2015年浙江卷数学试题及答案(理)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2

{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q = ð

A.[0,1)

B. (0,2]

C. (1,2)

D. [1,2] 2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是

A.3

8cm B. 3

12cm C.

3323cm D. 340

3

cm 3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成

等比数列，则

A.140,0a d dS >>

B. 140,0a d dS <<

C. 140,0a d dS ><

D. 140,0a d dS <>

4. 命题“**

,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是

A. **,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >

B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >

C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n >

D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n >

5. 如图，设抛物线2

4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不

同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆

与ACF ∆的面积之比是

A. 1

1BF AF -- B. 2

2

11BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2

2

11

BF AF ++ 6. 设,A B 是有限集，定义：(,)()()d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A

中的元素个数.

命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+. A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有

A. (sin 2)sin f x x =

B. 2(sin 2)f x x x =+

C. 2(1)1f x x +=+

D. 2(2)1f x x x +=+

8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成

A CD '∆，所成二面角A CD

B '--的平面角为α，则

A. A DB α'∠≤

B. A DB α'∠≥

C. A CB α'∠≤

D. A CB a '∠≥

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9. 双曲线2

212

x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x x

x x ⎧+-≥⎪

=⎨⎪+<⎩

，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 12. 若4log 3a =，则22

a

a

-+= ．

13. 如图，三棱锥A BCD -中，3A B A C B D

C D ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线

,AN CM 所成的角的余弦值是 ．

14.若实数,x y 满足2

2

1x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小

值是 ．

15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e =

，若空间向量b 满足125

2,2

b e b e ==

，且对于任意,x y R ∈，12010200|()||()|1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，

||b = ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=

4π，22b a -=1

2

2c . （Ⅰ）求tan C 的值；

（Ⅱ）若ABC ∆的面积为7，求b 的值。

17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=

，

112,4,AB AC A A A ===在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点.

（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；

（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值.

18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[-1,1]上的最大值。

（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；

（Ⅱ）当,a b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.

19.（本题满分15分）已知椭圆2

212

x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1

2

y mx =+

对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．