的A只能填在第三列；因为第五列和第四行已经有A，所以右中位置的3*2粗线方格的A只能填在第四列；因为第五行和第

五列已经有A，所以右下角3*2粗线方格的A只能填在第六列；以此类推，可以填出所以的数.

二、填空题(每小题10分，共40分)

7.601

8.过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D,E,F,连接

AP, BP, CP ．如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，则三角形PCF的面积为________平方厘米．

【答案】630

【题型】几何：一半模型

【解析】

A A

F

D

P

B

E C B

①② F

③

D ⑫④

⑪

⑩P ⑤

⑥

⑨ ⑧⑦

E

C

过点P作AB,AC,BC的平行线，则S1=S2，S3=S4，S5=S6，S7=S8，S9=S10，S11=S12；

所以 S =S = 1 S

= 1 ⨯ 2028 = 1014cm 2

，则 S = 1014 - 192 ⨯ 2 = 630cm 2 2 阴影 白

2 △ABC

△PCF

9. 自然数 2015 最多可以表示成________个连续奇数的和．

【答案】31 【题型】计算

【解析】 点评：牢记天下无双，个数平方！指从 1 开始的连续奇数的和，等于奇数个数

的平方，

即：1 + 3 + 5 + L + (2n - 1)= n 2

．

2015 能表示成连续奇数的和，

轾 轾 2

2

则 2015 = 1 + 3 + 5 + L + (2n - 1) - 1 + 3 + 5 + L + (2 m - 1) = n

- m

臌

臌

所以能写成 n - m 个连续奇数的和， 2015 = 5 ⨯13 ⨯31= (n + m )(n - m )，

把 2015 表示成 2015 = 65 ⨯31时， n - m 最大为 31，所以最多能写成 31 个连续奇数的和．

10. 由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正

方 形，则边长大于 5 的正方形有________个．

【答案】393

【题型】计数：几何计数 【解析】

点评：在格点中寻找正方形一定要想方向可能会有正着的的斜着的，此题只要求找边长为整 数的正方形，还不算特别恶心． （1）正着的：

最小为 6 ⨯ 6 的正方形，如图，共10 ⨯10 个；依次 7 ⨯ 7 的有 9 ⨯ 9 个…… 所以正着的正方形共10 2 + 9 2 + 82 + L + 12

= 10 ⨯11 ⨯ 21 = 385

个． 6

（2）斜着的：要求边长为整数，所以可以从特殊勾股数进行尝试

10

8

6

可寻找到如图边长为 10 的正方形，共 4 个（可往右方和下方平移）构造弦图，大正方形的 边长是 14，每一个边长为 14 的正方形内可以构成 2 个边长为 10 的正方形。 综上，可找到 385 + 4 ? 2 =393 个边长大于 5 的正方形．